辽宁省大连市普通中学2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）（月考）

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2022-2023学年辽宁省大连市普通中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一.选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（2分）下列四个图形中，线段AD是△ABC中BC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列三个边中，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，6cm，8cm B．1cm，2cm，4cm
C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm
3．（2分）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　）
A．太阳能热水器 B．篮球架
C．三脚架 D．活动衣架
4．（2分）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　）


A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲
5．（2分）一个多边形的内角和不可能是（　　）
A．1800° B．540° C．720° D．810°
6．（2分）如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（　　）

A．PE＝6 B．PE＞6 C．PE≤6 D．PE≥6
7．（2分）如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）

A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
8．（2分）一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　）

A．105° B．120° C．135° D．150°
9．（2分）如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
10．（2分）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃（　　）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 　 　．
12．（3分）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是 　 　°．
13．（3分）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　 　．
14．（3分）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A　 　°．

15．（3分）如图，∠BCD＝145°，则∠A+∠B+∠D的度数为 　 　．

16．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　 　．
17．（3分）在9×7的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（5，3），那么符合条件的点D的坐标是 　 　．

18．（3分）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 　 　．

三.解答题（本题共7小题，第19、20题每题9分，第21、22题每题10分，第23题12分，第24、25题每题13分，共76分）
19．（9分）如图，在△ABC中，AE是角平分线，∠BAC＝70°，∠EAD＝10°

20．（9分）如图，∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，BE＝CF．求证AF＝DE．

21．（10分）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，连接CD，并证明：∠EDC＝∠DCB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

22．（10分）如图，AD与BC交于点O，①AD＝BC；③AB＝CD，请以①②③中的两个作为条件，写出一个真命题，并加以证明．

23．（12分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，易知∠A+∠C＝∠B+∠D，如图2，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：

（1）如图2中，若∠B＝96°，∠C＝100°；
（2）在图2中，若，，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　．
24．（13分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝x

（1）∠ABC+∠ADC＝　 　（用含x，y的式子直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．若x+y＝120°，求x，y的值．
25．（13分）如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．


2022-2023学年辽宁省大连市普通中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（2分）下列四个图形中，线段AD是△ABC中BC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点A作AD⊥BC，垂足为D，其中线段AD是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段AD是△ABC的高的图是选项D．

故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
2．（2分）下列三个边中，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，6cm，8cm B．1cm，2cm，4cm
C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、4+6＞3，符合题意；
B、1+2＜4，不符合题意；
C、5+6＜12，不符合题意；
D、8+3＝5，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（2分）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　）
A．太阳能热水器 B．篮球架
C．三脚架 D．活动衣架
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、应用到三角形的稳定性；
B、应用到三角形的稳定性；
C、应用到三角形的稳定性；
D、没有应用到三角形的稳定性；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
4．（2分）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　）


A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲
【分析】根据全等三角形的判定一一判断即可．
【解答】解：∵∠A＝180°﹣42°﹣51°＝87°，
根据AAS可以判定甲与△ABC全等，根据ASA可以判定乙与△ABC全等．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2分）一个多边形的内角和不可能是（　　）
A．1800° B．540° C．720° D．810°
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答．
【解答】解：810°不能被180°整除，一个多边形的内角和不可能是810°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键．
6．（2分）如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（　　）

A．PE＝6 B．PE＞6 C．PE≤6 D．PE≥6
【分析】过P点作PH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝6，然后根据垂线段最短可对各选项进行判断．
【解答】解：过P点作PH⊥AB于H，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，
∴PH＝PD＝6，
∵点E是边AB上一动点，
∴PE≥6．
故选：D．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
7．（2分）如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）

A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
【分析】根据全等三角形的判定定理分别判定即可．
【解答】解：A、根据SSS可判定△ABC≌△ABD；
B、根据SSA不能判定△ABC≌△ABD；
C、根据HL可判定△ABC≌△ABD；
D、根据SAS可判定△ABC≌△ABD；
故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
8．（2分）一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　）

A．105° B．120° C．135° D．150°
【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠1＝30°，∠C＝90°，则可求得∠2＝15°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
【解答】解：如图，

由题意得：∠ABC＝45°，∠1＝30°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠8＝15°，
∴∠α＝∠2+∠C＝105°．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
9．（2分）如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据任意多边形内角和都等于360°，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠1+2+∠6+∠4+∠5＝360°，
∵∠3+2+∠3+∠4＝280°，
∴∠5＝360°﹣280°＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形内角和都等于360°是解题的关键．
10．（2分）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃（　　）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以应该拿这块去．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）正十二边形的一个内角的度数为 　150°　．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．
12．（3分）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是 　35　°．
【分析】设较小锐角的度数为x，则较大锐角的度数为x+20°，根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．
【解答】解：设较小锐角的度数为x，则较大锐角的度数为x+20°，
根据题意得：x+x+20°＝90°，
解得：x＝35°，
∴较小锐角的度数为：35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，列出方程是解题的关键．
13．（3分）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　2＜x＜18　．
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8，
即4＜x＜18，
故答案为：2＜x＜18．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
14．（3分）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A　295　°．

【分析】根据题意由三角形内角和可得出∠B+∠C＝65°，再根据四边形的内角和可求出∠1+∠2．
【解答】解：∵∠A＝115°，
∴∠B+∠C＝65°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠7+∠2＝360°﹣65°＝295°．
故答案为：295．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握三角形的内角和、四边形内角和是解题的关键．
15．（3分）如图，∠BCD＝145°，则∠A+∠B+∠D的度数为 　145°　．

【分析】延长DC交AB于E，先根据三角形的外角性质求出∠CEB＝∠A+∠D，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：延长DC交AB于E，
∠CEB是△ADE的一个外角，
∴∠CEB＝∠A+∠D，
同理，∠BCD＝∠CEB+∠B，
∴∠A+∠B+∠D＝∠CEB+∠B＝∠BCD＝145°，
故答案为：145°．

【点评】本题主要考查知识点为，三角形中外角的性质．即：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．本题需根据已知和所求作出辅助线．掌握外角的性质是解决本题的关键．
16．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　八　．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝4．
则这个多边形的边数是八．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
17．（3分）在9×7的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（5，3），那么符合条件的点D的坐标是 　（5，﹣1）或（0，3）或（0，﹣1）　．

【分析】根据要使△ABD与△ABC全等，可知两三角形有公共边AB，运用对称即可求出所需的D点坐标．
【解答】解：如图所示，有三种情况：
，
故答案为：（5，﹣1）或（3，﹣1）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，写出直角坐标系中的点坐标，熟练掌握关于对称作图中点的坐标特征并能灵活运用是本题解题的关键．
18．（3分）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 　10　．

【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，
∴AD＝CD．
∵AB＝5，△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．
解得BD+AD＝3．
∴BD+CD＝7．
则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+8＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．
三.解答题（本题共7小题，第19、20题每题9分，第21、22题每题10分，第23题12分，第24、25题每题13分，共76分）
19．（9分）如图，在△ABC中，AE是角平分线，∠BAC＝70°，∠EAD＝10°

【分析】根据AE是角平分线，得∠BAE＝＝35°，那么∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝45°．根据AD是△ABC的高，得∠ADC＝90°．根据三角形外角的性质，得∠ADC＝∠B+∠BAD，那么∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝45°．
【解答】解：∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝＝35°．
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝35°+10°＝45°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝90°﹣45°＝45°．
【点评】本题主要考查三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．
20．（9分）如图，∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，BE＝CF．求证AF＝DE．

【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），由全等三角形的性质得出AF＝DE．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质，证明Rt△ABF≌Rt△DCE是解题的关键．
21．（10分）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，连接CD，并证明：∠EDC＝∠DCB．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤进行作图，即可得到∠CAE，再以点A为圆心，BC长为半径画弧，与射线AE交于点D，即可得AD＝BC，结合平行线的性质即可证明．
【解答】解：如图所示．

证明：∵∠CAE＝∠ACB，
∴AE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB．
【点评】本题考查尺规作图、平行线的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作图方法以及平行线的判定与性质是解答本题的关键．
22．（10分）如图，AD与BC交于点O，①AD＝BC；③AB＝CD，请以①②③中的两个作为条件，写出一个真命题，并加以证明．

【分析】已知； ①③，求证②或者已知②③，求证①．分两种情形，利用全等三角形的性质分别证明即可．
【解答】解：已知； ①③，求证①．
若AD＝BC，AB＝CD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠A＝∠C．

若∠A＝∠C，AB＝CD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AD＝BC．

【点评】本题考查命题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．（12分）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，易知∠A+∠C＝∠B+∠D，如图2，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：

（1）如图2中，若∠B＝96°，∠C＝100°；
（2）在图2中，若，，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　　．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据“8字形”得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即，即可求解．
（2）同理（2）的求解过程，即可求解．
【解答】（1）解：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P①，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B②，
①﹣②，得：∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，
即，
∵∠C＝100°，∠B＝96°，
∴；
（2）解：结论：，
理由：∵，，
∴，，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴，，
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴），
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．
24．（13分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝x

（1）∠ABC+∠ADC＝　360°﹣x﹣y　（用含x，y的式子直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC，∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．若x+y＝120°，求x，y的值．
【分析】（1）利用四边形内角和定理进行计算，得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出DE与BF的位置关系即可；
（3）利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB＝y﹣x＝20°，解方程组即可得出x、y的值．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∠A＝x，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y；
故答案为：360°﹣x﹣y；
（2）DE⊥BF．
理由：如图1：

∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE＝∠ADC∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠DGC＝∠BGE，
∴∠BEG＝∠C＝90°，
∴DE⊥BF；
（3）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝360°﹣（360°﹣x﹣y）＝x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM，
∴∠CDF+∠CBF＝（x+y），
如图2，连接DB，

∴∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+（x+y）＝180°﹣x，
∴∠DFB＝y﹣，
解方程组：，
可得：，
即x＝40°，y＝80°．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识的综合应用，解题时注意：四边形内角和为360°，正确利用角平分线的定义是解题关键．
25．（13分）如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．

【分析】（1）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论；
（2）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB≌△QAC，可得结论．
【解答】（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠2＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（2）上述结论成立，理由如下：
如图所示：

∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠7＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
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