山东省济南市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

山东省济南市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．

【详解】解：化简可得

，

的共轭复数，

故选：B．

2．某公司有员工15名，其中包含经理一名．保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（    ）

A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差

【答案】A

【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解.

【详解】由题意，公司15名员工的工资情况组成15个数据，按大小顺序排列，排在中点的数是中位数，取到一个最大值和一个最小值，剩余13个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变；

平均数是与每一个数据都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化；

极差是与最大值和最小值有关系的量，所以也会发生变化.

故选：A.

【点睛】本题主要考查统计知识的应用，其中解答中涉及到中位数、平均数和方差、极差的概念及应用，属于基础题.

3．下列命题中是真命题的是（    ）

A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行

B．与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行

C．平行于同一个平面的两条直线互相平行

D．垂直于同一平面的两直线平行

【答案】D

【分析】以长方体为载体，结合异面直线所成的角、线面角、线面平行的性质、线面垂直的性质定理逐一判断．

【详解】解：作任意一个长方体如图，

A，如图，，，但，故A错；

B，如图，由直线与平面所成角的概念可知，直线与平面所成的角相等，但异面，故B错；

C，如图，平面，平面，但，故C错；

D，根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一平面的两直线平行，故D对；

故选：D．

【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，可借助长方体为载体，将抽象问题具体化，属于易错的基础题．

4．某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】古典概率公式得到答案.

【详解】抽到的出场序号小于4的概率：

故答案选D

【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.

5．掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件A与B的关系为（    ）

A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B独立 D．事件A包含于B

【答案】C

【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义进行判断即可.

【详解】由题意可知：，因为，

所以事件事件A与B不可能是互斥和对立，

因为，，

所以有，因此事件A与B独立，

故选：C

6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ）

A． B． C． D．△ABC为钝角三角形

【答案】D

【分析】根据正弦定理求解或，再分类讨论逐个判断即可

【详解】由正弦定理， 有，因为，故或，故三角形有两种解，故ABC均错误，当时，，或当时△ABC均为钝角三角形，故D正确；

故选：D

7．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，

所以，

因为M为BC中点，N为AD中点，

所以有，

，

根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，

故选：B

8．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】设，分别求出点的坐标，再根据题意即可得出不等式，解出即可.

【详解】设，所以点，，所以

，即，当且仅当时取等号，所以a的最大值是1.

故选：A.

二、多选题

9．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分）．绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是（    ）

A．甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值 B．甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值

C．甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值 D．甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平

【答案】AD

【分析】直接由六维能力雷达图读取数据辨别即可.

【详解】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值高于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A正确；

对于B选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值高于甲的直观想象能力指标值，故选项B错误；

对于C选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不高于甲的直观想象能力指标值，所以选项C错误.

对于D选项，甲的六维能力指标值的平均值为，

乙的六维能力指标值的平均值为，所以乙的六维能力指标值整体水平高于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项D正确；

故选：AD.

10．已知z为复数，下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】令，然后逐个分析判断即可

【详解】令，则，

对于A，因为，，所以，所以A错误，

对于B，因为，，所以，，所以B正确，

对于C，因为，，所以，所以C正确，

对于D，因为两个虚数不能比较大小，所以D错误，

故选：BC

11．已知非零平面向量，，，则（    ）

A．存在唯一的实数对m，n，使得 B．若，则

C．若，，共线，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据平面向量的运算法则，逐项验证可得答案.

【详解】对于选项A，若共线时，不一定存在实数对m，n，使得，A不正确；

对于选项B，因为，且，，，均为非零向量，所以，均与垂直，所以，B正确；

对于选项C，只有，，同向时，才有成立，C不正确；

对于选项D， ，因为，所以,D正确.

故选：BD.

12．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，F是侧面上的动点，且平面，下列说法正确的是（    ）

A．F是轨迹长度为

B．与是异面直线

C．三棱锥的外接球表面积的最大值为

D．过A作平面与平面平行，则正方体在内的正投影为正六边形

【答案】ACD

【分析】对A，取的中点，证明平面平面即可判断；

对B，根据当为与的交点时判断即可；

对C，分析到三棱锥的外接球的直径与的外接圆直径和构成直角三角形，进而得到当最小时三棱锥的外接球的直径最大，进而求得外接球表面积即可；

对D，直观想象分析即可

【详解】分别取的中点，连接，如图，平面，平面，

平面，同理可得平面，又是平面内的两条相交直线，平面平面，

而平面，平面，得点的轨迹是线段 ，长度为，故A正确；

对B，当为与的交点时，与相交，故B错误；

对C，易得到平面三棱锥的距离为定值，根据外接球的性质可得，因为平面，故三棱锥的外接球的直径与的外接圆直径和构成直角三角形，设的外接圆直径为，则，故当最小时三棱锥的外接球的直径最大.因为为钝角，故当最大时，最小，此时为中点，连接交于，可得为与的交点.此时，故，故，故，故三棱锥的外接球直径平方，即三棱锥的外接球表面积最大值为，故C正确；

对D，根据题意可得，过A作平面与平面平行，则正方体在内的正投影为以的投影为顶点的正六边形，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．在一次校园歌手大赛 中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是______．

【答案】95

【分析】从小到大排列这些数据，按照百分位数的定义进行计算即可.

【详解】依题意，先将上述6个分数从小到大排列为：，，向上取整为第个数，即.

故答案为：

14．已知向量不共线，若与共线，则实数的值为______．

【答案】

【分析】根据共线向量定理列方程求解即可

【详解】因为向量不共线，与共线，

所以存在唯一实数，使，

所以，解得，

故答案为：

15．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.

【答案】0.79.

【解析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.

【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，

∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，

∴，

解得.

∴a的最大值是0.79.

故答案为：0.79.

【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题

16．如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为______．

【答案】

【分析】根据题意作出示意图即可得到答案.

【详解】如图所示，由题意可知：，

母线与水平面所成角为：，

故答案为：

四、解答题

17．已知复数，，其中i是虚数单位，．

(1)若为纯虚数，求a的值；

(2)若，求的虚部．

【答案】(1)；

(2)1.

【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；

（2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可.

【详解】（1）由题意得，

因为为纯虚数，所以且，综上，．

（2）因为，所以，即，

所以，所以，

所以的虚部为1．

18．已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动．

(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②记事件“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，求值．

【答案】(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人

(2)① 答案见解析；②

【分析】（1）根据分层抽样的抽样比即可计算每一层应抽取的人数；（2）根据题意，列举法列举出所有的事件，并列出事件满足的所有可能即可.

(1)

由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为，又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学．

故应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)

（i）由题意知，所有可能的抽取结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

（ii）不妨设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，则，，，，，，，，，，，，，，，共含有15个样本点．

所以，．

19．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)若，求△ABC周长的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用同角平方关系及正弦定理边角关系可得，结合余弦定理即可求A的大小；

（2）由正弦定理可得，由（1）及差角正弦公式、辅助角公式、正弦型函数性质求范围，即可求△ABC周长的范围．

【详解】（1）由题意，，

则，

所以，故，

又

所以．

（2）由正弦定理得：，

所以，

．

又，则，所以，又，

所以△ABC周长的取值范围是．

20．为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；

(2)在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．

【答案】(1)；30人

(2)

【分析】（1）利用频率之和为1可得x的值，确定样本中身高不低于175cm的学生的频率，可确定人数；

（2）利用平均数与方差公式直接计算即可.

（1）

由频率分布直方图知，，所以．

又样本中身高不低于175cm的学生的频率为

所以，样本中身高不低于175cm的学生人数为人．

（2）

设除小张与小明外其他98名同学的身高为，，，…，，小张与小明的身高分别为，，样本的平均数为，样本的方差为．

由题意．

又，

所以样本的方差．

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，，△PAD为正三角形，平面平面ABCD，G为边AD的中点．

(1)求证：平面PAD；

(2)若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得平面PBC，并证明你的结论；

(3)求二面角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）由面面垂直的判定定理即可得到证明;

（2）当点F是棱AP上靠近点A的三等分点时，利用线面平行的判定定理证明即可；

（3）连接PG，过点G作于M，连接PM，证明是二面角的平面角的补角，在中求解即可.

【详解】（1）连接BD，因为底面ABCD为菱形，所以，

又，所以△ABD为正三角形，又，所以，

又面面ABCD，面面，面ABCD．

所以，面PAD．

（2）当点F是棱AP上靠近点A的三等分点时，面PBC．理由如下：

连接EF，BD．因为底面ABCD为菱形，所以AC与BD互相平分，

又，所以是△ABD重心，即，

又，则，

所以，又，所以，，又平面PBC，

平面PBC，所以，面PBC，

（3）连接PG，过点G作于M，连接PM，

因为△PAD为正三角形．又，所以，

又面面ABCD，面面，面，

所以，面ABCD，所以，面ABCD，

又，所以，平面，．

所以，是二面角的平面角的补角．

又中，，正△PAD中，．

所以，，

所以，二面角的正切值为．

22．在中，点P为内一点．

(1)若点P为的重心，用，表示；

(2)记，，的面积分别为，，，求证：；

(3)若点P为的垂心，且，求．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用重心的性质以及向量的线性运算.

（2）利用三角形的面积与边长、高的关系，再利用向量的线性运算.

（3）借助第（2）的结论、垂心的性质以及几何图形的性质.

(1)

由题意，不妨设BC边上的中点为点D，所以，

又，所以，．

(2)

证明：延长AP交BC于点D，

令，则

因为

所以，

则，所以

(3)

因为P是△ABC的垂心，，

所以由（2）易知，，

记的三个内角分别为A，B，C，则，

同理，所以，，

又，所以，，

即或，又，，同号，所以，所以．

又四边形CDPE中，因为P是△ABC的垂心，所以，

所以，，又，

所以，，所以，，

即．

【点睛】画出图形，灵活运用图形的几何性质是解题关键.