北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形（单元测试拔尖卷）含解析答案

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第1章�特殊平行四边形（单元测试�拔尖卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上的一点，且，则的值是（    ）
  
A． B． C． D．
2．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（   ）

A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（    ）
  
A． B．若，则
C． D．
4．如图，点O是正六边形对角线上的一点，且，则正六边形的面积为（    ）
  
A．18 B．24 C．30 D．随着点O的变化而变化
5．如图，在正方形中，点E，F将对角线三等分，且．点G是边上任意一点，则的值不可能是（    ）

A．7 B．6 C．6.3 D．
6．如图，大正方形中有2个小正方形，这两个小正方形的面积分别是和，则的值是（    ）
  
A． B． C．1 D．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（    ）

A． B． C．1 D．
8．如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处．若正方形纸片边长12，，则GE的长为（      ）

A．4 B．3 C． D．
9．如图，在中，，点在直线上方，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，点的对应点是，连接，．当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→____________→平行四边形．画线处应填入（    ）
  
A．菱形→矩形→正方形 B．矩形→菱形→正方形
C．菱形→平行四边形→矩形 D．矩形→平行四边形→菱形
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，，以OB为边作菱形，使顶点在OC的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，按照此规律继续下去，则的坐标是（   ）

A． B．
C． D．

二、填空题
11．如图，在菱形中，，对角线，P是上任意一点，M是对角线上任意一点，则的最小值为 ．
  
12．如图，在四边形纸片中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则 ．

13．如图，在矩形 中，，， 为 边上一动点，作 ，且 ．连接 ，．当 时，的面积为 ．
  
14．如图，平行四边形中，，，将沿着翻折，点B的对应点为点E，连接，那么线段 ．
  
15．如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为 ．
  
16．如图所示，在中，，，，、的平分线交于点，于，于，则四边形的面积是 ．
  
17．如图，在以点为直角顶点的中，，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点，则 ．

18．如图，在菱形中，，，点为对角线上一动点（不与点重合），且，连接交延长线于点．
①：
②当为直角三角时，；
③当为等腰三角形时，或者；
④连接，当时，平分．
以上结论正确的是 ．（填正确的序号）
  

三、解答题
19．已知：如图所示，在菱形中，，点为边上一个动点，，过点作交于点，直线与相交于点，点到直线的距离为．
  
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)试探求线段的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，已知在菱形中，，，对角线与交于点O，点E是射线上的一个动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连结，，．
  
(1)如图1，当点E在线段上运动时，
①求证：；
②当时，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)在点E的整个运动过程中，将沿着DE翻折得到四边形，当四边形为菱形时，求出此时的面积．
21．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，，，点是轴正半轴上一点，将四边形沿着过点的直线翻折，使得点落在线段上的点处．过点作轴的平行线与轴交于点．折痕与直线交于点，联结． 设，．

(1)试判断四边形的形状，并证明；
(2)当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)用含的代数式表示四边形与矩形重叠部分的面积．
22．如图，平面直角坐标系中，，．F为矩形对角线的中点，过点F的直线分别与交于点D、E．
  
(1)求证：；
(2)设，的面积为S，
①求S与m的函数关系式；
②当时，求S的值；
(3)若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
23．如图1，矩形中，E为中点，连接，于点G，交于F，于点H，，交于点I．
  
(1)求证：；
(2)若，求证：A、I、F三点共线；
(3)如图2，连接交于点P，连接，求证：四边形是矩形．
24．在正方形中，点是边上的中点，连接，．
  
(1)如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积；
(2)如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：；
(3)如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积．

参考答案：
1．B
【分析】根据菱形的性质可得，再证明是等边三角形，进而可得，再根据直角三角形斜边上的中线可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角定理进行计算即可解答．
【详解】解：连接，交于点，连接，
  
四边形是菱形，
，，，，，
，
是等边三角形，
，
，点是中点，
，
设，
，  
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，  
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
2．A
【分析】先证明是等边三角形，求出EF，同理可证都是等边三角形，然后求出EH，GF，FG即可．
【详解】解：如图，连接BD，AC，

∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
同法可证，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形EFGH的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
3．B
【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．
【详解】解：由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE=，
∵∠D=60°，
∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵菱形ABCD
∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵ABCD，AB=2DE，
∴，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据正六边形性质，得到如下的结论：各边相等，各个角相等，从而得到、、，即四边形是矩形，且面积为16，过点B作于点G，计算，最后根据图形确定正六边形的面积即可．
【详解】解：如图∵正六边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点B作于点G，
∴，
  
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握正六边形的性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定和性质是解题的关键．
5．A
【分析】结合正方形的性质，作点关于对称的点，连接，，，，由对称可知：，，可知，，易证得为等腰直角三角形，由勾股定理求得，，由三角形三边关系可知，当，，在同一直线上时取等号，由点G是边上任意一点，可知，，进而可得，即可判断答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，点E，F将对角线三等分，
∴，
作点关于对称的点，连接，，，，

由对称可知：，，
∴，，
∴，，
又∵
∴，则为等腰直角三角形，
在中，，，
∴，
在等腰，中，可得，
由三角形三边关系可知：，当，，在同一直线上时取等号，
由点G是边上任意一点，可知，，
综上，，
∵，
∴不可能为7，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，利用轴对称构造辅助线是解决问题的关键．
6．A
【分析】设正方形的边长为m，可证明两个小正方形的边长分别为和，则两个小正方形的面积分别为，，即可求得．
【详解】解：如图，设正方形的边长为m，
  
∵，，
∴，，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的面积公式等知识，正确地作含同一字母的代数式表示两个小正方形的面积和是解题的关键．
7．B
【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，则，即可根据勾股定理求出，再由，且得，则，由，求得,即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∴，
由翻折得，，垂直平分，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
故选：．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据面积等式求线段的长度等知识和方法，正确求出和的长度是解题的关键．
8．C
【分析】设AE，BF交于点O，证明得到，利用勾股定理得到，再利用等面积法求出，进一步得到，再利用勾股定理得到，所以．
【详解】解：设AE，BF交于点O，

∵沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处，
∴，，
∵ABCD为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查折叠的性质，正方形性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等面积法．解题的关键是证明得到，再求出，．
9．D
【分析】分逐渐变大，B、D、E三点共线之前；B、D、E三点共线时；B、D、E三点共线，后，之前；时；后，讨论即可．
【详解】解：∵旋转，
∴，，，，
∴，，，
①当逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，
  ，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，
  
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又
四边形是矩形；
③当逐渐变大，B、D、E三点共线，之前时，
  
∵








，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
④当时，
  
∴，
又，，
∴，
∴，
由③同理可证，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
当后时，
  ，
由③同理可证，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
当的度数从逐渐增大到的过程中．四边形的形状依次是：平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
10．A
【分析】连接AC、BC1，分别交OB、OB1于点D、D1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB的长，进一步在菱形OBB1C1计算出OB1，过点B1作B1M⊥x轴于M，利用勾股定理计算出B1M，OM，从而得B1的坐标，同理可得B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9，B10，B11，B12，根据循环规律可得B2021的坐标．
【详解】解：如图所示，连接AC， 分别交OB，与D、，
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴OC=OA=1，OB=2OD，∠COD=30°，∠CDO=90°，
∴，
∴，
∴，
∵∠AOC=60°，
∴∠B1OC1=90°-60°=30°，
∵四边形OBB1C1是菱形，
，
在Rt△OC1D1中，
∴，
∴OB1=2OD1=3，
过点B1作B1M⊥x轴于点M，
在Rt△OMB1中，
∴
∴，
同理可得，
，
，
，
由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形的边长变成原来的倍即，
∵2021÷12=168……5，
∴B2021的纵坐标符号与B5的相同，则B2021在y轴的负半轴上，
又
∴B2021的坐标为，
故选A

【点睛】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键．
11．/
【分析】连接交于M，连接，根据菱形的性质得到线段互相垂直平分，推出，当时，的值最小，根据勾股定理得到，最后由三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图：连接交于M，连接，设与交于O，
∵四边形是菱形，
∴线段互相垂直平分，
∴B、D关于对称，则，
∴，
当时，的值最小，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
  
【点睛】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、菱形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，确定点M的位置是解答本题的关键．
12．或
【分析】根据题意，裁剪的方法有两种，分别画出图形，可知所得的平行四边形是菱形，由菱形的性质和平行四边形的面积，求得相关边长，进而可求得的长．
【详解】解：如图①，当沿从出发的直线裁剪，四边形是平行四边形，延长交于点N，过点A作于点T，

∵，
∴四边形是菱形，
∵，，，，
∴，，，，
∴，
∵平行四边形的面积是，
∴设，则，
∴，解得（负值舍去），
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
如图②，当沿从A出发的直线裁剪，四边形是平行四边形，

∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，，
∵四边形的面积是，
∴，
解得，（负值舍去），
故，，
∴，
综上所述，的值为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和菱形的判定方法与性质、平行四边形的面积公式，等腰三角形的判定与性质，根据题意，画出图形，是解题的关键，主要要分类讨论．
13．
【分析】如图，过D作于H，过E作于M，连接，证明四边形是矩形得到，证明四边形是矩形，的，利用面积法可得的长，根据勾股定理可得的长，证明，得，最后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】解：如图，过D作于H，过E作于M，连接，
  
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
即，
由勾股定理得： ，
过F作，交的延长线于P，交的延长线于Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．
14．
【分析】根据翻折，推出，过点作，则四边形为矩形，利用含30度的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，得到，，利用，求出的长，进而求出的长，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，
  
∵翻折，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
过点作，则四边形为矩形，
∴，，
设，
在中，，
∴，，
在在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，根据题意，正确的作图，得到特殊三角形，是解题的关键．
15．
【分析】过点作，过点作，根据题意可证，从而推出，，再由得到四边形为矩形，根据矩形性质可得，，进而得到即为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，可求出的长，最终求出的长．
【详解】解：如图，过点作于F，过点作于M，
  
四边形为正方形，
，，
，
由，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
四边形为矩形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
解得：，
，
则，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．
16．1
【分析】过点作于，根据矩形的判定可得四边形为矩形，根据角平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可推得，根据正方形的判定可得四边形为正方形，设，，根据勾股定理求得，推得，即可求得，即可求解．
【详解】解：过点作于，
  
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵、的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为正方形，
设，则，
在中，，
∴，
，
∴，
即，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，勾股定理，解题关键在于作辅助线，利用角平分线的性质判断线段相等．
17．7
【分析】过点H作于M，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得出，再根据得出，从而得到，，再根据三角形的内角和定理得出，继而得出，然后利用即可
【详解】解：过点H作于M，则
∵，，，
∴，
在，点是边的中点，，
∴
∴，
∵以为底边向上作等腰，
∴
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴

【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线得出是解题的关键
18．①③④
【分析】由菱形的性质以及三角形全等的判定与性质即可判断，②分两种讨论：，，③分别设或两种情况，根据三角形内角和定义可求得的度数，④证明垂直平分，根据等腰三角形的性质得证．
【详解】解：①四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
② 当是直角三角形时，分两种情况：
当时，
，
，
，
，
，
设与交于点，
  ，
，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
当时，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
或，故②错误
③设，
当时，则，
，
，
,
，
，
当时，则，
，
，
，
，
为或，故③正确；
④当时，则，
  ，
连接，，则点是三边垂直平分线的交点，
垂直平分，
，
，
平分，故④正确，
综上所述，结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析

【分析】（1）根据菱形的性质得到，进而即可得到结论；
（2）先证明，再证明是等边三角形．从而得到，进而即可得到结论；
（3）根据等边三角形的性质可知，结合，以及直角三角形的性质即可得到结论
【详解】（1）证明：∵为菱形，，
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
（2）连接
  
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3），理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出是等边三角形是解本题的关键．
20．(1)①见解析；②四边形是平行四边形，理由见解析
(2)或

【分析】（1）①先利用菱形和旋转的性质证得，，，即可由定理得出结论；
②证明，得，再证明，得，又因为，即可由平行四边形的判定定理得出结论；
（2）分两种情况：当点E在线段上，四边形为菱形时；当点E在线段延长线上，四边形为菱形时；分别求解即可．
【详解】（1）①证明：如图，
  
∵菱形
∴，，
∴，
由旋转可得：，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
②解：四边形是平行四边形．
理由：∵菱形
∴，，，
∴，
∵
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由①知
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：当点E在线段上，四边形为菱形时，如图，过点F作于G，
  
∵菱形，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
由①知，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
当点E在线段延长线上，四边形为菱形时，如图，过点F作，交延长线于G，
  
同理可求得，，，
∴，
∴；
综上当四边形为菱形时，此时的面积为或．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的确关键．
21．(1)四边形是菱形，证明见解析
(2)
(3)或

【分析】（1）根据翻折的性质可得，，由平行的性质可得，再根据边与角的转换，菱形的判定，即可得到答案；
（2）由（1）得，再根据，即可得到答案；
（3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段延长上时，结合勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
将四边形沿着过点的直线翻折，使得点落在线段上的点处，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由【小问1】可得：，
，
；
（3）解：当点在线段上时，
，，，
，
四边形与矩形重叠部分面积为：；
当点在线段延长上时（如图所示），

，，
，
四边形与矩形重叠部分面积为：；
综上所述，四边形与矩形重叠部分的面积为或．
【点睛】本题主要考察菱形的判定方法和性质的综合运用，平行的性质，勾股定理，注意采用分类讨论的思想，以及添加恰当的辅助线，是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①；②5．
(3)点Q坐标为或或．

【分析】（1）根据证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；
（2）①先证四边形是平行四边形，所以的面积是平行四边形AECD面积的，而，从而可求的面积，可得到S与m的函数关系式；②当时，四边形是菱形，所以，从而可列方程解出m的值，再代入S与m的关系式即可解答；
（3）点P在x轴或y轴或原点时三种情况讨论，可设点P坐标为或，根据勾股定理列方程求出p的值，得到点P坐标，再根据点平移坐标变化规律得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：如图：
∵四边形是矩形，
∴ ，
∴，
∵F是中点，
∴，
在和中，
∴，
∴．
  
（2）解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴S与m的函数关系式为；
②当时，则四边形是菱形
∴，
∵
∴，解得：，
∴．
（3）解：①如图：点P在x轴上，
设点P标为，则
∵四边形是矩形
∴
∴
∴ ，解得：
∴
∵平移得到
∴平移规律是横坐标减10，纵坐标减4，
∴点平移得到；
  
②如图：点P在y轴上，设点P标为，则
∵
∴ ，解得：
∵平移后得到
∴平移规律是横坐标减8，纵坐标减16.
∴平移后得到；
  
③当点P原点重合时，则点Q点B重合，此时点Q坐标为．
综上所述，点Q坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定等知识点，熟练应用所学知识成为解答本题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）先证明，得到四边形是平行四边形，即可得证；
（2）连接、、，证明平行四边形是菱形，可得是的垂直平分线，再证明，可得点A在的垂直平分线上，即可证明；
（3）延长、，交于点Q，证明，得到，进一步证明，可得，即可证明四边形是平行四边形，结合，可得平行四边形是矩形．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）证明：连接、、，
由（1）得四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点A在的垂直平分线上，
∴A、I、F三点共线．
  
（3）证明：延长、，交于点Q，
在矩形中，，，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴C为中点，
又∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形．
  
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，综合性较强，解题时要多关注垂直和相等的部分，并且能够适当添加辅助线，构造基本几何图形．
24．(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）利用证明得，从而求出，由此即可求出的面积．
（2）过点作交于点，连接，利用一线三直角模型可得（），从而可得：，再证明可得为等腰直角三角形，，进而得出结论；
（3）由已知可得：是等腰直角三角形，进而可得，，即当E点在AM上时，最小，再由三角形全都转换线段关系得到，由勾股定理求出即可解题．
【详解】（1）解：∵；
∴；
∵四边形是正方形；
∴，；
∵点是的中点，；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴；
∴；
（2）证明：如解（2）图，过点作交于点，连接．
  
∵；
∴
∴；
∵；
∴；
∴，；
∵点是的中点，；
∴，：
∴；
∴；
∴，；
∴；
∴；
∴；
（3）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，，
又∵点是的中点，
∴，
∴，
∴当E点在上时，最小，如解（3）图，过点作交的延长线于点，

同理（1）可得：；
∴；，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，解得：，
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题（3）的关键在于能够证明．