【期中模拟卷】沪教版2023-2024学年高一上学期 数学必修1 第一章 集合与逻辑 单元重点综合测试.zip

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第1章    集合与逻辑（单元重点综合测试）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知集合，若，则实数a的值为____________．【答案】【解析】【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可.【详解】由集合中元素的互异性得，故，则，又，所以，解得．故答案为：2. 已知集合，若，则实数___________.【答案】或3##3或-2【解析】【分析】利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.【详解】，∴或，解得或或，将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，故或3.故答案为：或3.3. “且”的否定形式是__．【答案】或【解析】【分析】“且”的否定是“或”【详解】“且”的否定是“或”故答案为：或 4. 设全集，集合，若，则实数______;【答案】【解析】【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可.【详解】因为，故，即，故，解得或；当时，，满足条件；当时，，不满足条件；故.故答案为：5. 若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．故答案为：6. 已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．【答案】{0}∪[，+∞）．【解析】【分析】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．【详解】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x，故成立；当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得；综上所述，a取值范围是{0}∪[，+∞）．故答案为：{0}∪[，+∞）．7. 某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.【答案】【解析】【分析】先求出参加数学与化学竞赛的人数和，再加上两种竞赛都不参加的人数，这样就比全班总人数多算了一次数学与化学都参加的人数，因此减去总人数，就得出结果.【详解】因为参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人 ，全班有人，因此两种竞赛都参加的有（人） 故答案为 .8. 设集合，，集合，则实数的值为_____．【答案】1或3或4.【解析】【分析】解一元二次方程求出集合，根据并集结果求实数的值.【详解】由解得或，所以，由解得或，（i）若，则，满足；（ii）若，则，因为，所以或，综上实数的值为1或3或4.故答案为：1或3或4.9. 若a、b、c为实数，则下列命题正确的是__________．(填序号)①若a＞b，c＞d，则ac＞bd       ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2③若a＜b＜0，则          ④若a＜b＜0，则【答案】②【解析】【分析】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时才成立；对于②③由不等式性质可判断正误；对于④作差，通分可得到结果.【详解】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；对于②，∵a＜b＜0， 由不等式的传递性得到：a2＞ab＞b2，故②正确；③中在上为减函数，因为a＜b＜0得，故得到：，故③不正确，又,又a＜b＜0，∴，∴，故④不正确；故答案为：②.10. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________【答案】【解析】【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可.【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根，所以，，所以，解得或，又因为，得，所以.故答案为：311. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案.【详解】因为为假命题，所以为真命题，即，又因为集合，集合，所以当时，，即，此时满足；当时，或，解得，综上所述，的取值范围为.故答案为：.12. 已知全集且，，，且，则的值为_____________．【答案】66【解析】【分析】结合韦达定理，根据集合运算结果求解即可.【详解】解：因为全集，，所以3，9，12，15中有两个属于，因为中的方程中，两根之积，所以，所以，又，所以，因为中的方程中，两根之和，所以，则，所以．故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，每题5分，共20分）13. “且”是“”的（    ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由且，则且，所以，即充分性成立；由推不出且，如，，满足，但是不成立，故必要性不成立；故“且”是“”的充分不必要条件；故选：B14. 已知下列四组陈述句：①：集合；：集合；②：集合；：集合；③；；④：；：．其中是的必要非充分条件的有（    ）A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③【答案】D【解析】【分析】根据集合间关系以及不等式的性质判断求解即可.【详解】①若，则不一定相等，不是充分条件，若，则一定成立，是必要条件，所以是的必要非充分条件，故①符合题意；②若集合，则集合，反之也成立，所以是的充要条件，故②不符合题意；③由得不到，由能得到，所以是的必要非充分条件，故③符合题意；④根据不等式的性质由可得，但由得或，即由得不到，所以是的充分不必要条件，故④不符合题意；故选:D.15. 在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．【详解】若方程和都没有实数根.则 ，解得：.则方程和中，已知至少有一个方程有实数根.所以或故选：C【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题．16. 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（    ）A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②④【答案】A【解析】【分析】先理解为集合X的聚点的含义，以0为聚点的集合, 即对任意，都存在，使得，对四个集合逐一分析，对① ,当时，不存在满足的，不是以0为聚点的集合；对②，都存在，使得，是以0为聚点的集合；对③，都存在，使，是以0为聚点的集合；对④，当时，对任意的，都有或者，不存在满足的，不是以0为聚点的集合；【详解】①集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足的，∴ 0不是集合的聚点；②集合，对任意，都存在（实际上任意比小的数都可以），使得，∴ 0是集合的聚点；③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的，存在，使，∴ 0是集合聚点；④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点．综上可知②③正确. 故选A三、解答题（本大题共有5题，共12+14+14+18+18=76分）17. 已知，若，求实数的值.【答案】.【解析】【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得【详解】因为中，且两根之积为，又，故，所以，则，由上知：，所以，代入得，显然满足所以. 18. 已知集合，集合，且，试求的取值范围．【答案】．【解析】【分析】由题意得，，结合数轴，分和两类进行讨论即可求出答案．【详解】解：∵，∴，①当时，，∴；②当，则根据题意如图所示： 根据数轴可得，解得，综合①②可得的取值范围为．【点睛】本题主要考查集合间的基本运算，属于基础题． 19. 已知：关于的不等式的解集为，且；：关于的方程有两个不相等的正实数根.（1）若为真命题，为真命题，求（2）若和中有且只有一个是假命题，求实数的取值范围.【答案】（1），；    （2）.【解析】【分析】（1）根据2满足不等式求得集合，根据一元二次方程根的分布情况，结合韦达定理与判别式即可求得集合；（2）讨论真假，以及假真时对应的取值范围，即可求得结果.【小问1详解】若为真命题，由题可知，，解得，即；若为真命题，由题可知，，且，解得，即.【小问2详解】根据（1）中所求，若真假，则，且，则；若假真，则，且，则；综上所述，.20. 已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”．（1）写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可）（2）求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由．【答案】（1）    （2）,其中为相异正整数，理由见解析【解析】【分析】（1）根据好集合的定义列举求解即可；（2）设,其中，进而结合题意得或，再分类讨论求解即可.【小问1详解】解：根据“好集合”的定义可知，所有的元素均小于3的“好集合”为：【小问2详解】解：设,其中,由题意:,故，所以，或,下面讨论和时的情况，当，即时，由于，故有，即，所以，但此时，不满足“好集合”定义，故舍去；当，即时，此时， 满足“好集合”的定义.所以，,其中为相异正整数.21. 对于实数构成的集合.若对任意都有（其中“”表示普通的乘法运算），则称集合对“”是封闭的.（1）已知集合，判断是否属于集合；（2）在（1）的条件下，若，证明的充要条件是；（3）若集合对“”都是封闭的，试判断是否对“”封闭，请说明理由.【答案】（1）    （2）证明见解析    （3）不对“”封闭，理由见解析【解析】【分析】（1）根据定义逐一验证即可；（2）先讨论 中元素的情况，在证明充分性、必要性成立即可，（3）举反例说明即可【小问1详解】因为，，所以令 则，且因 所以或均无整数解，所以【小问2详解】由集合 所以①当同为奇数或偶数时，均为偶数，此时为4的倍数；②当为一奇一偶时，均为奇数，此时为奇数；充分性：由，则即集合中的元素为4的倍数，所以，充分性成立.必要性：因为集合中的元素为4的倍数或奇数，又集合为2的倍数，若，则必有集合中的元素为4的倍数，所以，必要性成立所以在（1）的条件下，若，则的充要条件是【小问3详解】不对“”封闭，理由如下：设此时对“”封闭，但是在中所以不对“”封闭.