中考数学专项训练（21）专题费马点模型含解析答案

这是一份中考数学专项训练（21）专题费马点模型含解析答案，共47页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

中考数学专项训练（21）专题�费马点模型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题
1．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为 ．


二、解答题
2．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．
【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA
【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是　 　（用a，b表示）

3．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝　 　；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并说明理由；
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

4．如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

5．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．

6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝2，求DF的长；
（2）如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
（3）如图3，若AB＝4，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．

7．如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.

（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；
（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.
8．如图，抛物线经点，与轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点到二次函数图象的垂直距离是线段的长．已知点为抛物线对称轴上的一点，且在轴上方，点为平面内一点，当以为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点到二次函数图象的垂直距离．
(3)在(2)中，当点到二次函数图象的垂直距离最小时，在为顶点的菱形内部是否存在点，使得之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

9．点P为锐角△ABC内任意一点，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，连接AP、BP、CP，求3AP＋4BP＋5CP的最小值
10．如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：

（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
11．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，P为平面内一点，

（1）求最小值
（2）在（1）条件下，求最小值
（3）在（1）条件下，求最小值
（4）在（1）条件下，求最小值
12．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝，∠BAC＝60°，P为平面内一点，求5BP＋7AP＋CP最小值．

13．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值

14．如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝6，AC＝4，求最小值

15．如图，ABCD为矩形，AB＝，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．


参考答案：
1．/
【分析】先将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，延长AB，过C′作C′E⊥AB交延长线于E，得出，当点A、P、P′、C′共线时，PA+PB+PC有最小值是AC'的长，利用30°直角三角形性质可求EC'=，根据勾股定理BE，AE＝，即可．
【详解】解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，延长AB，过C′作C′E⊥AB交延长线于E，

∴△BPC≌△BP'C'，∠PBP'＝60°，
∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，
∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，
∴当点A、点P、点P′、点C′在共线时，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的长，
∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC=60°+∠ABC=60°+90°＝150°，
∴∠EBC'＝30°，
在中
∴EC'=，
∴BE=，
∴AE＝，
在中

故答案为：．
【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转，等边三角形判定与性质，四点共线，30°直角三角形性质，勾股定理，本题难度较大，涉及知识多，利用辅助线构造准确图形是解题关键．
2．【探究】证明见解析【应用】
【分析】探究：由等边三角形的性质得出PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，得出∠PCA＝∠MCD，证明△ACP≌△DCM，得出MD＝PA；
应用：连接BD，由全等三角形的性质得出∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，求出∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝120°，作DF⊥BC于F，则∠CFD＝90°，在Rt△CDF中，由直角三角形的性质得出 求出由勾股定理求出；即可得出结论．
【详解】探究：证明：∵以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD，
∴PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，
∴∠PCA＝∠MCD，
在△ACP和△DCM中，
∴△ACP≌△DCM（SAS），
∴MD＝PA；
应用：解：连接BD，如图所示：
∵△APC≌△DCM，
∴∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，
∴∠ACP+∠PCB＝∠DCM+∠PCB，
∴∠DCM+∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝60°+60°＝120°，
作DF⊥BC于F，则∠CFD＝90°，
在Rt△CDF中，∵∠DCF＝180°﹣120°＝60°，CD＝b，
∴∠CDF＝30°，
∴
∴
∴
当B、P、M、D共线时，PA+PB+PC的值最小，
即PA+PB+PC的最小值为：；
故答案为．

【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、最短距离等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
3．（1）2；（2）；（3）存在，
【分析】（1）如图①，根据等边三角形的判定和性质解决问题即可．
（2）如图②，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．易证PA＋PB＋PC＝PC＋PF＋EF，因为PC＋PF＋EF≥EC，推出当P，F在直线EC上时，PA＋PB＋PC的值最小，求出EC的长即可解决问题．
（3）如图③−1中，将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出EC的值最小时，QP＋QB＋QC的值最小，如图③−2中，延长BA交CD的延长线于J，作△ADJ的外接圆⊙O，将线段BO，BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，BE，连接EO′，OB，OP．易证△BEO′≌△BPO（SAS），推出EO′＝OP＝，推出点E的运动轨迹是以O′为圆心，为半径的圆，推出当点E在线段CO′上时，EC的值最小，最小值＝CO′−EO′．
【详解】（1）如图①，

由旋转的性质可知：△BCC′是等边三角形，
∴CC′＝BC＝2，
故答案为2．
（2）如图②，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．

由旋转的性质可知：△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝PC+PF+EF，
∵PC+PF+EF≥EC，
∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，
根据旋转以及翻折的性质可得BC＝BE＝BA＝3，
∵，
∴,
∵EB⊥BC，
∴EC＝BC＝3，
∴PA+PB+PC的最小值为3．
（3）如图③﹣1中，将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，

∴BQ＝QG，PQ＝EG，
∴PQ+BQ+CQ＝EG+GQ+QC≥EC，
∴EC的值最小时，QP+QB+QC的值最小，
如图③﹣2中，延长BA交CD的延长线于J，作△ADJ的外接圆⊙O，将线段BO，BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，BE，连接EO′，OB，OP．

∵，
∴△BEO′≌△BPO（SAS），
∴EO′＝OP，
∵∠APD+∠AJD＝180°，
∴A，P，D，J四点共圆，
∴OP＝，
∴EO′＝，
∴点E的运动轨迹是以O′为圆心，为半径的圆，
∴当点E在线段CO′上时，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′，
连接OO′，延长OO′到R，使得O′R＝OO′，连接BR，则∠OBR＝90°，作RH⊥CB交CB的延长线于H，O′T⊥CH于T，OM⊥BC于M．
在Rt△OBM中，BM＝5，OM＝，
∴OB＝＝，
∴BR＝OB＝14，
由△BHR∽△OMB，
∴＝，
∴RH＝5，
∵HR∥O′T∥OM，OO′＝RO′，
∴TM＝TH，
∴O′T＝＝，
∴BT＝＝3，
∴CO′＝＝，
∴CO′﹣EO′＝﹣＝．
∴QP+QB+QC的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）连接AF，由（1）得，，，推出，然后根据现有条件说明
在中，，点A，D，C，E四点共圆，F为圆心，则，在中，推出，即可得出答案；
（3）在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，证明点P位于线段CE上，同理得到点P位于线段BF上，证明∠BPC=120°，进而得到，设PD为，
得出，，得出，解出a，根据即可得出答案．
【详解】解：（1）证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）连接AF，由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，
∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则，
在中，
∵，
∴F为CG中点，即，
∴，
即；

（3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP，
∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴当的值取得最小值时，点P位于线段CE上；

如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，
∴当的值取得最小值时，点P位于线段BF上；

综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∴∠EPB=EAB=60°，
∴∠BPC=120°，

如图4，同理可得，，
  
∴，
设PD为，
∴，
又，
∴，


又
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键．
5．（1）见解析；（2）存在，
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，可得BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°，再由∠MBN＝60°，可推出∠MBA＝∠NBE，由此即可证明；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，可以推出当AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF，由此求解即可．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得BN=BM，
如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，
∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN＝∠ABE，
∴∠MBA＝∠NBE；
在△AMB与△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；

（2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，
∴，，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF
∴为等边三角形，
即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=BF，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150°
∴∠BAF=∠AFB＝15°，
∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30°
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6．（1）；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）方法1：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，根据直角三角形斜边中线的性质可得EF＝BE＝AB＝2，根据∠ABC=60°可得△BEF是等边三角形，根据菱形的性质可得CF＝EF＝2，∠DCG=60°，利用含30°角的直角三角形的性质可得CG、DG的长，即可得出FG的长，利用勾股定理即可得答案；方法2：同方法1可得BF的长，利用勾股定理可得AF的长，再利用勾股定理即可得答案；
（2）方法1：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，根据平行线的性质可得∠AEG＝∠HDG，根据中点的定义可得EG＝DG，利用ASA可证明△AEG≌△DHG，可得AG＝HG，AE＝DH，利用SAS可证明△AFC≌△AHD，可得AH＝AF，同理可得△ABF≌△ACH，进而可得∠FAH＝60°，即可证明△AFH是等边三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得结论；方法2：同方法1可证明△AEG≌△HDG，可得AG＝HG，AE＝DH，根据线段的和差关系可得BE＝CH，根据BE＝BF，∠ABC＝60°可得△BEF是等边三角形，可得∠BEF＝60°，EF＝BE，进而可证明△AEF≌△FCH，可得AF＝HF，可得结论；
（3）如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60°，得到△EBD，根据旋转的性质可得当E、D、P、C四点共线时，为PA+PB+PC最小，如图3，连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DGC，可得CP＝CG，∠PCG＝60°，进而可得△PCG是等边三角形，得出PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°，根据菱形的性质可得BP＝CP，同理可得DG＝CG，可得BP＝PG＝GD，在Rt△BOC中，利用∠OBC的余弦可求出OB的长，即可求出BD的长，进而可得答案．
【详解】（1）方法1：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴EF＝BE＝AB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=4，AB//CD，
∴BF＝EF＝BC=2，∠DCG=∠ABC=60°，
∴CF＝EF＝2，∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝2，DG＝＝2，
∴FG＝CF+CG＝4，
在Rt△DFG中，DF＝＝2．

方法2：∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在Rt△ABF中，EF＝BE＝AB，
∴AB＝4，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AD＝AB＝4，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠BAF＝30°，
∴BF=AB=2，
∴AF＝=2，∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，
∴DF＝＝2．
（2）方法1：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠HDG，
∵G为DE的中点，
∴EG＝DG，
在△AEG和△DHG中，，
∴△AEG≌△DHG，
∴AG＝HG，AE＝DH，
∵AB＝BC＝CD，BE＝BF，
∴FC＝DH，BF＝CH，
在△AFC和△AHD中，，
∴△AFC≌△AHD，
∴AH＝AF，
同理：△ABF≌△ACH，
∴∠BAF＝∠CAH，
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∴△AFH是等边三角形，
∵AG＝HG，
∴AG⊥FG．

方法2：延长AG交CD于H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，
∵点G是DE中点，
∴EG＝DG，
在△AEG和△DHG中，，
∴△AEG≌△HDG，
∴AG＝HG，AE＝DH，
∴BE＝CH，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF＝60°，EF＝BE，
∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，
∴△AEF≌△FCH，
∴AF＝HF，
∵AG＝HG，
∴FG⊥AG，
（3）如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转60°，得到△EBD，
∴PA=DE，BD=BP，
∵旋转60°，
∴△DBP为一个等边三角形，
∴PB＝PD，
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC
∴当E、D、P、C四点共线时，为PA+PB+PC最小．

如图3，连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，
∴△APC≌△DGC，
∴CP＝CG，∠PCG＝60°，
∴△PCG是等边三角形，
∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，
∴BP＝CP，
同理，DG＝CG，
∴BP＝PG＝GD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，
∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴BP＝BD＝．

即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．
【点睛】本题考查四边形综合，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
7．(1)  (2) ；或   （3）可以取到的最小值为．当取得最小值时，线段的长为
【分析】（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；
（2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；
（3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外接圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得AP的长．
【详解】（1）过E作EG⊥OD于G
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，OD＝2；
∵E为BD中点，
∴=
∴EG=1，GD＝
∴OG＝
∴点E的坐标为(，1)
∵抛物线经过、两点，
∴.
可得.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵抛物线与轴相交于、，在的左侧，
∴点的坐标为.
过E作EG⊥x轴于G
∴,
∴在△AGE中，,
.
过点作⊥于，
可得△∽△．
∴．
∴．
∴
∴.
∵△是等边三角形,
∴．
∴．
∴,或

    （3）如图；

以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；
易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；
连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′为等边三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE=
如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，

根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四点共圆；
易求得Q（，1），则H（，0）；
∴AH=；
由割线定理得：AP•AE=OA•AH，
即：AP=OA•AH÷AE=×÷=
故： 可以取到的最小值为．
当取得最小值时，线段的长为
【点睛】此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．
8．(1)；(2)或；(3)的和最小值为．
【分析】（1）利用待定系数法列方程组求出a、b的值即可；（2）根据抛物线解析式可求出A、B两点坐标，即可得出对称轴解析式，分两种情况：当以AB为边时，EF//AB，由对称轴可得E点的横坐标，根据EF=AB=4即可得出F点的横坐标，根据菱形的性质求出EM的长，把F点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；当以AB为菱形对角线时，根据菱形的性质可得AB⊥EF，利用勾股定理可求出FM的长，进而可得F点坐标，把F点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；（3）由当时，点到二次函数图象的垂直距离最小，将绕点逆时针旋转到位置，连接，作于，根据AB=AF=BF可证明△ABF是等边三角形，根据旋转性质可知均为等边三角形，进而可得当共线时的和最短，在Rt△APN中，利用勾股定理求出AN的长即可得答案.
【详解】(1)∵抛物线过点，
∴
解得
∴解析式.
(2)当时，由，得，
对称轴所在直线为，顶点坐标为，
∵抛物线与轴相交于点．
∴
①若为菱形的边，如图1，则，且的横坐标为3
∴的横坐标为7或-1，
∵，
∴
∴或，
当，
∴点到二次函数图象的垂直距离为，
当x=-1时，y=×(-1)2-(-1)×3+=6，
∴点到二次函数图象的垂直距离为.

②若为对角线，如图2，
∵是菱形，，
∴EM=FM==
∴，
当x=3时，y=×32-3×3+=-2，
∴点到二次函数图象的垂直距离为=-2，

综上所述：点到二次函数图象的垂直距离为或-2.
(3)当时，点到二次函数图象的垂直距离最小，如图3，将绕点逆时针旋转到位置，连接，作于，
∵AB=4，AF=BF=4，
∴△ABF是等边三角形，
∵将绕逆时针旋转到位置，
∴≌，且均为等边三角形，
∴，
∵，
∴当共线时的和最短，即最短值为的长．
∵，
∴且，
∴，
∴，
在中，，
∴的和最小值为．

【点睛】本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求二次函数解析式，等边三角形的判定与性质、菱形的性质及旋转的性质，理解点到二次函数图象的垂直距离的定义是解题关键.
9．最小值为．
【分析】根据题意，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，当B、P、P’’、A’’共线时，取值最小，由旋转及位似的性质可得：，，在中，利用三角函数解直角三角形可得，再由勾股定理即可得．
【详解】解：如图所示，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，如图所示：当B、P、P’’、A’’共线时，取值最小，

，
由旋转及位似的性质可得：在中，
，
，
在中，
，
，，
在中，
∴根据勾股定理可得：
，
∴在中，
，
∴最小值为．
【点睛】题目主要考查旋转、位似的性质、特殊三角函数及勾股定理解直角三角形等知识点，理解题意，作出相应辅助线图形是解题关键．
10．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）
【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可；
（2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解；
（5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可；
（6）由可由（5）得：的最小值为26；
（7）由可由（4）得的最小值为；
（8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为
同理可证为等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值为；

（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，
∴∠CAE=30°，
∴
∴，，
∴，
∴的最小值为；

（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
过点C作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴
∴，
∴
∴，
∴的最小值为；

（4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接
由旋转的性质得，，，，
∴，，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当，，，共线时最小，最小为，
∵，
∴，
∴的最小值为；

（5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，
同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，

∵，在中，，
，
最小为；
（6）∵
∴由（5）得：的最小值为26；
（7）∵
∴由（4）得的最小值为；

（8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，
同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．
在中，，，
过点作交BC延长线于E，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小．
11．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△AP′B′，取PP′中点D，连接AD，可得∠P′AB′=∠PAB，AB′=AB=4，当点C、P、P′、B′共线是，CP+PP′+P′C最短，即最短，根据∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，可求∠ACB′=∠AB′C=在Rt△ADC中，根据勾股定理CD=即可；
（2）将△APB逆时针旋转90°，得到△AP′B′，延长AP′到AP″=2AP′，延长AB′到AB″=2AB′，根据点P′，B′是AP″，AB″的中点，可得P″B″=2 P′B′，当点C，P，P″，B″共线时，线段最小值=CB″，过C作射线B″A的垂直线CE⊥B″A于E，先求出∠ECA=90°-∠EAC=30°，利用30°直角三角形性质可得AE=，根据勾股定理EC，在Rt△CEB″中即可；
（3）把△APB逆时针旋转90°，得到△AP′B′，以AP、AP为邻边作正方形APTP′，连接AT，′延长AP′到AM=2AT，过M作MN∥P′B′，交AB′延长线与N，可得AM=2AT=2，根据MN∥P′B′，可证△AP′B′∽△AMN，得出，可得， ，当点C，P，M，N共线时，线段最小值最小值=CN，过C作射线NA的垂直线CF⊥NA于F，先求出∠CAN=120°，再求∠FCA=90°-∠FAC=30°，利用30°直角三角形性质可求AF=，利用勾股定理可求FC，在Rt△CFN中即可；
（4）将△APB逆时针旋转90°得△AP′B′，延长CP交AP′与M，使PM=，根据勾股定理在Rt△APM中，AM=，过M作MN∥P′B′，交AB′于M，根据MN∥P′B′，可证△AP′B′∽△AMN，可得，可求，，根据两点间距离可得CP+PM+MN≥CN，当点C、P、M、N四点共线时，最短=CF，过C作CG⊥NA于G，可求∠GAC=180°-∠BAF=60°，∠GCA=90°-∠GAC=30°利用30°直角三角形性质AG=，利用勾股定理可求CG=，NG=NA+AG=，CN=即可 ．
【详解】解：（1）将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△AP′B′，取PP′中点D，连接AD
∴∠P′AB′=∠PAB，AB′=AB=4，
∴当点C、P、P′、B′共线是，CP+PP′+P′C最短，即最短，
∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，
∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°，
∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，
∴∠ACB′=∠AB′C=，
∵点D为PP′中点，AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴AD⊥PP′，即AD⊥CB′，
∴AD=，
在Rt△ADC中，根据勾股定理CD=，
∴最小值为CB′=2×；

（2）将△APB逆时针旋转90°，得到△AP′B′，延长AP′到AP″=2AP′，延长AB′到AB″=2AB′，
∵点P′，B′是AP″，AB″的中点，
∴P″B″=2 P′B′，
∴当点C，P，P″，B″共线时，线段最小值=CB″，
过C作射线B″A的垂直线CE⊥B″A于E，
∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，
∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°，
∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，
∴∠CAB″=120°，AB″=2AB′=2AC=8，
∴∠EAC=180°-∠CAB″=60°，
∴∠ECA=90°-∠EAC=30°，
∴AE=，
∴EC，
在Rt△CEB″中
，
∴最小值为，

（3）把△APB逆时针旋转90°，得到△AP′B′，以AP、AP为邻边作正方形APTP′，连接AT，′延长AP′到AM=2AT，过M作MN∥P′B′，交AB′延长线与N，
则AM=2AT=2，
∵MN∥P′B′，
∴∠AP′B′=∠AMN，∠AB′P′=∠ANM，
∴△AP′B′∽△AMN，
∴，
∴， ，
∴当点C，P，M，N共线时，线段最小值最小值=CN，
过C作射线NA的垂直线CF⊥NA于F，
∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，
∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°，
∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，
∴∠CAN=120°，
∴∠FAC=180°-∠CAB″=60°，
∴∠FCA=90°-∠FAC=30°，
∴AF=，
∴FC，
在Rt△CFN中
，
∴最小值为，

（4）解：将△APB逆时针旋转90°得△AP′B′，延长CP交AP′与M，使PM=，
在Rt△APM中，AM=，
过M作MN∥P′B′，交AB′于M，
∵MN∥P′B′，
∴∠AP′B′=∠AMN，∠AB′P′=∠ANM，
∴△AP′B′∽△AMN，
∴，

∴，，
∴CP+PM+MN≥CN，
当点C、P、M、N四点共线时，最短=CF，
过C作CG⊥NA于G，
∵∠BAC=30°，∠CAN=90°，
∴∠CAN=∠BAC+∠BAN=30°+90°=120°，
∴∠GAC=180°-∠BAF=60°，∠GCA=90°-∠GAC=30°，
∴AG=，CG=，NG=NA+AG=，
∴CN=，
∴最小值=CN=．
【点睛】本题考查图形旋转，等腰三角形性质，勾股定理，30°直角三角形性质，三角形相似判定与性质，两点之间线段最短，掌握图形旋转性质，等腰三角形性质，勾股定理，30°直角三角形性质，三角形相似判定与性质，两点之间线段最短是解题关键
12．．
【分析】先将△APC逆时针旋转60°得△AP′C′，延长AP′到E，AE=，根据勾股定理求出PE=，过E作FE∥P′C′，交AC′延长线于F，可证△AP′C′∽△AEF，可得，求出，，根据 BP+PE+EF≥BF，当点B、P、E、F四点共线时，最短=BF，过B作BH⊥FA于H，可求∠BAF=120°，可得∠HBA=30°，AH=，BH=，FH=FA+AH=，BF=即可．
【详解】解：将△APC绕点A逆时针旋转60°得△AP′C′，延长AP'到E，使AE=，连结PE，过P作PG⊥AE于G，
∵∠PAG=60°，∠AGP=90°，
∴∠APG=90°-∠PAG=30°，
∴AG=，PG=，
∴GE=AE-AG=，
∴PE=，
过E作FE∥P′C′，交AC′于F，
∵FE∥P′C′，
∴∠AP′C′=∠AEF，∠AC′P′=∠AFE，
∴△AP′C′∽△AEF，
∴，
∴，，
∴BP+PE+EF≥BF，
当点B、P、E、F四点共线时，最短=BF，
过B作BH⊥FA于H，
∵∠BAC=60°，∠CAF=60°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°+60°=120°，
∴∠HAB=180°-∠BAF=60°，
∴∠HBA=90°-∠HAB=30°，
∴AH=，
∴BH=，FH=FA+AH=，
BF=，
∴最小值=．

【点睛】本题考查图形旋转性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，30°直角三角形性质，四点共线，本题难度大，具有较强的作图，和知识经验积累，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
13．
【分析】将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大倍，得到△，当点B、P、、在同一直线上时，=最短，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大，相似比为倍，得到△，则，，，
过点P作PE⊥A于E，
∴AE=，
∴E=A-AE=，
∴P=，
当点B、P、、在同一直线上时，=最短，此时=B，
∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，
∴．
∴=B=

【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形．
14．．
【分析】将△APC逆时针旋转60°得△AP′C′，延长AP′到E，使PE=，作PG⊥AE于G，根据旋转角∠GAP=60°，∠PGA=90°可求∠GPA=90°-∠GAP=90°-60°=30°，利用30°直角三角形可得AG=AP，根据勾股定理PG=，EG=AE-AG=，根据勾股定理可求PE，过E作FE∥P′B′，交AB′延长线于F，根据FE∥P′B′，可证△AP′B′∽△AEF，根据性质可得，可得，，根据两点间距离可得CP+PE+EF≥CF，当点C、P、E、F四点共线时，最短=CF，可得∠CAF=∠BAC+∠BAF=30°+60°=90°，根据勾股定理CF=即可．
【详解】解：将△APB顺时针旋转60°得△AP′B′，延长AP′的延长线到E，使PE=，连结PE，作PG⊥AE于G，
∵∠GAP=60°，∠PGA=90°
∴∠GPA=90°-∠GAP=90°-60°=30°，
∴AG=AP，PG=
∴EG=AE-AG=，
在Rt△GPE中，PE=，
过E作FE∥P′B′，交AB′延长线于F，
∵FE∥P′B′，
∴∠AP′B′=∠AEF，∠AB′P′=∠AFE，
∴△AP′B′∽△AEF，
∴，
∴，，
∴根据两点间距离可得CP+PE+EF≥CF，
当点C、P、E、F四点共线时，最短=CF，
过B作BG⊥FA于G，
∵∠BAC=30°，∠BAF=60°，
∴∠CAF=∠BAC+∠BAF=30°+60°=90°，
在Rt△CAF中，CF=，
最小=．
．
【点睛】本题考查图形旋转性质，勾股定理，30°直角三角形性质，三角形相似判定与性质，四点共线，本题难度大，具有较强的作图，和知识经验积累，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
15．
【分析】将绕点A逆时针旋转60°于，将绕点B顺时针旋转60°于，连接，，作交BA的延长线于点G，作交AB的延长线于点H，根据题意得到和都是等边三角形，然后得出AF＋DF＋FE＋CE＋BE，最后根据勾股定理和矩形的性质求出的长度即可．
【详解】解：如图所示，将绕点A逆时针旋转60°于，将绕点B顺时针旋转60°于，连接，，作交BA的延长线于点G，作交AB的延长线于点H，

∴，，
∴，，，，
又∵旋转角等于60°，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE，
∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值为的长度．
∵，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴．
∴．
∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值为．
【点睛】此题考查了费马点问题，全等三角形的旋转变化，两点之间线段最短，解题的关键是将绕点A逆时针旋转60°于，将绕点B顺时针旋转60°于，构造出全等三角形．