浙江省金华市+义乌市稠州中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份浙江省金华市+义乌市稠州中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了已知二次函数y＝x2﹣2mx，已知二次函数y＝ax2﹣bx等内容，欢迎下载使用。
稠州中学九年级数学独立作业检测2023.10
一．选择题（共10小题,每小题3分，共30分）
1．下列函数解析式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B． C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2
2．一个透明的袋子里装有3个白球，2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其它完全相同则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（　　）
A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a




4．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象过A（﹣3，a），B（0，b），C（5，c）三点，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
6．函数y＝ax2+bx+3，当x＝1与x＝2016时，函数值相等，则当x＝2017时，函数值等于（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣3
7．在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形EFCB，那么它们的相似比为（　　）
A． B．2 C． D．
8．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A． B． C．±或 D．﹣或
9．如图，在矩形ABCD内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点E、F分别在边BC、AD上，则长AD与宽AB的比为（　　）
A．6：5 B．13：10 C．8：7 D．4：3

10．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题每小题4分，共24分）
11．已知2y﹣7x＝0，则x：y等于　 　．
12．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为　 　米．




13．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长＝　 　．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a＞0）得到△B'CD'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为 　 　．





16．如图，抛物线y＝x2+2x与直线y＝x+1交于A、B两点，与直线x＝2交于点P，将抛物线沿着射线AB平移个单位．（1）平移后的抛物线顶点坐标为 　 　；
（2）在整个平移过程中，点P经过的路程为 　 　．
三．解答题（共8小题）
17．已知抛物线的顶点坐标为（2，1）且经过点（﹣1，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标．



18．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF∽△ECF；
（2）如果AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，求CE的长．



19．已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过A（1，4），C（0，3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数图象直接写出：
①当﹣1＜x＜2时，y的取值范围；②当y≤3时，x的取值范围．



20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．）
（1）在图①中，画出一条格点线段MN，使MN∥AB。
（2）在图②中，画出格点线段GH，使GH⊥AB且GH=AB。
（3）在图③中，作出线段AB的三等分点。




21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．
（1）如图1，当AC＝8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；
（2）如图2，若，设AC＝x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．



22．种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg．第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式y＝．第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg．已知种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为pkg，利润为W元（利润＝销售收入﹣成本）．
（1）k＝　 　，b＝　 　；
（2）请写出p关于x的函数关系式：　 　；
（3）求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？


23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，h＞0．
（1）若a＝2，
①点A到x轴的距离为 　 　；
②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2） 已知点A到x轴的距离为4，若此抛物线与直线y＝﹣x+1必有两个交点，分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．


24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF．连结DG交直线AB于点H．
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF∽△DAE．
（2）当AE＝2时，求EH的长．
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形．若存在，求AE的长．







稠州中学九年级数学独立作业检测2023.10
答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数解析式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．
C．y＝3x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A、y是关于x的一次函数，故此选项错误；
B、函数式不是整式，不是二次函数，故此选项错误；
C、y是关于x的二次函数，故此选项正确；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，y是关于x的一次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．一个透明的袋子里装有3个白球，2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其它完全相同则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是＝，
故选：A．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（　　）

A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a
【分析】直接根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE＝AB＝•2a＝（﹣1）a．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
4．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质进行分析即可得到答案．
【解答】解：∵BG∥DF，∴＝，A正确，C错误；
∴＝，B 正确；
∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，
∵BG∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，
∴△BEC∽△DFA，
∴＝，D正确，
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理、找准对应关系是解题的关键．
5．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象过A（﹣3，a），B（0，b），C（5，c）三点，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的性质判断a、b、c的大小．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝3，
又因为抛物线开口向上，
而点A离对称轴最远，点C离对称轴最近，
所以a＞b＞c．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
6．函数y＝ax2+bx+3，当x＝1与x＝2016时，函数值相等，则当x＝2017时，函数值等于（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣3
【分析】根据二次函数的对称性可得x＝2017与x＝0的函数值相等，由此可得结果．
【解答】解：∵当x＝1与x＝2016时，函数值相等，
∴x＝2017与x＝0的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝3，
∴当x＝2017时，y＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，理解二次函数的对称性是解答此题的关键．
7．在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形EFCB，那么它们的相似比为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】设AD＝b，AB＝a，由矩形ABCD∽矩形EFCB，根据相似多边形对应边的比相等得出＝，即＝，依此求出＝＝．
【解答】解：如图，设AD＝b，AB＝a，
∵矩形ABCD∽矩形EFCB，E、F分别为AB、CD的中点，
∴＝，即＝
∴a＝b，
∴＝，
即＝．
故选：A．

【点评】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
8．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A． B． C．±或 D．﹣或
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣，
综上，m的值是﹣或，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，在矩形ABCD内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点E、F分别在边BC、AD上，则长AD与宽AB的比为（　　）

A．6：5 B．13：10 C．8：7 D．4：3
【分析】连接EF，作IJ⊥LJ于J，根据中心对称图形的定义和相似三角形的性质可得两直角边的比是2：1，进一步得到长AD与宽AB的比．
【解答】解：连接EF，作IJ⊥LJ于J，
∵在矩形ABCD内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，
∴△HGF∽△FHE，△HGF≌△FML≌△LJI，
∴HG：GF＝FH：HE＝1：2，
∴长AD与宽AB的比为（1+2+1+2）：（2+2+1）＝6：5．
故选：A．

【点评】此题考查了中心对称图形，相似三角形的性质，关键是理解直角三角形两直角边的比是2：1．
10．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t可得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，从而可得b与a的关系，将P（m，2）代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解．
【解答】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t，
∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴＝﹣2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，
当a＞0时，﹣4a≤﹣1，
解得a≥，
将（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，
∴a＝≥，
∴0＜m2+4m≤8，
∴4＜（m+2）2≤12，
∴﹣2﹣2≤m＜﹣4或0＜m≤﹣2+2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
二．填空题（共6小题）
11．已知2y﹣7x＝0，则x：y等于　2：7　．
【分析】先移项，然后两边同时除以7y整理即可得解．
【解答】解：∵2y﹣7x＝0，
∴7x＝2y，
两边同时除以7y得，
x：y＝2：7．
故答案为：2：7．
【点评】本题主要考查了比例的性质，根据等式的基本性质2进行计算即可，是基础题，比较简单．
12．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为　2　米．

【分析】根据二次函数图象和性质即可求解．
【解答】解：如图：

以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意设二次函数解析式为：
y＝ax2+2
把A（2，0）代入，得
a＝﹣，
所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2，
当y＝﹣1.5时，﹣x2+2＝﹣1.5
解得x＝±．
所以水面的宽度为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
13．如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长＝　2　．

【分析】可证明△ACD∽△ABC，则，即得出AC2＝AD•AB，从而得出AC的长．
【解答】解：在△ABC和△ACD中，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴．
即AC2＝AD•AB＝AD•（AD+BD）＝2×6＝12，
∴AC＝2．
故答案为：2
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，两个角相等，两个三角形相似．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是　﹣2　．

【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（﹣，﹣），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（﹣，﹣）．
∵抛物线y＝ax2过点B，
∴﹣＝a（﹣）2，
解得：b1＝0（舍去），b2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a＞0）得到△B'CD'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为 　或　．

【分析】分两种情况：
①如图1，∠D'AB'＝90°，②如图2，∠AB'D'＝90°，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，∠D'AB'＝90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，

∴∠H＝∠AGB'＝∠BGB'＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝2，
∵tan∠ABD＝，即＝，
设B'G＝2x，BG＝3x，
∴BB'＝a＝x，
由平移得：DD'＝BB'＝x，
∴D'H＝2+2x，AH＝BG＝3x，
∴AG＝AB﹣BG＝3﹣3x，
∵∠D'AB'＝∠HAD'+∠BAB'＝90°，
∠AD'H+∠HAD'＝90°，
∴∠AD'H＝∠GAB'，
∵∠H＝∠AGB'＝90°，
∴△D'HA∽△AGB'，
∴，
即＝，
∴x＝，
∴a＝；
②如图2，∠AB'D'＝90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，

∴∠AMB'＝90°，
由平移得：B'C'＝BC＝2，
同理设B'M＝2m，BM＝3m，则BB'＝a＝m，
∴AM＝3﹣3m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'＝90°，∠MAB'+∠AB'M＝90°，
∴∠D'B'C'＝∠MAB'，
∵∠C'＝∠AMB'＝90°，
∴△D'C'B'∽△B'MA，
∴，
∴＝，
∴m＝，
∴a＝m＝×＝；
综上，a的值是或．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．
16．如图，抛物线y＝x2+2x与直线y＝x+1交于A、B两点，与直线x＝2交于点P，将抛物线沿着射线AB平移个单位．
（1）平移后的抛物线顶点坐标为 　（2，）　；
（2）在整个平移过程中，点P经过的路程为 　个单位　．

【分析】（1）由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，点A向右平移3个单位，向上平移个单位，根据平移的性质，可得平移后的顶点坐标．
（2）如图，点P经过的路径为P→P′，求出P，P′的坐标即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，点A向右平移3个单位，向上平移个单位，
∵抛物线y＝x2+2x的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，），
故答案为（2，）．

（2）∵P（2，8），
平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+，
此时P′（2，），
∴点P的运动路径长为：8﹣＝．
故答案为个单位．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
三．解答题（共8小题）
17．已知抛物线的顶点坐标为（2，1）且经过点（﹣1，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标．
【分析】（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式y＝a （x﹣2）2+1，然后把（﹣1，﹣8）代入求出a即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程﹣x2+4x﹣3＝0即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a （x﹣2）2+1，
把（﹣1，﹣8）代入得a•（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
解得a＝﹣1
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3；
（2）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1
所以抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）．
令y＝0，得到x＝﹣3，
所以与y轴交于点（0，﹣3）．
【点评】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
18．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF∽△ECF；
（2）如果AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，求CE的长．

【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）∵DC∥AB，
∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，
∴△ABF∽△ECF．
（2）∵AD＝BC，AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，
∴BF＝3cm．
∵由（1）知，△ABF∽△ECF，
∴＝，即＝．
∴CE＝（cm）
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和与判定，本题属于基础题型．
19．已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过A（1，4），C（0，3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数图象直接写出：
①当﹣1＜x＜2时，y的取值范围；
②当y≤3时，x的取值范围．

【分析】（1）将A（1，4），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c求解．
（2）①由抛物线开口方向及对称轴确定﹣1＜x＜2时，y的取值范围．②将y＝3代入函数解析式求得x的值，然后根据开口方向判断当y≤3时，x的取值范围．
【解答】解：（1）将A（1，4），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3．
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y＝﹣1+2+3＝4为最大值，
∵x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2+3＝0，
x＝2时，y＝﹣4+4+3＝3，
∴﹣1＜x＜2时，0＜y≤4．
②y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，
解得x＝0或x＝2，
∵抛物线开口向下，
∴y≤3时，x≤0或x≥2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与不等式的关系．
20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．
（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使BM＝3AM．
（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使BP＝2AP．（保留作图痕迹）
要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．

【分析】（1）找出到A和B距离相等的格点即可；
（2）根据平行线分线段成比例可得到点M；
（3）取格点K，连接AK，取格点T，R，连接TR交AB于P，则P即为所求．
【解答】解：（1）如图：

点C和C'即为所求；
（2）如图：

点M即为所求；
（3）如图：

点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．
（1）如图1，当AC＝8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；
（2）如图2，若，设AC＝x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．

【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；
（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；
（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝5，
∵DEFG为矩形，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠C，又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，DE＝，
∵△ADE∽△FGB，
∴＝，
则BG＝，
∴EF＝DG＝AB﹣AD﹣BG＝；
（2）如图2，作DH⊥AC于H，
∴DH∥BC，又AD＝DB，
∴DH＝BC＝3，
∵DH⊥AC，∠C＝90°，∠DEF＝90°，
∴△DHE∽△ECF，
∴＝＝，
∴EC＝2DH＝6，EH＝x﹣6，
∴DE2＝32+（x﹣6）2＝x2﹣6x+45，
∴y＝DE•EF＝2DE2＝x2﹣12x+90，
（3）如图3，当点G在边BC上时，
∵，DE＝3，
∴EF＝，
∴AC＝9，
如图4，当点G在边AB上时，
设AD＝DB＝a，DE＝2b，EF＝3b，
∵△ADE∽△FGB，
∴＝，即＝，
整理得，a2﹣3ab﹣4b2＝0，
解得，a＝4b，a＝﹣b（舍去），
∴AD＝2DE，
∵△ADE∽△ACB，
∴AC＝2BC＝12，
综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．



【点评】本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
22．种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg．第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式y＝．第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg．已知种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为pkg，利润为W元（利润＝销售收入﹣成本）．
（1）k＝　﹣　，b＝　25　；
（2）请写出p关于x的函数关系式：　p＝4x+16　；
（3）求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克，把x＝12，y＝32和x＝26，y＝25分别代入函数解析式即可求得答案；
（2）根据“为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg“可得出结论；
（3）先用含x的式子表示出第x天的销售量，再分段列出二次函数关系式和一次函数关系式并根据相应的函数性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：32＝12k﹣76k，b＝25，
∴k＝﹣，b＝25．
故答案为：﹣，25；
（2）由题意可知，第x天的销售量p＝20+4（x﹣1）＝（4x+16）（千克），
故答案为：p＝4x+16．
（3）根据题意可知，当1≤x＜20时，
W＝（4x+16）（﹣x+38﹣18）
＝﹣2x2+72x+320
＝﹣2（x﹣18）2+968．
∵﹣2＜0，对称轴为x＝18，
∴当x＝18时，W有最大值，W最大值＝968；
当20≤x≤30时，
W＝（4x+16）（25﹣18）＝28x+112，
∵28＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W最大值＝952．
∵968＞952，
∴当x＝18时，W最大值＝968，
即销售蓝莓第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握相关函数的性质是解题的关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，h＞0．
（1）若a＝2，
①点A到x轴的距离为 　16　；
②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点A到x轴的距离为4，若此抛物线与直线y＝﹣x+1必有两个交点，分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．
【分析】（1）①将a＝2代入函数解析式求点A的纵坐标，进而求解．
②把y＝0代入函数解析式，分别求出x1，x2，再作差求解．
（2）由点A到x轴的距离为4可得a＝，根据h＞0，结合图象可得抛物线开口向上时，点A在点C右侧时满足题意，进而求解．
【解答】解：（1）①把a＝2代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝2（x﹣h）2﹣16，
∴点A坐标为（h，﹣16），
∴点A到x轴距离为16，
故答案为：16．
②将y＝0代入y＝2（x﹣h）2﹣16得2（x﹣h）2﹣16＝0，
解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，
∴x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4．
（2）∵点A坐标为（h，﹣8a），
∴|﹣8a|＝4，
解得a＝，
∵当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，
∴当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，
∵h＞0，
∴当点A在点C（x2，y2）右侧或与点C重合，抛物线开口向上时满足题意，如图，

∵a＝，
∴点A纵坐标为y＝﹣8a＝﹣4，
将y＝﹣4代入y＝﹣x+1得﹣4＝﹣x+1，
解得x＝5，
∴h≥5时满足题意，
令（x﹣h）2﹣4＝﹣x+1，整理得x2+2（1﹣h）x+h2﹣10＝0，
∵抛物线与直线有2个交点，
∴Δ＝[2（1﹣h）]2﹣4（h2﹣10）＞0，
解得h＜，
∴5≤h＜．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在直线AB上，连结DE，过点A作AF⊥DE交直线BC于点F，以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF．连结DG交直线AB于点H．
（1）当点E在线段AB上时，求证：△ABF∽△DAE．
（2）当AE＝2时，求EH的长．
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得△EGH为等腰三角形．若存在，求AE的长．


【分析】（1）利用同角的余角相等可得∠EAF＝∠ADE，从而证明结论；
（2）分点E在点A上方或点E在点A下方两种情形，分别画出图形，利用相似三角形的判定与性质可得答案；
（3）当点H在点A的上方或当点H在点A的下方时，当点H在点A的上方时，△EGH为钝角三角形，只能是GH＝GE．作GQ⊥BH于点Q，则HQ＝EQ．当点H在A的下方时，分别利用等腰三角形的性质进行分类，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，
∴∠EAF+∠FAD＝∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠EAF＝∠ADE，
∵∠EAD＝∠ABF，
∴△ABF∽△DAE；
（2）解：①点E在点A上方，
由AB＝2，得点E与B重合，

由△ABF∽△DAE，得，，CF＝EC﹣EF＝3，
由GH＝AB＝CD，可得△GMF≌△DMC（AAS），
∴MF＝MC＝，ME＝MF+EF＝，
由△MGF∽△MHE得，，
即，EH＝；
②E在点A下方，

由FG＝AE＝CD＝2得，G、A、H共线，
此时，H与E重合，HE＝2，
综上：EH＝2或；
（3）解：①当点H在点A的上方时，如图，△EGH为钝角三角形，

由等腰△EGH得GH＝GE．
作GQ⊥BH于点Q，则HQ＝EQ．
由QB＝GF＝EA得，QE＝AB＝2，
则HQ＝EQ＝2，
设AE＝2t，由（1）得，
∴BF＝AE＝t，GQ＝BF＝t，
由△HQG∽△HAD，得，
∴，
解得t＝﹣1（负值舍去），
∴AE＝2t＝2﹣2，
②当点H在点A的下方时，
ⅰ）若GH＝GE（如图②），作GQ⊥BE于点Q，则HQ＝EQ．

由AE＝GF＝BH得，QE＝AB＝2，HQ＝EQ＝2，
设AE＝2t，同理：GQ＝BF＝t，
由，得，
解得t＝1±（负值舍去），
∴AE＝2t＝2+2，
ⅱ）若HG＝HE，∠DGE＝∠DEG，
同理△ABF∽△DAE，则，
由AF＝GE，AF∥GE，AF⊥DE得GE⊥DE，
∴△DHE是直角三角形，
∴＝2，
∴tan∠AEG＝tan∠DGE＝2，
∴tan∠AED＝，
∴AE＝2AD＝8；
ⅲ）若EG＝EH，同理，tan∠HGE＝2，
则tan∠AHD＝tan∠GHQ＝tan∠HGE＝2，
∴AH＝AD＝2，
设AE＝2t，同理：GQ＝BF＝t，EQ＝AB＝2，
由，得，
解得t＝，
∴AE＝2t＝，
综上：AE＝或8或2±2．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识，综合性较强，难度较大，运用分类思想是解决问题的关键．