【期中单元知识点归纳】苏教版2019 2023-2024学年高二数学 选修1 第二章 圆与方程（知识归纳 题型突破）（试卷）

第二章 圆与方程（知识归纳+题型突破）

1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．

2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．

3．能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系．

4．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

1．圆的概念及标准方程

(1)圆的标准方程的右端r2>0，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．

(2)圆的标准方程可用来解决：①已知圆心和半径求圆的方程的问题；②已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即半径)．

2．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法

3．圆的一般方程的定义

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫作圆的一般方程．

4．圆的一般方程在形式上的特点

(1)x2和y2的系数相等且不为0；

(2)不含xy项．

5．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

6．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其关系如表所示：

7．直线与圆的三种位置关系及判定

8．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．

9．圆与圆位置关系的判定方法

(1)几何法

若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

(2)代数法

通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

消元，一元二次方程

题型一　求圆的标准方程

【例1】　求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．

思维升华

圆的标准方程的两种求法

(1)几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程．

(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：

①设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；

②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；

③解——解方程组，求出a，b，r；

④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．　　　

巩固训练

1．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　 )

A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13              B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52              D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

2．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　 )

A．x2＋(y－4)2＝20  B．(x－4)2＋y2＝20

C．x2＋(y－2)2＝20  D．(x－2)2＋y2＝20

题型二　判断点与圆的位置关系

【例2】已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：                             

(1)点A在圆的内部；

(2)点A在圆上；

(3)点A在圆的外部．

思维升华　

点与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较．

(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：

①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，点在圆外；

②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；

③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，点在圆内．　

巩固训练

1．已知点P(a,10)，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝12，则点P(　 )

A．在圆内  B．在圆上

C．在圆外  D．与a的取值有关

2．已知点M(1,1)，圆C的标准方程：(x－a)2＋(y＋a)2＝4，若点M在圆C上，则a的值为________；若点M在圆C的内部，则a的取值范围为________．

题型三　与圆有关的最值问题

【例3】已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值．

思维升华　

与圆有关的最值问题的求解策略

(1)本例将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．

(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．

一般地：①k＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．　

巩固训练

1．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的取值范围．

2．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求圆上一点到直线x＋y＝4的最大值与最小值．

题型四　求圆的一般方程

【例4】已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的一般方程．

思维升华　

求圆的方程的两种方法

巩固训练

1．已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在x轴上截得的线段长为4，求圆的一般方程．

2．已知△ABC顶点的坐标为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，求其外接圆的一般方程．

题型五　直线与圆的位置关系的判断

【例5】已知圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k分别为何值时，直线与圆的位置关系满足下列条件：①相交；②相切；③相离．

思维升华　

直线与圆的位置关系的判断方法

若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．　　

巩固训练

1．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是　　 (　 )

A．－2  B．－12 

C．2  D．12

2．直线l：x＋y＋3＝0与圆C：x2＋y2－2x－4＝0的位置关系是________．

题型六　直线与圆相切的问题

【例6】已知直线l过点P(4,5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切，求直线l的方程．

思维升华　

求过某一点的圆的切线方程

(1)点(x0，y0)在圆上．

①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．

②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．

(2)点(x0，y0)在圆外．

①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．

②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．

③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．　　　

巩固训练

1．经过点M(2，)，且与圆x2＋y2＝10相切的直线的方程为____________．

2．过点A(4，－3)作圆 C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线．求此切线的方程．

题型七　 直线与圆的相交问题

【例7】求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．

思维升华　

直线与圆相交时的弦长求法

巩固训练

1．过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______．

2．如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．

题型八　圆与圆位置关系的判定

【例8】(1)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2: x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　 )

A．外离  B．相交 

C．外切  D．内切

(2)圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2＋3＝0的公共点个数为 (　 )

A．0  B．3 

C．2  D．1

(3)圆C1: x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为(　 )

A．外切  B．相交 

C．内切  D．内含

思维升华　

判断圆与圆的位置关系的两种方法

(1)代数法：将两圆的方程组成二元二次方程组，消元化成一元二次方程，通过方程根的判别式，应用此法时要注意当Δ＝0或Δ＜0时，两圆相切或相离，均又包含两种情况，因此，应用此法比较繁琐．　　

2几何法：应用此法判断圆与圆的位置关系的步骤：

①将两圆的方程化为标准方程；

②求两圆的圆心坐标和半径r1，r2；

③求两圆的圆心距d；

④比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．

巩固训练

1．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0．问：m为何值时，

(1)圆C1和圆C2外切？

(2)圆C1与圆C2内含？

题型九　两圆相交问题

【例9】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．

(1)判断两圆的位置关系；

(2)求公共弦所在的直线方程；

(3)求公共弦的长度．

思维升华　

(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．

(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．

(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．　

巩固训练

1．已知圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆 x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　 )

A．E＝－4，F＝8  B．E＝4，F＝－8

C．E＝－4，F＝－8  D．E＝4，F＝8

2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝______．

题型十　两圆相切问题

【例10】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线 x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．

思维升华　

解决两圆相切问题的两个步骤

巩固训练

1．(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于(　 )

                      A．16  B．7

C．－4  D．－4或7

2．若两圆x2＋y2＝a与x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为______．