中考数学专项训练（23）专题隐圆模型－－－四点共圆含解析答案

中考数学专项训练（23）专题�隐圆模型－－－四点共圆

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ）

A． B． C． D．

二、填空题

2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为  ．

3．如图，在中，，AB＝AC＝5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG＝FG时，线段长为     

4．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则           ．

5．如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为        ．

三、解答题

6．如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．

（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；

（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．

7．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．

（1）求证：ΔABC是半直角三角形；

（2）求证：∠DEC=∠DEA；

（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；

（4）BC交y轴于点N，问的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.

8．如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．

（1）求证：；

（2）延长交于点，求证：为的中点；

（3）在（2）的条件下，若的边长为1，直接写出的最大值．

参考答案：

1．C

【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．

【详解】弧、弧的长度分别为、

圆的周长为

（圆内接四边形的对角互补）

弧所对圆心角的度数为

则弧的长度为

故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．

2．5

【分析】首先过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，易得四边形OMBN是矩形，OM∥BC，ON∥AB，又由AB=6，BC=8，O为AC的中点，可求得OM与ON的长，然后由勾股定理求得MN的长，又由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，求得答案．

【详解】过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形OMBN是矩形，

∴OM∥BC，ON∥AB，

∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，

∴OM：BC=OA：AC，ON：AB=OC：AC，

∵O为AC的中点，

∴OM＝BC＝×8＝4，ON＝AB＝×6＝3，

∴MN＝＝5，

由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，

∴EF的最小值为5．

故答案为：5．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及垂线段最短的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

3．

【分析】连接DF，EF，过点F作，，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A、D、F、E四点共圆，，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．

【详解】解：如图，连接DF，EF，过点F作，．

∵在中，，点G是DE中点，

∴．

∵AG=FG，

∴A、D、F、E四点共圆，G点为圆心，DE为直径，

∴．

∵在中，，

∴．

又∵点F是BC中点，

∴，．

∴四边形AMFN是正方形，

∴．

∵，，

∴．

∴在和中，

∴，

∴，

∴，

∴在中，．

故答案为：．

【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．

4．102.5°

【分析】先根据旋转的性质得到，，得到点A、N、F、C共圆，再利用，根据平角的性质即可得到答案；

【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，

根据旋转的性质得到：

AC=AF，，，，

∴点A、N、F、C共圆，

∴，

又∵点A、N、F、C共圆，

∴，

∴（平角的性质），

故答案为：102.5°

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键；

5．．

【分析】根据点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可得，点运动路径所对的圆心角是，连接，取的中点，连接，，根据在和中，点是斜边的中点，可证得点，，，四点均在同一个圆，即上，过点作，垂足为点，由垂径定理，，，可求得，再根据点和点重合，得到点运动路径所对的圆心角是，根据弧长公式可求解．

【详解】解：点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，

当点与点重合时，，

当点与点重合时，，

点运动路径所对的圆心角是，

如图，连接，取的中点，连接，，

在和中，点是斜边的中点，

，

根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上，

又，，

，，

过点作，垂足为点，

由垂径定理得，，

在中，，，则，

，

∵是的外接圆的圆心，

即：点和点重合，如图2

，

点是以点为圆心为半径，

点运动路径所对的圆心角是，

点运动路径所对的圆心角是，

点运动的路径长为．

故答案是：．

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公式是解题的关键．

6．（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据垂直及同弧所对圆周角相等性质，可得，可证与全等，得到，进一步即可证点和关于直线成轴对称；

（2）作出相应辅助线如解析图，可得与全等，利用全等三角形的性质及切线的性质，可得，根据平行线的性质及三角形内角和即可得出答案．

【详解】解：（1）证明：∵，，

∴，

∵，

∴，

又∵同弧所对圆周角相等，

∴，

∴，

在与中，

∴，

∴，

又，

∴点和关于直线成轴对称；

（2）如图，延长交于点，连接，，，，

∵，，

∴、、、四点共圆，、、、四点共圆，

∴，，

在与中，

，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴，

又，

∴，

∵与相切，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】题目主要考查圆的有关性质、三角形全等、成轴对称、平行线性质等，作出相应辅助线及对各知识点的熟练运用是解题的关键．

7．（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）不变，为 .

【分析】（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根据定义得：△ABC是半直角三角形；

（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四点共圆，

则∠DBA+∠DEA=180°，可得结论；

（3）设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程为：（8-r）2+42=r2，可得⊙M 的半径为5，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根据勾股定理可得结论；

（4）过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q,通过证明Rt△HDC≌Rt△ADO，推出HC=OD，DH=OA，推出CQ= BQ，得出∠CBQ=45°，推出△HCN为等腰直角三角形即可.

【详解】解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，

∴∠ABE=∠ADE=45〫

∴ΔABC是半直角三角形

（2））∵OM⊥AB，OA=OB，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵∠DEB=∠DAB，

∴∠DBA=∠DEB，

∵D、B、A、E四点共圆，

∴∠DBA+∠DEA=180°，

∵∠DEB+∠DEC=180°，

∴∠DEA=∠DEC；

（3））①如图，连接AM，ME，设⊙M的半径为r，

∵点D的坐标为（0,8）∴OM=8-r

由得解得r=5  ∴⊙M 的半径为5

∵∠ABE=45°

∴∠EMA=2∠ABE=90°，

∴EA2=MA2+ME2=52+52=50

∴

（4）不变，为

过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q，    

∵∠CDH+∠ODA=90°，∠CDH+∠CDH=90°，

∴∠ODA=∠CDA，

在△HDC和△ADO中，

∴Rt△HDC≌Rt△ADO（AAS），

∴HC=OD，DH=OA，

又∵BO=AO，

∴HO=DH+DO=OB+CH，

而CH=OQ，HO=CQ，

∴CQ=OB+OQ=BQ，

∴∠CBQ=45°，

又∵CH∥BA，

∴∠HCN=45°，

∴△HCN为等腰直角三角形，

∴

∴=

【点睛】本题考查圆综合题、圆的有关性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考压轴题．

8．（1）见解析；（2）见解析；（3）1

【分析】（1）由等边三角形的性质及旋转的性质可证明，从而可得结论；

（2）过点作，交的延长线于点，易得GC=CE证明即可解决；

（3）连接，则由等边三角形三线合一的性质可得AF⊥BC，从而有点，点，点，点四点在以为直径的圆上，则当EF是圆的直径时最长，从而可求得此时EF的值．

【详解】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，

，

是等边三角形

为等边三角形

，

，且，

（2）如图，过点作，交的延长线于点，

，

，

，

，

，且，

点是中点

（3）如图，连接，

是等边三角形，

点，点，点，点四点在以为直径的圆上，

最大为直径，

即最大值为1

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质等知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是关键．