2023-2024学年四川省绵阳市江油市八校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市江油市八校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了下列关于二次函数y＝，抛物线y＝﹣5x2可由y＝﹣5，抛物线y＝﹣2等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省绵阳市江油市八校联考九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
2．关于x的一元二次方程3x2﹣2x＝x+1的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
4．下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（　　）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜2时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是（2，﹣3）
5．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝﹣3x2
6．抛物线y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（　　）
A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位
7．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
8．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值是（　　）
A．a＝﹣3或a＝1 B．a＝3或a＝﹣1 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝﹣3或a＝3
9．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D．函数的最小值为﹣9
10．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2﹣4x+4的最小值为1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．0或3
11．据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．33.2（1+2x）＝54.6
B．33.2×2•（1+x）＝54.6
C．33.2[1+（1+x）+（1+x）2]＝54.6
D．33.2（1+x）2＝54.6
12．利用长为12m的墙和40m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（　　）
A．168m2，102m2 B．200m2，102m2
C．200m2，168m2 D．160m2，102m2
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为一般形式是 　 　．
14．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为 　 　．
15．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　
16．若抛物线y＝﹣x2+2x﹣2，点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线上两点，则y1　 　y2．（用“＜”或“＞”号连接）
17．二次函数y＝x2﹣3x﹣2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），则m2+3n﹣mn的值是 　 　．
18．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加 　 　m．

三．解答题（共9小题，90分）
19．用适当的方法解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0．
20．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．

（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．

22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．

24．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+2ax+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B．
（1）求该函数的表达式及顶点坐标；
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值2，请根据图象求出m的值；
（3）将该二次函数图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为图象W．
①点Q在图象W上，连接QA，QB，求△ABQ面积的最大值；
②若直线y＝c与图象W只有一个公共点，结合函数图象，直接写出c的取值范围．

25．如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题：
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式．
（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？

26．为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
27．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．

甲
乙
丙
单价（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．



参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论．
解：一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式为：3x2﹣5x+1＝0，
故二次项系数是3，一次项系数是﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．关于x的一元二次方程3x2﹣2x＝x+1的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【分析】化成一般形式，计算方程根的判别式，根据计算属性判断即可．
解：∵3x2﹣2x＝x+1，
∴3x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝9+12＝21＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝0，方程有两个相等的实数根；Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键．
3．设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝2，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝2，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（　　）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜2时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是（2，﹣3）
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可．
解：A、∵a＝1＞0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、∵y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，
即图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴图象的顶点坐标是（2，﹣3），
故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝﹣3x2
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
解：A中当a＝0，b≠0时．y是x的一次函数，则A不符合题意；
B是一次函数，则B不符合题意；
C是一次函数，则C不符合题意；
D符合二次函数定义，它是二次函数，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．抛物线y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（　　）
A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
解：将抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6先向右平移2个单位，再向上平移6个单位即可得到抛物线y＝﹣5x2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
7．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
解：因为抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5，
所以抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（2，﹣5）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
8．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值是（　　）
A．a＝﹣3或a＝1 B．a＝3或a＝﹣1 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝﹣3或a＝3
【分析】先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴，将y＝1代入函数求出对应的x值，分情况讨论即可．
解：二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴为，
将y＝1代入y＝x2﹣2x﹣2得1＝x2﹣2x﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
当1≤a≤x≤a+2时，在x＝a+2＝3取得最大值，a＝1．
当a≤x≤a+2≤1时，在x＝a＝﹣1取得最大值，a＝﹣1．
∴a＝﹣1或a＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
9．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）
D．函数的最小值为﹣9
【分析】将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答．
解：A、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴图象的对称轴x＝﹣1，故A不正确，不符合题意；
B、∵图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），∴B不正确，不符合题意；
C、∵y＝x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2），∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故C不正确，不符合题意；
D、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，顶点坐标为（﹣1，﹣9），a＝1＞0，∴函数值有最小值为﹣9，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法．y＝（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）；a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
10．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2﹣4x+4的最小值为1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．0或3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：当y＝1时，有x2﹣4x+4＝1，
解得：x1＝1，x2＝3．
∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值1，
∴a＝3或a+2＝1，
∴a＝3或a＝﹣1，

故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．
11．据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．33.2（1+2x）＝54.6
B．33.2×2•（1+x）＝54.6
C．33.2[1+（1+x）+（1+x）2]＝54.6
D．33.2（1+x）2＝54.6
【分析】利用2023年3月新能源车月销量＝2023年1月新能源车月销量×（1+2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得：33.2（1+x）2＝54.6．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．利用长为12m的墙和40m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（　　）
A．168m2，102m2 B．200m2，102m2
C．200m2，168m2 D．160m2，102m2
【分析】设垂直于墙一边的长度为xm，平行于墙的一边长度为（40﹣2x）m，由题意知6≤40﹣2x≤12，解之求出14≤x≤17，令苗圃的面积为y，得y＝x（40﹣2x）＝﹣2（x﹣10）2+200，再根据二次函数的性质求解即可．
解：设垂直于墙一边的长度为xm，则平行于墙的一边长度为（40﹣2x）m，
由题意知6≤40﹣2x≤12，
解得14≤x≤17，
令苗圃的面积为y，
则y＝x（40﹣2x）
＝﹣2x2+40x
＝﹣2（x2﹣20x+100﹣100）
＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＞10时，y随x的增大而减小，
当x＝14时，y取得最大值，最大值为168m2，
当x＝17时，y取得最小值，最小值为102m2，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，建立二次函数模型，并熟练掌握二次函数的性质．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为一般形式是 　x2﹣2x﹣5＝0　．
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．
解：x（x﹣2）＝5，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x﹣5＝0，
故答案为：x2﹣2x﹣5＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为 　2020　．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝3，然后再利用整体代入的方法计算．
解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0，得m2﹣m﹣3＝0，
所以m2﹣m＝3，
所以2023﹣m2+m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣3＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≤0且k≠﹣1　
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故答案为k≤0且k≠﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
16．若抛物线y＝﹣x2+2x﹣2，点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线上两点，则y1　＜　y2．（用“＜”或“＞”号连接）
【分析】根据题意可得抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1，从而得到点离抛物线的对称轴越远，函数值越小，即可求解．
解：∵y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1，且﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点离抛物线的对称轴越远，函数值越小，
∵1﹣（﹣2）＞3﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜
【点评】本题主要考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键．
17．二次函数y＝x2﹣3x﹣2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），则m2+3n﹣mn的值是 　13　．
【分析】根据题意可得m，n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，利用两根之和与两根之积与系数的关系即可求解．
解：∵二次函数y＝x2﹣3x﹣2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），
∴m，n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，
∴mn＝﹣2，m+n＝3，m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2＝3m+2，
∴m2+3n﹣mn＝3m+2+3n﹣mn＝3（m+n）﹣mn+2＝3×3﹣（﹣2）+2＝13．
故答案为13．
【点评】本题考查函数与方程的关系及根与系数的关系，关键是掌握公式．
18．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加 　（2﹣4）　m．

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB＝AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣0.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣0.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣0.5代入抛物线解析式得出：
﹣0.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2﹣4）米，
故答案为：（2﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题，90分）
19．用适当的方法解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0，
[2（x+2）+3（x﹣3）][2（x+2）﹣3（x﹣3）]＝0，
（5x﹣5）（13﹣x）＝0，
5x﹣5＝0或13﹣x＝0，
x1＝1．x2＝13．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式Δ＝0，建立关于m的等式，由此求出m的取值．再化简方程，进而求出方程相等的两根；
（2）利用根与系数的关系，化简x12+x22＝136，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝136．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
解：（1）若方程有两个相等的实数根，
则有Δ＝b2﹣4ac＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2+4x+4＝0，
∴x1＝x2＝﹣2；
（2）不存在．
假设存在，则有x12+x22＝136．
∵x1+x2＝4m﹣8，
x1x2＝4m2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝136．
即（4m﹣8）2﹣2×4m2＝136，
∴m2﹣8m﹣9＝0，
（m﹣9）（m+1）＝0，
∴m1＝9，m2＝﹣1．
∵Δ＝（8﹣4m）2﹣16m2＝64﹣64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m1＝9，m2＝﹣1都不符合题意，
∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x1+x2＝x1x2＝．
21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3．

（1）求出这个抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）在给定的坐标系中画出这条抛物线，设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．

【分析】（1）将二次函数配方后即可确定其顶点坐标及对称轴；
（2）根据上题确定的二次函数的解析式即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得△ABC的面积．
解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标是（1，4），对称轴是直线x＝1；

（2）画图象：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
又∵C（0，3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够利用配方法确定二次函数的顶点坐标和抛物线与坐标轴的交点坐标，难度不大．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．

【分析】（1）讲点A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c的值，即可求出函数解析式；
（2）点A关于直线l的对称点为B，利用将军饮马原理，连接BC，线段BC就是点M到点A、点C的距离之和最短，求出直线BC的解析式，再求出直线BC与直线l的交点，即可求出点M的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，
点A是关于直线l成轴对称，MA+MC＝BM+MC，
当且仅当点B、M、C三点共线时，MB+MC取到最小值，即为点M到点A，点C的距离之和最短，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∵直线BC经过点C（0，﹣3），点B（3，0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴直线l为：x＝1，
联立方程，解得，
∴点M的坐标为（1，﹣2）．

【点评】本题考查了用代入法求出二次函数解析式，再用将军饮马原理构图，进而得到点的坐标，综合性比较强．
24．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+2ax+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B．
（1）求该函数的表达式及顶点坐标；
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值2，请根据图象求出m的值；
（3）将该二次函数图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为图象W．
①点Q在图象W上，连接QA，QB，求△ABQ面积的最大值；
②若直线y＝c与图象W只有一个公共点，结合函数图象，直接写出c的取值范围．

【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式，再把解析式化成顶点式便可得出顶点坐标；
（2）分两种情况：m+3＜﹣1；m＞﹣1；根据二次函数的性质列出方程求得m的值便可；
（3）①设Q（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3≤t≤0），过Q作QM⊥y轴于点M，根据三角形的面积公式得出函数解析式，再由函数的性质求得最大值便可；
②根据函数图象求得当直线y＝c与图象W只有一个交点时的c的取值便可．
解：（1）把A（﹣3，0）代入y＝ax2+2ax+3中，
得9a﹣6a+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）当m+3＜﹣1，即m＜﹣4时，
∵m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值2，
∴﹣（m+3）2﹣2（m+3）+3＝2，
解得m＝﹣4+（舍）或m＝﹣4﹣，
当m＞﹣1时，
∵m≤x≤m+3时，该二次函数有最大值2，
∴﹣m2﹣2m+3＝2，
解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+，
故m的值为m＝＝﹣4﹣或m＝﹣1+；
（3）①令x＝0，得y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴B（0，3），
设Q（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3≤t≤0），过Q作QM⊥y轴于点M，

则QM＝﹣t，OM＝﹣t2﹣2t+3，
∴△ABQ的面积S＝S梯形OAQB﹣S△OAB﹣S△BQM
＝
＝
＝（﹣3≤t≤0），
∴△ABQ面积的最大值为；
②由函数图象可知，当c＝4或0≤c＜3时，直线y＝c与W只有一个交点，
∴c＝4或0≤c＜3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形的面积公式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25．如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题：
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式．
（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？

【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；
（2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，当x＝﹣2，5时，即可求得结论．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+3.5．
（2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
26．为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，利用四月份的销售量＝二月份的销售量×（1+三、四这两个月销售量的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设农产品每盒降价y元，则每盒的销售利润为（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，利用五月份的销售总利润＝每盒的销售利润×五月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设农产品每盒降价y元，则每盒的销售利润为（40﹣y﹣25）元，五月份可售出（400+5y）盒，
依题意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，
整理得：y2+65y﹣350＝0，
解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合题意，舍去）．
答：当农产品每盒降价5元时，这种农产品在五月份可获利4250元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）．

甲
乙
丙
单价（元/棵）
14
16
28
合理用地（m2/棵）
0.4
1
0.4
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；
（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，可得a+7b＝1500，推出b的最大值为214，此时a＝2，再求出实际植物面积即可判断．
解：（1）∵AB＝x，
∴BC＝36﹣2x，
y＝x（36﹣2x），
∵0＜36﹣2x≤18，
∴9≤x＜18．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）．
（2）由题意：﹣2x2+36x＝160，
解得x1＝10，x2＝8，
∵x2＝8时，36﹣2×8＝20＞18，不符合题意，舍去，
∴x的值为10．
（3）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∴x＝9时，y有最大值162（m2），
设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，
由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600，
∴a+7b＝1500，
∴b的最大值为214，此时a＝2．
需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2，
∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．