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中考数学专项训练（22）专题瓜豆原理——主从动点问题含解析答案
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这是一份中考数学专项训练（22）专题瓜豆原理——主从动点问题含解析答案，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学专项训练（22）专题�瓜豆原理——主从动点问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是
A．1
B．
C．2
D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ）
A．14 B．7 C．9 D．6
3．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
二、填空题
4．如图，，，点为平面内一动点，且，点为线段中点，则线段的取值范围为 ．
5．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是 ．
6．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是 ．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P 沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 ．
8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=8，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为 .
9．如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．
11．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm．
12．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．
13．在平面直角坐标系中，，过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点以AP为边在AP右侧作，使，且，连结AB、BQ，则周长的最小值为 .
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4， BC ＝3， E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝ ，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则线段BE的取值范围为
16．正方形ABCD的边长为1， E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为
三、解答题
17．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点．
（1）当点E从点D向点A运动的过程中：
①求证：AF⊥BE；
②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；
（2）在整个运动过程中：
①线段DH长度的最小值为______．
②线段DH长度的最大值为_________ ．
18．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P在⊙O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ． 求当点P在⊙O上运动时，求OQ的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
，，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
2．B
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE、AD，
在直角中，
∵E是直角斜边AB上的中点，
∴，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴，
∴在中，，即，
∴最大值为7，
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键．
3．A
【分析】以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，在求出点D到BC的最大距离，即可求出面积最大值．
【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，
∵，
∴，即
在和中，
，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，
要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，
∵是边长为4的等边三角形，
∴点M到BC的距离是，
∴点D到BC的最大距离是，
∴的面积最大值是．
故选：A．
【点睛】本题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
4．
【分析】连接，取的中点，连接，先根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理、直角三角形的性质可得，然后分三种情况，根据三角形的三边关系、线段的和差即可得．
【详解】解：如图1，连接，取的中点，连接，
点为线段中点，
是的中位线，
，
，，
，
又点为的中点，
，
（1）如图1，当点不共线时，
由三角形的三边关系得：，
即；
（2）如图2，当点共线，且点位于点中间时，
则；
（3）如图3，当点共线，且点位于点中间时，
则；
综上，线段的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．
5．
【分析】如图，在y轴上取一点，连接，，由勾股定理求出=5，由三角形中位线定理求=2OP，当C在线段上时，的长度最小值=5-2-3，当C在线段延长线上时，的长度最大值=5+2=7，即可求解．
【详解】如图，在y轴上取一点，连接，，
∵B（0，3），，A（4，0），
∴，，
∴，
∵点P是BC的中点，
∴，
∵，，
∴，
当C在线段上时，的长度最小值为：5-2=3，
当C在线段延长线上时，的长度最大值为：5+2=7，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键．
6．/1.5
【详解】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．
∵点P（3，4），A（2.8，0），B（5.6，0），
∴OP=，AO=2.8，OB=5.6，
∴AB=5.6-2.8=2.8，
∴OA=AB，
又∵CM=CB，
∴AC=OM，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，
此时AC的最小值=OM′=（OP﹣PM′）=．
考点：1、点与圆的位置关系；2、坐标与图形性质；3、三角形中位线定理
7．
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】
如图所示，取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以1为半径的半圆，
点M的运动路径长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
8．
【分析】连接作于H,得到 点Q的运动轨迹是以AO为直径的,连接CK,当点Q在CK的延长线上时，CQ取得最大值，
在中，
在中，即可求出线段CQ的最大值.
【详解】连接作于H,
得到
点Q的运动轨迹是以AO为直径的,连接CK,
当点Q在CK的延长线上时，CQ取得最大值，
在中，
在中，
线段CQ的最大值为：
【点睛】考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度较大，得到点Q的运动轨迹是以AO为直径的是解题的关键.
9．2
【分析】以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，先确定点C在直线DE上运动，根据垂线段最短计算即可．
【详解】如图，以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，
∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴AB=AC，AF=AD，∠FAC+∠BAF=∠FAC+∠CAD=60°，
∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∴△BAF≌△CAD，
∴∠BFA=∠CDA=120°，
∴∠ODE=∠ODA=60°，
∴∠OED=30°，
∴OE=OA=4，
∴点C在直线DE上运动，
∴当OC⊥DE时，OC最小，
此时OC=OE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键．
10．．
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，
∴OC＝，
∴OD＝＝5，
∴OM＝＝5，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥，
∴线段OF长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．
11．
【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
【详解】如图，
当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴∠PAB+∠BAP′=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAP′+∠DAP′=90°，
∴∠PAB=∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD，
∴P′D=PB=1，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD=，
∴BP′=BD-P′D=3-1，
即BP′长度的最小值为（3-1）cm．
故答案为（3-1）．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值最小值．
12．．
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，
∴OC＝，
∴OD＝＝5，
∴OM＝＝5，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥，
∴线段OF长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．
13．
【分析】先证明△AOB∽△APQ，得到，由△OAP∼△BAQ，得到BQ=2OP，进而得到．作O关于直线的对称点O’，连接，PO'，则OP=O'P，AO'=，根据两边之和大于第三边即可得到，从而得到答案．
【详解】如图所示．连接OP．
在中，．
又在中，
又∵
，∠OAB=∠PAQ，
．
∵OA=1．OB=，∴AB=，
又P为直线上的动点．
∴作O关于直线的对称点O’，
，
连接，PO'．
∴OP=O'P，AO'=，
∴AP+OP=AP+PO'
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是把△ABQ周长的最小值转化为求AP+OP的最小值．
14．
【分析】方法一：因为点E在线段AB上运动，根据瓜豆原理可知从动点F在一条直线上运动，找出这条直线根据点到直线的距离垂线段最短即可求出CF的最小值．
方法二：依题意，当点运动到点时，以为边作正方形；同理当点运动到点时，作正方形；故点在与间运动，当时，可得最小；
【详解】方法一：解：如图，在BA延长线上取点M，使AM=AD，
∵在矩形ABCD中，，
∴，,
∵在正方形DEFG中，，
∴∠EDF=∠MDA，,
∴
∴，
∴点F在过M点垂直DM的直线MN上，
故CF的最小值为点C到直线MN的距离；
过点C作⊥MN，过D点作DH⊥，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
故答案为．
方法二：如图：当点运动到点时，以为边作正方形；同理当运动到点时，作正方形；
过点作，
，又；
又为矩形，∴ ；
∴
在和中
，又
∴；
同理可得；∴；∴ ；
当点到达点，为点的运动的最大范围，又依据等腰三角形的性质，点在与间运动，且当时，可得最小；
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查正方形及直角三角形的性质，关键在寻找等量关系及其最小值的位置．
15．
【分析】以BC为斜边向BC下方作等腰直角三角形BPC，连接EC、PD，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质易得△BCE∽△PCD，则有，则把问题转化为求PD的取值范围，过点P作PG⊥BE于点G，连接AP交BC于点H，进而易得，则有，最后问题可求解．
【详解】解：以BC为斜边向BC下方作等腰直角三角形BPC，连接EC、PD，如图所示：
∴，
∵四边形DCFE是正方形，
∴∠DCE=∠BCP=45°，，
∴，，
∴△BCE∽△PCD，
∴，
则把问题转化为求PD的取值范围，过点P作PG⊥BE于点G，连接AP交BC于点H，
∵，
∴AP垂直平分BC，
∵BC＝，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵D为边AB上一动点（B点除外），
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及正方形的性质是解题的关键．
16．
【分析】方法一：应用瓜豆原理得到F点的轨迹，利用三垂直模型可得F点在射线CF上，∠FCB=135°，构造Rt△MPF求PF长即可解答．
方法二：将AE绕E点顺时针旋转90°，得线段EF，因为E是边BC上的动点，故F是一条线段的动点，利用三垂直模型可得F点在射线CF上，∠FCB=135°，构造Rt△MPF求PF长即可解答．
方法三：构造一线三直角模型，建立直角坐标系，运用两点间的距离公式，用二次函数思想确定最小值即可．
【详解】方法一：连接AC,AF,CF,A点是定点，E,F动点，
∵AE=EF,AE⊥EF,
∴∠EAF=45°， ,
在正方形ABCD中，∠BAC=45°， ,
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC, ∠CAF=∠EAF-∠EAC,
∴∠BAE=∠CAF，
又∵ ,
∴△ABE∽△ACF,
∴∠ACF=∠ABE=90°，
∴∠DCF=45°，
∴F在射线CF上运动，且∠DCF=45°.
取EC的中点H，连接MH，
∵MD=ME，
∴，，
∴MH⊥EC，
过F点作FP⊥MH，
∴四边形FGHP是矩形，
∴PH=FG
设，则， ，
∴，
，
在Rt△MPF中， ,
即：，
∴，
当时，的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为．
方法二：解：如图，过点F作FG⊥BC垂足为G，
∵在正方形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠ABC=90°，
由旋转性质可知：AE=FE，∠AEF=90°，
∴，
∴，
∴（SAS） ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
取EC的中点H，连接MH，
∵MD=ME，
∴，，
∴MH⊥EC，
过F点作FP⊥MH，
∴四边形FGHP是矩形，
∴PH=FG
设，则， ，
∴，
，
在Rt△MPF中， ,
即：，
∴，
当时，的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为．
方法三：以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设点E（a，0），
∵正方形的边长为1，
∴点D（1，1）；
过点F作FG⊥x轴，垂足为G，
∵∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
∵∠ABE=∠EGF=90°，AE=EF，
∴△ABE≌△EGF，
∴BE=GF，AB=EG=1，
∴M（，），F（，a），
∴MF=
=
=
=
=，
当a=时，MF有最小值，且最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等和性质，两点间的距离公式，二次函数的最小值，熟练掌握一线三直角模型，借助坐标系构造二次函数是解题的关键．
17．（1）①见解析；②3π；（2）①．②．
【分析】（1）①证明△ABE≌△DAF，运用互余原理证明即可；
②根据∠AHB=90°，且AB是定长，判定点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，根据弧长公式计算即可；
（2）①根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，根据勾股定理计算即可．
②根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最长，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=CD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵DE＝CF，
∴AE=DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AF⊥BE；
②点H运动路径画图如下，
∵∠AHB=90°，且AB是定长，
∴点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，
设AB的中点为点O，连接BD，设BD 的中点为点M，连接OM
∴∠BOM=90°，
∵AB=4，
∴圆的半径为2，
∴弧长为=3π；
（2）①根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，当H与点G重合时，最短，
∵AD=4，AO=2，
∴DO==；
∴DH=DO-OG=，
故答案为：．
②根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最大，当H与点Q重合时，最大，
∵AD=4，AO=2，
∴DO==；
∴DH=DO+OQ=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，弧长公式，圆的基本性质，圆的定义，三角形的全等判定与性质，熟练运用正方形的性质，灵活运用弧长公式和圆的性质是解题的关键．
18．3
【分析】将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，易证△ABO是等边三角形，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，易证△APQ是等边三角形，易证△APO≌△AQB，得到QB=PO=1，点Q满足了到定点的距离等于定长，从而确定点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质可以确定OQ的最小值．
【详解】∵点A（－4，0），
∴OA=4，
如图，将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，
∵AB=AO，∠OAB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=4，
将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，
∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠OAP+∠PAB=∠QAB+∠PAB=60°，
∴∠OAP=∠QAB，
∴△APO≌△AQB，
∴QB=PO=1，
∴点Q满足了到定点的距离等于定长，
∴点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，
根据圆的基本性质，得当B，Q，O三点一线时，OQ取得最小值，
此时OQ=OB-BC=4-1=3．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆的定义和性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用圆的定义和性质是解题的关键．
中考数学专项训练（22）专题�瓜豆原理——主从动点问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是
A．1
B．
C．2
D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ）
A．14 B．7 C．9 D．6
3．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
二、填空题
4．如图，，，点为平面内一动点，且，点为线段中点，则线段的取值范围为 ．
5．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是 ．
6．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是 ．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P 沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 ．
8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=8，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为 .
9．如图，在直角坐标系中，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
10．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．
11．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm．
12．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．
13．在平面直角坐标系中，，过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点以AP为边在AP右侧作，使，且，连结AB、BQ，则周长的最小值为 .
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4， BC ＝3， E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝ ，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则线段BE的取值范围为
16．正方形ABCD的边长为1， E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为
三、解答题
17．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点．
（1）当点E从点D向点A运动的过程中：
①求证：AF⊥BE；
②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；
（2）在整个运动过程中：
①线段DH长度的最小值为______．
②线段DH长度的最大值为_________ ．
18．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P在⊙O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ． 求当点P在⊙O上运动时，求OQ的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
，，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
2．B
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE、AD，
在直角中，
∵E是直角斜边AB上的中点，
∴，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴，
∴在中，，即，
∴最大值为7，
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键．
3．A
【分析】以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，在求出点D到BC的最大距离，即可求出面积最大值．
【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，
∵，
∴，即
在和中，
，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，
要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，
∵是边长为4的等边三角形，
∴点M到BC的距离是，
∴点D到BC的最大距离是，
∴的面积最大值是．
故选：A．
【点睛】本题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
4．
【分析】连接，取的中点，连接，先根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理、直角三角形的性质可得，然后分三种情况，根据三角形的三边关系、线段的和差即可得．
【详解】解：如图1，连接，取的中点，连接，
点为线段中点，
是的中位线，
，
，，
，
又点为的中点，
，
（1）如图1，当点不共线时，
由三角形的三边关系得：，
即；
（2）如图2，当点共线，且点位于点中间时，
则；
（3）如图3，当点共线，且点位于点中间时，
则；
综上，线段的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．
5．
【分析】如图，在y轴上取一点，连接，，由勾股定理求出=5，由三角形中位线定理求=2OP，当C在线段上时，的长度最小值=5-2-3，当C在线段延长线上时，的长度最大值=5+2=7，即可求解．
【详解】如图，在y轴上取一点，连接，，
∵B（0，3），，A（4，0），
∴，，
∴，
∵点P是BC的中点，
∴，
∵，，
∴，
当C在线段上时，的长度最小值为：5-2=3，
当C在线段延长线上时，的长度最大值为：5+2=7，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键．
6．/1.5
【详解】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．
∵点P（3，4），A（2.8，0），B（5.6，0），
∴OP=，AO=2.8，OB=5.6，
∴AB=5.6-2.8=2.8，
∴OA=AB，
又∵CM=CB，
∴AC=OM，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，
此时AC的最小值=OM′=（OP﹣PM′）=．
考点：1、点与圆的位置关系；2、坐标与图形性质；3、三角形中位线定理
7．
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】
如图所示，取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以1为半径的半圆，
点M的运动路径长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
8．
【分析】连接作于H,得到 点Q的运动轨迹是以AO为直径的,连接CK,当点Q在CK的延长线上时，CQ取得最大值，
在中，
在中，即可求出线段CQ的最大值.
【详解】连接作于H,
得到
点Q的运动轨迹是以AO为直径的,连接CK,
当点Q在CK的延长线上时，CQ取得最大值，
在中，
在中，
线段CQ的最大值为：
【点睛】考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度较大，得到点Q的运动轨迹是以AO为直径的是解题的关键.
9．2
【分析】以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，先确定点C在直线DE上运动，根据垂线段最短计算即可．
【详解】如图，以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，
∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴AB=AC，AF=AD，∠FAC+∠BAF=∠FAC+∠CAD=60°，
∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD，
∴△BAF≌△CAD，
∴∠BFA=∠CDA=120°，
∴∠ODE=∠ODA=60°，
∴∠OED=30°，
∴OE=OA=4，
∴点C在直线DE上运动，
∴当OC⊥DE时，OC最小，
此时OC=OE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键．
10．．
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，
∴OC＝，
∴OD＝＝5，
∴OM＝＝5，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥，
∴线段OF长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．
11．
【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．
【详解】如图，
当P′在对角线BD上时，BP′最小，
连接BP，
由旋转得：AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴∠PAB+∠BAP′=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAP′+∠DAP′=90°，
∴∠PAB=∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD，
∴P′D=PB=1，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD=，
∴BP′=BD-P′D=3-1，
即BP′长度的最小值为（3-1）cm．
故答案为（3-1）．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值最小值．
12．．
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，
∴OC＝，
∴OD＝＝5，
∴OM＝＝5，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥，
∴线段OF长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．
13．
【分析】先证明△AOB∽△APQ，得到，由△OAP∼△BAQ，得到BQ=2OP，进而得到．作O关于直线的对称点O’，连接，PO'，则OP=O'P，AO'=，根据两边之和大于第三边即可得到，从而得到答案．
【详解】如图所示．连接OP．
在中，．
又在中，
又∵
，∠OAB=∠PAQ，
．
∵OA=1．OB=，∴AB=，
又P为直线上的动点．
∴作O关于直线的对称点O’，
，
连接，PO'．
∴OP=O'P，AO'=，
∴AP+OP=AP+PO'
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是把△ABQ周长的最小值转化为求AP+OP的最小值．
14．
【分析】方法一：因为点E在线段AB上运动，根据瓜豆原理可知从动点F在一条直线上运动，找出这条直线根据点到直线的距离垂线段最短即可求出CF的最小值．
方法二：依题意，当点运动到点时，以为边作正方形；同理当点运动到点时，作正方形；故点在与间运动，当时，可得最小；
【详解】方法一：解：如图，在BA延长线上取点M，使AM=AD，
∵在矩形ABCD中，，
∴，,
∵在正方形DEFG中，，
∴∠EDF=∠MDA，,
∴
∴，
∴点F在过M点垂直DM的直线MN上，
故CF的最小值为点C到直线MN的距离；
过点C作⊥MN，过D点作DH⊥，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
故答案为．
方法二：如图：当点运动到点时，以为边作正方形；同理当运动到点时，作正方形；
过点作，
，又；
又为矩形，∴ ；
∴
在和中
，又
∴；
同理可得；∴；∴ ；
当点到达点，为点的运动的最大范围，又依据等腰三角形的性质，点在与间运动，且当时，可得最小；
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查正方形及直角三角形的性质，关键在寻找等量关系及其最小值的位置．
15．
【分析】以BC为斜边向BC下方作等腰直角三角形BPC，连接EC、PD，由正方形的性质及等腰直角三角形的性质易得△BCE∽△PCD，则有，则把问题转化为求PD的取值范围，过点P作PG⊥BE于点G，连接AP交BC于点H，进而易得，则有，最后问题可求解．
【详解】解：以BC为斜边向BC下方作等腰直角三角形BPC，连接EC、PD，如图所示：
∴，
∵四边形DCFE是正方形，
∴∠DCE=∠BCP=45°，，
∴，，
∴△BCE∽△PCD，
∴，
则把问题转化为求PD的取值范围，过点P作PG⊥BE于点G，连接AP交BC于点H，
∵，
∴AP垂直平分BC，
∵BC＝，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵D为边AB上一动点（B点除外），
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及正方形的性质是解题的关键．
16．
【分析】方法一：应用瓜豆原理得到F点的轨迹，利用三垂直模型可得F点在射线CF上，∠FCB=135°，构造Rt△MPF求PF长即可解答．
方法二：将AE绕E点顺时针旋转90°，得线段EF，因为E是边BC上的动点，故F是一条线段的动点，利用三垂直模型可得F点在射线CF上，∠FCB=135°，构造Rt△MPF求PF长即可解答．
方法三：构造一线三直角模型，建立直角坐标系，运用两点间的距离公式，用二次函数思想确定最小值即可．
【详解】方法一：连接AC,AF,CF,A点是定点，E,F动点，
∵AE=EF,AE⊥EF,
∴∠EAF=45°， ,
在正方形ABCD中，∠BAC=45°， ,
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC, ∠CAF=∠EAF-∠EAC,
∴∠BAE=∠CAF，
又∵ ,
∴△ABE∽△ACF,
∴∠ACF=∠ABE=90°，
∴∠DCF=45°，
∴F在射线CF上运动，且∠DCF=45°.
取EC的中点H，连接MH，
∵MD=ME，
∴，，
∴MH⊥EC，
过F点作FP⊥MH，
∴四边形FGHP是矩形，
∴PH=FG
设，则， ，
∴，
，
在Rt△MPF中， ,
即：，
∴，
当时，的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为．
方法二：解：如图，过点F作FG⊥BC垂足为G，
∵在正方形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠ABC=90°，
由旋转性质可知：AE=FE，∠AEF=90°，
∴，
∴，
∴（SAS） ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
取EC的中点H，连接MH，
∵MD=ME，
∴，，
∴MH⊥EC，
过F点作FP⊥MH，
∴四边形FGHP是矩形，
∴PH=FG
设，则， ，
∴，
，
在Rt△MPF中， ,
即：，
∴，
当时，的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为．
方法三：以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设点E（a，0），
∵正方形的边长为1，
∴点D（1，1）；
过点F作FG⊥x轴，垂足为G，
∵∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
∵∠ABE=∠EGF=90°，AE=EF，
∴△ABE≌△EGF，
∴BE=GF，AB=EG=1，
∴M（，），F（，a），
∴MF=
=
=
=
=，
当a=时，MF有最小值，且最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等和性质，两点间的距离公式，二次函数的最小值，熟练掌握一线三直角模型，借助坐标系构造二次函数是解题的关键．
17．（1）①见解析；②3π；（2）①．②．
【分析】（1）①证明△ABE≌△DAF，运用互余原理证明即可；
②根据∠AHB=90°，且AB是定长，判定点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，根据弧长公式计算即可；
（2）①根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，根据勾股定理计算即可．
②根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最长，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=CD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵DE＝CF，
∴AE=DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AF⊥BE；
②点H运动路径画图如下，
∵∠AHB=90°，且AB是定长，
∴点H在以AB为直径的圆上，且H可以与M，B重合即运动路径是一段优弧，
设AB的中点为点O，连接BD，设BD 的中点为点M，连接OM
∴∠BOM=90°，
∵AB=4，
∴圆的半径为2，
∴弧长为=3π；
（2）①根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之间时最短，当H与点G重合时，最短，
∵AD=4，AO=2，
∴DO==；
∴DH=DO-OG=，
故答案为：．
②根据圆的性质，当O，H，D共线，且H在O，D之外时最大，当H与点Q重合时，最大，
∵AD=4，AO=2，
∴DO==；
∴DH=DO+OQ=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，弧长公式，圆的基本性质，圆的定义，三角形的全等判定与性质，熟练运用正方形的性质，灵活运用弧长公式和圆的性质是解题的关键．
18．3
【分析】将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，易证△ABO是等边三角形，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，易证△APQ是等边三角形，易证△APO≌△AQB，得到QB=PO=1，点Q满足了到定点的距离等于定长，从而确定点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质可以确定OQ的最小值．
【详解】∵点A（－4，0），
∴OA=4，
如图，将AO绕点A顺时针旋转60°得到AB，
∵AB=AO，∠OAB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=4，
将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，
∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠OAP+∠PAB=∠QAB+∠PAB=60°，
∴∠OAP=∠QAB，
∴△APO≌△AQB，
∴QB=PO=1，
∴点Q满足了到定点的距离等于定长，
∴点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，
根据圆的基本性质，得当B，Q，O三点一线时，OQ取得最小值，
此时OQ=OB-BC=4-1=3．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆的定义和性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用圆的定义和性质是解题的关键．
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