2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年山西省临汾市洪洞二中九年级第一学期月考数学试卷（9月份）
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．计算＝（　　）
A．4 B．2 C．2 D．
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≥2 C．x＝2 D．x＜﹣2
3．下列二次根式中，与﹣5是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知a＝﹣1，b＝，则a与b的关系（　　）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣1
5．已知a﹣b＝2﹣1，ab＝，则（a+1）（b﹣1）的值为（　　）
A．﹣ B．3 C．3﹣2 D．﹣1
6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣2025 D．2025
7．观察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（　　）
A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论
8．下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程：
缘缘：
两边同除以（x﹣3）得：
3＝x﹣3，
解得：x＝6．
芳芳：
移项，得：3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得：（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝0．
下列判断正确的是（　　）
A．缘缘和芳芳都错 B．缘缘错，芳芳对
C．缘缘和芳芳都对 D．缘缘对，芳芳错
9．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（　　）
A． B． C．k＜且k≠2 D． 且k≠2
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算的值是 　 　．
12．已知x＝，则x﹣＝　 　．
13．若根式与为同类最简二次根式，则等于 　 　．
14．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0有实数根．则k的取值范围是 　 　．
15．如图，在一个边长为8cm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是54cm2，则小正方形的边长为 　 　cm．

三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：
（1）；
（2）（）；
（3）（）+；
（4）（﹣）﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|．
17．解方程：
（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；（因式分解法）
（2）x2﹣4x+5＝0；（公式法）
（3）x2﹣2x﹣4＝0；（配方法）
（4）4（x2﹣x）＝﹣1．（适当方法）
18．已知a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
19．已知关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个根是﹣1，求方程的另一个根及k的值．
20．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 　 　；
（2）若售价为每顶50元，求每周的销售利润；
（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
21．阅读与思考
互为有理化的一对无理根的一元二次方程
我们知道，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x1＝，x2＝．若是一个无理数，则x1，x2也都是无理数，我们把x1和x2这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根．
例如：一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为，x2＝　 　，它们就是互为有理化的一对无理根．
又如：方程x2＝7的两根，也是互为有理化的一对无理根．
判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：
①x1和x2是两个无理数；②x1•x2是一个有理数．
如：，是无理数，
且＝　 　．
∴x1，x2是互为有理化的一对无理根．
显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为．
任务：
（1）填空：材料中的m＝　 　，n＝　 　．
（2）求一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
（3）若方程x2+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程x2+px+q＝0的另一根及p，q的值．
22．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？
（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

23．阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2．继续进行以下的探索：设a+b（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n都是正整数时，若a﹣b，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用上述方法，填空：21﹣4＝（　 　﹣　 　）2；
（3）如果a﹣6，且a，m，n都是正整数，求a的值．


参考答案
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．计算＝（　　）
A．4 B．2 C．2 D．
【分析】先化简分子，再约分即可得．
解：原式＝＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的常用方法．
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≥2 C．x＝2 D．x＜﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．
解：∵式子在实数范围内有意义，
∴2﹣x≥0，x﹣2≥0，
解得：x＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
3．下列二次根式中，与﹣5是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与是同类二次根式，本题得以解决．
解：∵，，，，
∴与﹣5是同类二次根式的是，
故选：A．
【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．
4．已知a＝﹣1，b＝，则a与b的关系（　　）
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣1
【分析】本题可先将b分母有理化，然后再判断a、b的关系．
解：∵b＝＝，∴a＝b．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分母有理化的计算方法，在分母有理化的过程中，正确找出分母的有理化因式是解决问题的关键．
5．已知a﹣b＝2﹣1，ab＝，则（a+1）（b﹣1）的值为（　　）
A．﹣ B．3 C．3﹣2 D．﹣1
【分析】把原式化简为含ab、a﹣b的形式，再整体代入计算．
解：∵a﹣b＝2﹣1，ab＝，
∴（a+1）（b﹣1）＝ab﹣a+b﹣1
＝ab﹣（a﹣b）﹣1
＝﹣（2﹣1）﹣1
＝﹣．
故选：A．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣2025 D．2025
【分析】由题意知，a+b+2＝0，则a+b＝﹣2，根据2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b），计算求解即可．
解：由题意知，a+b+2＝0，
∴a+b＝﹣2，
∴2023﹣a﹣b
＝2023﹣（a+b）
＝2023﹣（﹣2）
＝2025．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的方法是关键．
7．观察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（　　）
A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论
【分析】根据题意确定蕴含的思想方法．
解：探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、数学思想，正确区分所学的数学思想是解题的关键．
8．下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程：
缘缘：
两边同除以（x﹣3）得：
3＝x﹣3，
解得：x＝6．
芳芳：
移项，得：3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得：（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝0．
下列判断正确的是（　　）
A．缘缘和芳芳都错 B．缘缘错，芳芳对
C．缘缘和芳芳都对 D．缘缘对，芳芳错
【分析】根据等式的基本性质和解一元二次方程的方法和步骤判断即可．
解：缘缘：根据等式的基本性质可知等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，
∵x﹣3的值不确定是否等于0，
∴缘缘的解方程错误；
芳芳：提取公因式，得：（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，
∴芳芳的解方程错误．
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤并正确计算是解题关键．
9．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（　　）
A． B． C．k＜且k≠2 D． 且k≠2
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣2≠0且Δ＝22﹣4（k﹣2）×3≥0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝22﹣4（k﹣2）×3≥0，
解得k≤且k≠2，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算的值是 　4﹣1　．
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后合并即可．
解：原式＝﹣1+3
＝4﹣1．
故答案为4﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
12．已知x＝，则x﹣＝　4　．
【分析】先化简x的值，利用倒数表示＝﹣2，再把x、值代入代数式求值．
解：∵x＝＝+2，
∴＝﹣2，
原式＝﹣（﹣2）＝4．
故本题答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值以及分式求值的计算．
13．若根式与为同类最简二次根式，则等于 　3　．
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
解：∵根式与为同类最简二次根式，
∴2x﹣3＝x+1，
∴x＝4．
∴＝＝＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
14．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0有实数根．则k的取值范围是 　k≤且k≠0　．
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣8k≥0，
解得k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．如图，在一个边长为8cm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是54cm2，则小正方形的边长为 　1　cm．

【分析】设小正方形的边长为xcm，则小长方形的宽为xcm，长为4cm，利用折成的长方体盒子的表面积＝大正方形的面积﹣2×小正方形的面积﹣2×小长方形的面积，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设小正方形的边长为xcm，则小长方形的宽为xcm，长为×8＝4（cm），
根据题意得：8×8﹣2x2﹣2×4x＝54，
整理得：x2+4x﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴小正方形的边长为1cm．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算：
（1）；
（2）（）；
（3）（）+；
（4）（﹣）﹣+（1﹣）0﹣|﹣2|．
【分析】（1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；
（3）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后分母有理化，最后合并即可；
（4）先根据绝对值和零指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可．
解：（1）原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+；
（2）原式＝2﹣﹣+
＝+；
（3）原式＝÷+5
＝×+5
＝+5
＝6（﹣）+5
＝6﹣6+5
＝6﹣；
（4）原式＝﹣﹣2+1+﹣2
＝﹣﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、零指数幂的意义是解决问题的关键．
17．解方程：
（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；（因式分解法）
（2）x2﹣4x+5＝0；（公式法）
（3）x2﹣2x﹣4＝0；（配方法）
（4）4（x2﹣x）＝﹣1．（适当方法）
【分析】（1）先移项，再因式分解即可求解；
（2）先由题意得a＝1，b＝﹣4，c＝5，再根据Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0得出方程无实数解；
（3）先将常数项移到方程右边．再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边化成完全平方式，最后再开方即可求解；
（4）先方程两边同时除以4，再移项，得，则有，然后开平方即可求解．
解：（1）移项，得5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
分解因式，得（x﹣3）（5x﹣2）＝0，
x﹣3＝0或5x﹣2＝0，
∴x1＝3，；
（2）∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴原方程无实数根；
（3）移项，得，x2﹣2x＝4
x2﹣2x+1＝4+1
（x﹣1）2＝5

∴，；
（4）4（x2﹣x）＝﹣1
，
，
，
∴．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．
18．已知a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；
（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解．
解：（1）∵，
∴，b﹣5＝0，＝0，
∴，b＝5，；
（2）以a，b，c为边不能构成直角三角形．
理由如下：
∵a2＝8，b2＝25，c2＝18，
∴较小的两边之和为：a2+c2＝8+18＝26，
∴a2+c2≠b2，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
【点评】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．
19．已知关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个根是﹣1，求方程的另一个根及k的值．
【分析】（1）因为关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，所以k≠0且Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入方程，求出k的值，再解方程即可求得方程的另一个根．
解：（1）∵关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4•k•（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1且k≠0；

（2）∵方程的一个根是﹣1，
∴k×（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣1＝0，
解得k＝﹣1，
∴﹣x2﹣2x﹣1＝0，即x2+2x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1．
即另一个根为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程的解的定义，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
20．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．
（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 　y＝100+20x　；
（2）若售价为每顶50元，求每周的销售利润；
（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
【分析】（1）利用平均每周的销售量＝100+40×，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）利用每周的销售利润＝每顶的销售利润×每周的销售量，即可求出结论；
（3）利用每周的销售利润＝每顶的销售利润×每周的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可确定结论．
解：（1）根据题意得：y＝100+40×＝100+20x．
故答案为：y＝100+20x；
（2）根据题意得：（50﹣40）[100+20×（68﹣50）]
＝10×[100+20×18]
＝10×[100+360]
＝10×460
＝4600（元）．
答：每周的销售利润为4600元；
（3）根据题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，
整理得：x2﹣23x+60＝0，
解得：x1＝3，x2＝20，
当x＝3时，68﹣x＝68﹣3＝65＞58，不符合题意，舍去；
当x＝20时，68﹣x＝68﹣20＝48＜58，符合题意．
答：每顶头盔应降价20元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．阅读与思考
互为有理化的一对无理根的一元二次方程
我们知道，在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x1＝，x2＝．若是一个无理数，则x1，x2也都是无理数，我们把x1和x2这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根．
例如：一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为，x2＝　m　，它们就是互为有理化的一对无理根．
又如：方程x2＝7的两根，也是互为有理化的一对无理根．
判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：
①x1和x2是两个无理数；②x1•x2是一个有理数．
如：，是无理数，
且＝　n　．
∴x1，x2是互为有理化的一对无理根．
显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为．
任务：
（1）填空：材料中的m＝　　，n＝　1　．
（2）求一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
（3）若方程x2+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程x2+px+q＝0的另一根及p，q的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系求得即可；
（2）解方程求得方程的解即可判断；
（3）根据互为有理化的一对无理根的概念即可求得方程x2+px+q＝0的另一根，利用根与系数的关系即可求得p，q的值．
解：（1）材料中的m＝，n＝1．
故答案为：，1．
（2）∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝1+21＝22＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的两根为x1＝，x＝，
∴该方程的两根是互为有理化的一对无理根．
（3）由题意可知，方程x2+px+q＝0的另一根是1﹣，
∴﹣p＝1++1﹣，q＝（1+）（1﹣），
∴p＝﹣2，q＝﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，无理根的概念，熟练掌握新概念以及根与系数的关系是解题的关键．
22．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？
（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，可得DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，∠A＝90°，结合，再解方程并检验即可；
（2）由题意可得：DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，AQ＝t，可得PQ2＝AQ2+AP2＝t2+（6﹣2t）2，由△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形，可得DQ＝PQ，建立方程（4﹣t）2＝t2+（6﹣2t）2，再利用方程根的判别式可得答案．
解：（1）由题意可得：AQ＝t，BP＝2t，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，
∴DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，∠A＝90°，
∴，
∴t2﹣7t+6＝0，
解得：t＝1或t＝6；
∵0≤t≤3，
∴t＝6不符合题意，则t＝1，
∴当t＝1s时，△PQD的面积为6cm2．
（2）不存在t使△PDQ为等腰三角形．
由题意可得：DQ＝4﹣t，AP＝6﹣2t，AQ＝t，
∴PQ2＝AQ2+AP2＝t2+（6﹣2t）2，
∵△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形，
∴DQ＝PQ，
∴（4﹣t）2＝t2+（6﹣2t）2，
∴t2﹣4t+5＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝16﹣20＝﹣4＜0，
∴方程无解，
∴不存在t使△PDQ为等腰三角形．
【点评】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，利用图形面积与等腰三角形的性质建立方程求解是解本题的关键．
23．阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2．继续进行以下的探索：设a+b（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n都是正整数时，若a﹣b，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　m2+5n2　，b＝　2mn　；
（2）利用上述方法，填空：21﹣4＝（　1　﹣　2　）2；
（3）如果a﹣6，且a，m，n都是正整数，求a的值．
【分析】（1）仿照阅读理解解答；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）分m＝3，n＝1或m＝1，n＝3两种情况，根据（1）的结论计算，得到答案．
解：（1）m2+5n2，2mn；
（2）21﹣4＝1﹣2+20＝12﹣2×1×+（）2＝（1﹣2）2；
（3）∵2mn＝6，
∴mn＝3，而m，n都为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝m2+5n2＝32+5×12＝14，
当m＝1，n＝3时，a＝m2+5n2＝1+5×32＝46，
综上所述，a的值为14或46，
故答案为：（1）m2+5n2；2mn；
（2）1；2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．