浙江省杭州“六县九校”联盟2022-2023学年高一数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

杭州“六县九校”联盟2022学年第一学期期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷．

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先化简集合，然后再求交集.

【详解】由，即，又

所以

故选：C

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】设,

由于，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3. 命题“，，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.

【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,

注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.

故选：B

4. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

5. 若，则下列不等式不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质可判断选项A；由条件可得，且，从而可判断选项C；又，进一步可判断选项B；通过取特殊值可判断选项D.

【详解】选项A：由，根据不等式的性质可得，则选项A正确.

选项B：由，则.

，，则，所以.

又，故，则选项B正确.

选项C：由选项B正确的判断过程可知选项C正确.

选项D：取，则，故选项D不正确

故选：D

6. 已知函数，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得的定义域，由此求得的定义域.

【详解】，解得，

所以的定义域是，

对于有，

所以函数的定义域为.

故选：D

7. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】由于函数满足对任意，都有成立，

所以在上单调递增，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故选：A

8. 对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A. 函数是奇函数

B. 函数在区间上单调递增

C. 函数图像关于轴对称

D. 函数最大值为2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给出的定义先得出函数的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可.

【详解】由题意，

所以，即，

作出函数的图像如下:

由图像可知为偶函数，故选项A错误.

在区间上单调递增，

由.

可得在区间上不单调递增，故选项B错误.

由图像可知：函数图像关于轴对称，故选项C正确.

由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误.

故选：C

二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.

【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.

函数，均为偶函数.

又二次函数在上为增函数.

，当时，函数可化为，在上为增函数.

故选项B，D满足条件.

故选：BD

10. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】AD

【解析】

【分析】判断函数是否是同一函数，先判断其定义域是否相同，然后再判断对应法则是否一致即可.

【详解】A：首先定义域都是，其次，所以是同一函数，A对；

B：定义域为的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，B错；

C：的定义域是，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错;

D：首先定义域都是，其次对应法则相同，是同一函数，D对；

故选:AD

11. 在下列函数中，最小值是的函数有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，，所以A选项不符合.

B选项，，

当且仅当时等号成立，所以B选项不符合.

C选项，对于函数，

当时，，当且仅当时等号成立.

当时，，当且仅当时等号成立，

综上所述，的最小值是，符合题意.

D选项，，

，

当且仅当时等号成立，所以D选项符合.

故选：CD

12. “双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：

（1）如果购物总额不超过100元，则不给予优惠；

（2）如果购物总额超过100元但不超过200元，可以使用一张10元优惠券；

（3）如果购物总额超过200元但不超过500元，其中200元内的按第（2）条给予优惠，超过200元的部分给予9折优惠．

（4）如果购物总额超过500元，其中500元内的按第（2）（3）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．

某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（    ）

A. 如果购物总额为168元，则应付款为158元

B. 如果购物总额为368元，则应付款为351.2元

C. 如果购物总额为768元，则应付款为674.4元

D. 如果购物时一次性全部付款1084元，则购物总额为1280元

【答案】ACD

【解析】

【分析】设购买总额为元，应付款为元，根据题意分别得出与的关系，然后对选项进行逐一判断即可.

【详解】设购买总额为元，应付款为元，

根据题意：当时，且.

当时，且.

当时，且

当时，且

选项A.  购物总额为168元，故元，故正确.

选项B.  购物总额为368元，故元，故不正确.

选项C.  购物总额为768元，故元，故正确.

选项D.  若购物时一次性全部付款1084元，则，

即，则元，故正确.

故选：ACD

三､填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13. 已知集合，，，则集合B的个数为______个．

【答案】

【解析】

【分析】利用列举法求得集合的个数.

【详解】依题意，集合，，，

所以可能为：，

共个.

故答案为：

14. 设为上的奇函数，且当时，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】由奇函数的定义，则，从而可得出答案.

【详解】由奇函数，则,

所以

故答案为：

15. 若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】画出的图象，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】，

由解得或，

画出的图象如下图所示，

由于函数的定义域为，值域为，

由图可知，的取值范围是.

故答案为：

16. 当x＞0，y＞0，且满足时，有恒成立，则k的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，然后解不等式可得.

【详解】因为，x＞0，y＞0，

所以

当且仅当，即时等号成立，

因为恒成立，

所以有恒成立，解得，即k的取值范围为.

故答案为：

四､解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明）

17. 已知集合．

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，先求出集合，再求出集合，然后求出交集得出答案.

（2）根据，得出，然后由集合的包含关系得出端点的大小关系，得出答案.

【小问1详解】

当时，，

或

故或；

【小问2详解】

若，则，则，故

故，解得，

18. 已知函数．

（1）当时，函数在上单调，求b的取值范围；

（2）若的解集为，求关于x的不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

（2）根据的解集求得的关系式，从而求得不等式的解集.

【小问1详解】

当时，的对称轴为，

由于函数在上单调，

所以或，

解得或，

所以的取值范围是.

【小问2详解】

由于的解集为，

所以，即，

所以，

所以不等式，即，

所以，，

解得或，所以不等式的解集为.

19. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.

（1）求出函数在上的解析式；

（2）若与有3个交点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可．

（2）与图象交点有3个，画出图象观察，求得实数的取值范围．

【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；

②当时，，因为是奇函数，所以．

所以．

综上：．

（2）图象如下图所示：．

单调增区间： 单调减区间：．

因为方程有三个不同的解，

由图象可知， ，即．

20. 已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）求实数和的值；

（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

（3）若，求的取值范围．

【答案】（1），   

（2）函数在上是增函数；证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出.

（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可.

（3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案.

【小问1详解】

由函数是定义在上的奇函数，

所以得，

又因为，所以，

经检验，当，时，是奇函数，

所以，

【小问2详解】

由（1）可知，设

所以

因为，所以，，

所以，即，

所以函数在上增函数．

【小问3详解】

由函数是定义在上的奇函数且，

则，

所以，解得，

所以的取值范围是.

21. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．

（1）当时，求海报纸的面积；

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？

【答案】（1）   

（2）选择长宽分别为海报纸.

【解析】

【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；

（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.

【小问1详解】

设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，

由图像知：，

【小问2详解】

由（1）知：

，当且仅当即，

即等号成立.

综上，选择长宽分别为的海报纸.

22. 已知函数，．

（1）若函数在区间上的最小值为，求实数m的值；

（2）对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得值.

（2）对进行分类讨论，根据在区间上的“最大值”以及在区间上的最大值求得的取值范围.

【小问1详解】

函数的开口向上，对称轴，

当时，在区间上的最小值为：

，符合.

当时，在区间上的最小值为：

，，不符合.

综上所述，的值为.

【小问2详解】

依题意，对于任意实数，存实数，不等式恒成立，

所以在区间上的“最大值”小于在区间上的最大值，

对于，任取，

，

由于，

所以，

所以在区间上递增，最大值为.

函数的开口向上，对称轴，

当时，，

则，所以.

当时，，

则，所以.

综上所述，的取值范围是.