专题01 绝对值重点及难点归类训练-2023-2024学年七年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（人教版）

专题1 绝对值重点及难点归类训练（原卷版）

类型一 绝对值的概念

1．在数轴上到原点距离等于4的点表示为　　；绝对值不大于4的整数是　　．

2．（2022秋•福清市校级期末）如果|m|＝|﹣3|，那么m＝　　．

类型二 绝对值的代数意义

3．（2021春•包河区期中）若|2a﹣7|＝7﹣2a，则a＝　　．（请写出一个符合条件的正无理数）

4．（2023春•肇东市期末）若|a|＝5，b＝6且a＜b，则2a﹣b＝　　．

5．（2022秋•海口期末）当x＝﹣3时，|x﹣5|＝　　．

类型三 简单的绝对值方程

6．（2020秋•江阴市月考）阅读下面的例题：

我们知道|x|＝2，则x＝±2

请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．

（1）|x+3|＝2，则x＝　　；

（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝　　．

7．（2023春•沈阳月考）已知|2x|＝4x+9，则x＝　　．

类型四 化简绝对值

8．（2022秋•临朐县期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（　　）

A．2a+2c﹣2b B．0 C．2c﹣2b D．2c

9．（2022秋•岳阳县期末）|3﹣π|﹣|4﹣π|＝　　．

10．（2022秋•清河区期末）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|＝　　．

11．（2023春•松江区期中）如果a＜1，化简：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝　　．

12．（2022秋•永春县期末）若|x|+1＝|x﹣1|，则化简|x﹣1|+|x|得到的结果为 　．

类型五 绝对值的非负性的应用

13．（2022秋•封开县期末）若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（　　）

A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6

14．（2023•浠水县一模）若|a+2|与|b﹣3|互为相反数，则2a+b＝　　．

15．（2022秋•光泽县期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（　　）

A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2

16．（2022秋•大方县月考）若a是有理数，则|a﹣1|+2的最小值是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

17．（2022秋•东海县期中）式子|x﹣1|+2取最小值时，x等于（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

18．按要求回答下列问题：

（1）若|2x﹣3|+|y﹣4|+|2z+5|＝0，求x+y+z的相反数；

（2）根据|x|是非负数，且非负数中最小的数是0．

①当x取何值时，|x﹣2022|有最小值，这个最小值是多少？

②当x取何值时2022﹣|x+2021|有最大值，这个最大值是多少？

类型六 绝对值的几何意义

19．（2022秋•临洮县期中）我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．

①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2．

②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x＝3或x＝﹣1．

③在方程|x﹣1|+|x+2|＝5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x|＝5的解是　　．

（2）方程|x﹣2|＝3的解是　　．

（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|＝9．

类型七 绝对值的分类讨论

21．（2021秋•剑河县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：

（1）当a＝5时，求的值；（2）当a＝﹣2时，求的值；（3）若有理数a不等于零，求的值；

（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．

22．（2021秋•浏阳市期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．

【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．

【解决问题】

解：由题意得：a、b、c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．

①当a、b、c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，

则：1+1+1＝3；

（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3＝1，则1，（a≠0））

②当a、b、c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，

则：1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1，

∴的值为3或﹣1．

（备注：一个非零数除以它的相反数等于﹣1，如：﹣3÷3＝﹣1，则1，（b≠0））

【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

（1）三个有理数a、b、c满足abc＜0，求的值；

（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．

23．同学们，我们在《有理数》这一章中学习过绝对值的概念：一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．实际上，数轴上表示数﹣3的点与原点的距离可表示为|﹣3﹣0|＝3：数轴上表示数﹣3的点与表示数2的点的距离可表示为|﹣3﹣2|＝5，那么，

（1）数轴上表示数3的点与表示数﹣1的点的距离可表示为　|3﹣（﹣1）|　；数轴上表示数a的点与表示数2的点的距离可表示为　|a﹣2|　；

（2）请同学们利用数轴探究|a﹣2|+|a+1|的最小值；并写出你的解题过程．（提示：结合数轴对数a的范围进行分类讨论）

类型八 利用绝对值进行有理数的大小比较

24．（2023秋•启东市期中）（1）在数轴上表示下列各数：1.5，0，﹣3，﹣（），﹣|﹣4|，并用“＜”号把它们连接起来；

（2）根据（1）中的数轴，找出大于﹣|﹣4|的最小整数和小于﹣（）的最大整数，并求出它们的和．

25．探索研究：

（1）比较下列各式的大小．（用“＜”、“＞”或“＝”连接）

①|﹣2|+|3|　　|﹣2+3|；

②||+||　　||；

③|6|+|﹣3|　　|6﹣3|；

④|0|+|﹣8|　　|0﹣8|．

（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系．

（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2021＝|x﹣2021|时，x的取值范围是 　；整数a1，a2，a3，a4满足|a1+a2|+|a3+a4|＝15，|a1+a2+a3+a4|＝5，则a1+a2＝　．