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【期中复习提升】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1第三章 圆锥曲线与方程（压轴题专练）
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第三章 圆锥曲线与方程（压轴题专练）
题型一 直线与椭圆的综合问题
【例1】已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．
【解析】 (1)由题意可得M(0，b)，F1(－c,0)，F2(c，0)，
由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，
则椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立⇒3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜，
x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，AB＝·＝·＝，以AB为直径的圆与y轴相切，
可得半径r＝AB＝，即 ＝，
解得m＝±∈(－，)，则m的值为±．
思维升华
解决直线和椭圆综合问题的注意点
(1)根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．
(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．
巩固训练
1．已知点P是椭圆＋＝1上任意一点，则当点P到直线4x－5y＋40＝0的距离达到最小值时，点P的坐标为________．
【答案】
【解析】设平行于直线4x－5y＋40＝0且与椭圆相切的直线方程为4x－5y＋c＝0(c≠40)．
由得25x2＋8cx＋c2－225＝0，
令Δ＝(8c)2－4×25×(c2－225)＝0，
得c2＝625，解得c＝±25．结合图形(图略)可知c＝25，此时，x2＋8x＋16＝0⇒x＝－4．
代入4x－5y＋25＝0得，y＝，∴P．
2．已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且AM＝AN，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)依题意，设椭圆的方程为＋y2＝1(a＞1)，右焦点为(c,0)，
则由点到直线的距离公式得＝3，∴c＝，∴a2＝b2＋c2＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由
消去y并整理得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∴y1＋y2＝x1＋m＋x2＋m＝－m＋2m＝．
由题意知Δ＞0，即(6m)2－4×4×(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2．
∵AM＝AN，∴ ＝，
整理得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1－y2)(y1＋y2＋2)＝0，
∴－m(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
∴[x1＋m－(x2＋m)]＝m(x1－x2)，
即(x1－x2)＝m(x1－x2)，
又x1≠x2，∴m＝＋2，解得m＝2．
∵m＝2不满足－2＜m＜2，∴满足条件的m的值不存在．
题型二 双曲线的定义及其应用
【例2】(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若PF1－PF2＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为____________．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2．若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
【答案】(1)x2－＝1 (2)16
【解析】 (1)由题意得
解得则该双曲线的方程为x2－＝1．
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5．
由双曲线的定义和余弦定理，得PF1－PF2＝±6，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°，
所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，所以PF1·PF2＝64，
所以S＝PF1·PF2·sin ∠F1PF2＝×64×＝16．
思维升华
双曲线定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
巩固训练
1．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1＝3，则PF2＝( )
A．5 B．1
C．3 D．1或5
【解析】选A 依题意得，a＝1，b＝3，因此c＝，
因为PF1＝3∈(c－a，a＋c)，
所以点P只可以在双曲线的左支上，
因此PF1－PF2＝－2，即3－PF2＝－2，
所以PF2＝5，故选A．
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则AP＋AF2的最小值为( )
A．＋4 B．－4
C．－2 D．＋2
【解析】选C 因为AF1－AF2＝2，∴AF2＝AF1－2．AP＋AF2＝AP＋AF1－2，所以要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时，AP＋AF1最小，最小值为PF1＝＝．故AP＋AF2的最小值为－2，故选C．
3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M 与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________________．
【答案】－＝1
【解析】圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
圆心F1(－5,0)，半径r1＝1．
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
圆心F2(5,0)，半径r2＝4．
设动圆M的半径为R，则有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，
∴MF2－MF1＝3＜10＝F1F2．
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝．
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1．
题型三 直线与双曲线的位置关系
【例3】直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
【解析】 由得(3－a2)x2－2ax－2＝0．
由题意，得3－a2≠0，Δ＝4a2－4×(3－a2)×(－2)＝24－4a2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
(1)AB＝
＝
＝
＝．
(2)记坐标原点为O，由题意知，OA⊥OB，则·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，
解得a＝±1．经检验，a＝±1满足3－a2≠0，且Δ＞0．
故当a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
思维升华
(1)直线与双曲线的位置关系的判定方法
直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况，其判定方法通常也是用Δ来解决．
设直线方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，两方程联立消去y得mx2＋nx＋q＝0(*)形式的方程．
①若m≠0，方程(*)为关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两解，则直线与双曲线相交于两点；
当Δ＝0时，方程有一解，则直线与双曲线相切；
当Δ＜0时，方程无解，则直线与双曲线相离．
②若m＝0，方程(*)为关于x的一次方程x＝－，直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线)．
巩固训练
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【解析】 因为双曲线方程为x2－＝1，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的直线共有3条．
2．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【解析】(1)由消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．由题意，知
解得－＜k＜且k≠±1．所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)，得x1＋x2＝－，x1x2＝－．
又直线l恒过点D(0，－1)，
则①当x1x2＜0时，S△OAB＝S△OAD＋S△OBD
＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝．
②当x1x2＞0时，S△OAB＝|S△OAD－S△OBD|
＝＝|x1－x2|＝．
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±．
由(1)，知上述k的值符合题意，所以k＝0或k＝±．
题型四 根据双曲线方程研究其几何性质
【例4】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
【解析】 将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝．
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x．
【拓展】将本例中双曲线方程换为“nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)”，结论不变，如何求解？
【解析】把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，a＝，b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝2．
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x．
思维升华
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
巩固训练
1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
【答案】ABD
【解析】 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为，故选A、B、D．
2．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
【答案】(－12,0)
【解析】双曲线方程化为标准方程为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，所以c2＝4－k，所以e＝＝．
因为e∈(1,2)，所以1＜＜2，解得－12＜k＜0．
题型五 由双曲线的几何性质求标准方程
【例5】求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
【解析】 (1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．∵e＝，
∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝．
由题意得解得
∴所求的双曲线方程为－＝1．
(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝ ①．
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1 ②．
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝ ③．
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1 ④．
联立③④，解得a2＝8，b2＝32．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
思维升华
由双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路
根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按“先定位，再定形”的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质．
巩固训练
1．过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】A
【解析】 因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有相同渐近线，所以设其方程为－y2＝t(t≠0)，因为点(2，－2)在双曲线上，所以－(－2)2＝t，解得t＝－2，则所求双曲线方程为－＝1．故选A．
2．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程：
(1)过点P(3，－)，离心率e＝；
(2)F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，且离心率为2．
【解析】(1)若双曲线的实轴在x轴上，则设－＝1(a＞0，b＞0)为所求双曲线的标准方程．
由e＝，得＝ ①．
由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1 ②．
由a2＋b2＝c2，结合①②，得a2＝1，b2＝．
若双曲线的实轴在y轴上，则设－＝1(a＞0，b＞0)为所求双曲线的标准方程．
同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2，
解得b2＝－(不合题意)．
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知，F1F2＝2c，e＝＝2，由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝c．由余弦定理，得(2c)2＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2·(1－cos∠F1PF2)，
∴4c2＝c2＋PF1·PF2．
又S△PF1F2＝PF1·PF2·sin 60°＝12，
∴PF1·PF2＝48，
∴3c2＝48，∴c2＝16，∴a2＝4，b2＝12．
故所求双曲线的标准方程为－＝1．
题型六 抛物线定义的应用
【例6】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
【解析】 由抛物线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝．
思维升华
1．抛物线定义的应用思路
通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，或者把抛物线上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，然后根据平面几何的相关知识求解．
2．与抛物线定义有关的最值问题的解题思路
由抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，再利用平面几何的性质，确定最值点，即得最值．特别地，已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点，A为定点，则有下列结论成立：
(1)＝
(2)PA－PF的最大值＝AF；
(3)＝
巩固训练
1．设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋PA的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 由题意知，抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3．故选C．
2．若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程．
【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，
而＝，所以p＝1,2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
题型七 抛物线的实际应用
【例7】一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径(直径)为4．8 m，深度为0．5 m．
(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5．2 m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标．
【解析】 (1)以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，代入点(0．5,2．4)，
得2．42＝2p·0．5，解得p＝5．76，
即抛物线的方程为y2＝11．52x，焦点为(2．88,0)．
(2)设抛物线的方程为y2＝2mx(m＞0)，
代入点(0．5,2．6)，得2．62＝2m·0．5，
解得m＝6．76，
即抛物线的方程为y2＝13．52x，焦点为(3．38,0)．
思维升华
求解抛物线实际应用题的步骤
巩固训练
一辆卡车高3 m，宽1．6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
【解析】以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为．
由点B在抛物线上，得2＝－2p·，
∴p＝，∴抛物线方程为x2＝－ay．
设点E(0．8，y0)为抛物线上一点，
代入方程x2＝－ay，得0．82＝－ay0，
∴y0＝－，
∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，
令h＞3，则－＞3，解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．
∴a的最小整数值为13．
题型八 抛物线性质的综合应用
【例8】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若AF＋BF＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求AB．
【解析】 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设，得F，故AF＋BF＝x1＋x2＋．又AF＋BF＝4，所以x1＋x2＝．
由得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－．
从而－＝，解得t＝－．
所以l的方程为y＝x－．
(2)由＝3，得y1＝－3y2．
由得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程，得x1＝3，x2＝．故AB＝．
思维升华
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
巩固训练
1.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．
【解析】(1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8．
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
＝×＝×＝，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x，
消去x，得y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
＝＝＝，
由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．
第三章 圆锥曲线与方程（压轴题专练）
题型一 直线与椭圆的综合问题
【例1】已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．
【解析】 (1)由题意可得M(0，b)，F1(－c,0)，F2(c，0)，
由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，
则椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立⇒3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜，
x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，AB＝·＝·＝，以AB为直径的圆与y轴相切，
可得半径r＝AB＝，即 ＝，
解得m＝±∈(－，)，则m的值为±．
思维升华
解决直线和椭圆综合问题的注意点
(1)根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．
(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．
巩固训练
1．已知点P是椭圆＋＝1上任意一点，则当点P到直线4x－5y＋40＝0的距离达到最小值时，点P的坐标为________．
【答案】
【解析】设平行于直线4x－5y＋40＝0且与椭圆相切的直线方程为4x－5y＋c＝0(c≠40)．
由得25x2＋8cx＋c2－225＝0，
令Δ＝(8c)2－4×25×(c2－225)＝0，
得c2＝625，解得c＝±25．结合图形(图略)可知c＝25，此时，x2＋8x＋16＝0⇒x＝－4．
代入4x－5y＋25＝0得，y＝，∴P．
2．已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且AM＝AN，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)依题意，设椭圆的方程为＋y2＝1(a＞1)，右焦点为(c,0)，
则由点到直线的距离公式得＝3，∴c＝，∴a2＝b2＋c2＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由
消去y并整理得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∴y1＋y2＝x1＋m＋x2＋m＝－m＋2m＝．
由题意知Δ＞0，即(6m)2－4×4×(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2．
∵AM＝AN，∴ ＝，
整理得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1－y2)(y1＋y2＋2)＝0，
∴－m(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
∴[x1＋m－(x2＋m)]＝m(x1－x2)，
即(x1－x2)＝m(x1－x2)，
又x1≠x2，∴m＝＋2，解得m＝2．
∵m＝2不满足－2＜m＜2，∴满足条件的m的值不存在．
题型二 双曲线的定义及其应用
【例2】(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若PF1－PF2＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为____________．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2．若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
【答案】(1)x2－＝1 (2)16
【解析】 (1)由题意得
解得则该双曲线的方程为x2－＝1．
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5．
由双曲线的定义和余弦定理，得PF1－PF2＝±6，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°，
所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，所以PF1·PF2＝64，
所以S＝PF1·PF2·sin ∠F1PF2＝×64×＝16．
思维升华
双曲线定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
巩固训练
1．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1＝3，则PF2＝( )
A．5 B．1
C．3 D．1或5
【解析】选A 依题意得，a＝1，b＝3，因此c＝，
因为PF1＝3∈(c－a，a＋c)，
所以点P只可以在双曲线的左支上，
因此PF1－PF2＝－2，即3－PF2＝－2，
所以PF2＝5，故选A．
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则AP＋AF2的最小值为( )
A．＋4 B．－4
C．－2 D．＋2
【解析】选C 因为AF1－AF2＝2，∴AF2＝AF1－2．AP＋AF2＝AP＋AF1－2，所以要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时，AP＋AF1最小，最小值为PF1＝＝．故AP＋AF2的最小值为－2，故选C．
3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M 与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________________．
【答案】－＝1
【解析】圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
圆心F1(－5,0)，半径r1＝1．
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
圆心F2(5,0)，半径r2＝4．
设动圆M的半径为R，则有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，
∴MF2－MF1＝3＜10＝F1F2．
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝．
故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1．
题型三 直线与双曲线的位置关系
【例3】直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
【解析】 由得(3－a2)x2－2ax－2＝0．
由题意，得3－a2≠0，Δ＝4a2－4×(3－a2)×(－2)＝24－4a2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
(1)AB＝
＝
＝
＝．
(2)记坐标原点为O，由题意知，OA⊥OB，则·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，
解得a＝±1．经检验，a＝±1满足3－a2≠0，且Δ＞0．
故当a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
思维升华
(1)直线与双曲线的位置关系的判定方法
直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况，其判定方法通常也是用Δ来解决．
设直线方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，两方程联立消去y得mx2＋nx＋q＝0(*)形式的方程．
①若m≠0，方程(*)为关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两解，则直线与双曲线相交于两点；
当Δ＝0时，方程有一解，则直线与双曲线相切；
当Δ＜0时，方程无解，则直线与双曲线相离．
②若m＝0，方程(*)为关于x的一次方程x＝－，直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线)．
巩固训练
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【解析】 因为双曲线方程为x2－＝1，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的直线共有3条．
2．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【解析】(1)由消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．由题意，知
解得－＜k＜且k≠±1．所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)，得x1＋x2＝－，x1x2＝－．
又直线l恒过点D(0，－1)，
则①当x1x2＜0时，S△OAB＝S△OAD＋S△OBD
＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝．
②当x1x2＞0时，S△OAB＝|S△OAD－S△OBD|
＝＝|x1－x2|＝．
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±．
由(1)，知上述k的值符合题意，所以k＝0或k＝±．
题型四 根据双曲线方程研究其几何性质
【例4】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
【解析】 将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝．
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x．
【拓展】将本例中双曲线方程换为“nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)”，结论不变，如何求解？
【解析】把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，a＝，b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝2．
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x．
思维升华
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
巩固训练
1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8 B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为
【答案】ABD
【解析】 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为，故选A、B、D．
2．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
【答案】(－12,0)
【解析】双曲线方程化为标准方程为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，所以c2＝4－k，所以e＝＝．
因为e∈(1,2)，所以1＜＜2，解得－12＜k＜0．
题型五 由双曲线的几何性质求标准方程
【例5】求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
【解析】 (1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．∵e＝，
∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝．
由题意得解得
∴所求的双曲线方程为－＝1．
(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝ ①．
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1 ②．
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝ ③．
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1 ④．
联立③④，解得a2＝8，b2＝32．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
思维升华
由双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路
根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按“先定位，再定形”的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质．
巩固训练
1．过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【答案】A
【解析】 因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有相同渐近线，所以设其方程为－y2＝t(t≠0)，因为点(2，－2)在双曲线上，所以－(－2)2＝t，解得t＝－2，则所求双曲线方程为－＝1．故选A．
2．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程：
(1)过点P(3，－)，离心率e＝；
(2)F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，且离心率为2．
【解析】(1)若双曲线的实轴在x轴上，则设－＝1(a＞0，b＞0)为所求双曲线的标准方程．
由e＝，得＝ ①．
由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1 ②．
由a2＋b2＝c2，结合①②，得a2＝1，b2＝．
若双曲线的实轴在y轴上，则设－＝1(a＞0，b＞0)为所求双曲线的标准方程．
同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2，
解得b2＝－(不合题意)．
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知，F1F2＝2c，e＝＝2，由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝c．由余弦定理，得(2c)2＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2·(1－cos∠F1PF2)，
∴4c2＝c2＋PF1·PF2．
又S△PF1F2＝PF1·PF2·sin 60°＝12，
∴PF1·PF2＝48，
∴3c2＝48，∴c2＝16，∴a2＝4，b2＝12．
故所求双曲线的标准方程为－＝1．
题型六 抛物线定义的应用
【例6】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
【解析】 由抛物线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝．
思维升华
1．抛物线定义的应用思路
通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，或者把抛物线上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，然后根据平面几何的相关知识求解．
2．与抛物线定义有关的最值问题的解题思路
由抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，再利用平面几何的性质，确定最值点，即得最值．特别地，已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点，A为定点，则有下列结论成立：
(1)＝
(2)PA－PF的最大值＝AF；
(3)＝
巩固训练
1．设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋PA的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 由题意知，抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3．故选C．
2．若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程．
【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，
而＝，所以p＝1,2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
题型七 抛物线的实际应用
【例7】一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径(直径)为4．8 m，深度为0．5 m．
(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5．2 m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标．
【解析】 (1)以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，代入点(0．5,2．4)，
得2．42＝2p·0．5，解得p＝5．76，
即抛物线的方程为y2＝11．52x，焦点为(2．88,0)．
(2)设抛物线的方程为y2＝2mx(m＞0)，
代入点(0．5,2．6)，得2．62＝2m·0．5，
解得m＝6．76，
即抛物线的方程为y2＝13．52x，焦点为(3．38,0)．
思维升华
求解抛物线实际应用题的步骤
巩固训练
一辆卡车高3 m，宽1．6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
【解析】以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为．
由点B在抛物线上，得2＝－2p·，
∴p＝，∴抛物线方程为x2＝－ay．
设点E(0．8，y0)为抛物线上一点，
代入方程x2＝－ay，得0．82＝－ay0，
∴y0＝－，
∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，
令h＞3，则－＞3，解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．
∴a的最小整数值为13．
题型八 抛物线性质的综合应用
【例8】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若AF＋BF＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求AB．
【解析】 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设，得F，故AF＋BF＝x1＋x2＋．又AF＋BF＝4，所以x1＋x2＝．
由得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－．
从而－＝，解得t＝－．
所以l的方程为y＝x－．
(2)由＝3，得y1＝－3y2．
由得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．
代入C的方程，得x1＝3，x2＝．故AB＝．
思维升华
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
巩固训练
1.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．
【解析】(1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8．
(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
＝×＝×＝，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x，
消去x，得y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
＝＝＝，
由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值．
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