【期中知识点归纳】（人教版）2023-2024学年高二上学期数学 必修1 第一章 空间向量与立体几何（知识归纳+6类题型突破）

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第一章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）

1.能够理解空间向量的概念,运算、背景和作用;
2.能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力;
3.能够掌握空间向量基本定理,体会其作用,并能简单应用;
4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路.

一、空间向量的有关概念
1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
2、几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 
共面向量
平行于同一个平面的向量
二、空间向量的有关定理
1、共线向量定理：
对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：

（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
2、共面向量定理
如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
（1）空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．


或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
（2）拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
3、空间向量基本定理
如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得
三、空间向量的数量积
1、空间两个向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.
（2）范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0