九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法精品课堂检测

这是一份九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法精品课堂检测，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第十二章一元二次方程 第03课 公式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
2．方程的解为（ ）
A．5 B．-2
C．5和-2 D．以上结论都不对
3． 是下列哪个一元二次方程的根（    ）
A． B． C． D．
4．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
5．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
6．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
8．用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（　　）
A．52 B．32 C．20 D．-12
9．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ）
A． B． C．且 D．且
10．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是(　 　)
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
11．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（    ）
①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；
②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
12．请你判断，的实根的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（     ）．
A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
15．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
16．若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（   ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
17．已知实数满足，则代数式的值是(  )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
18．下列方程中，有两个相等实数根的是（  ）
A． B．
C． D．
19．已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
20．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（　　）
A．x1、2= B．x1、2=
C．x1、2= D．x1、2=
21．方程的根是（   ）
A． B． C． D．
22．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
23．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
24．对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
25．方程的解是 ．
26．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是 .

三、解答题
27．用公式法解下列方程：
(1);        
(2)；
(3)        
(4).
28．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
29．解方程：
（1）；                  （2）．
30．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
31．解下列方程：
（1）x2+4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）
32．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
33．先阅读下列材料，然后回答问题：
在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各项的系数之和为零，即a＋b＋c＝0，则有一根为1，另一根为.
证明：设方程的两根为x1，x2，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，
∵x＝＝，
∴x1＝1，x2＝.
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数满足a－b＋c＝0，请直接写出此方程的两根；
(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，运用上述结论证明：.

参考答案：
1．D
【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【详解】A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，此选项符合题意．
故选D．
2．D
【详解】分析：先把原方程化成一般形式，再代入求根公式计算即可.
详解：
：∵（x-5）（x+2）=1，
∴x2-3x-11=0，
∵a=1，b=-3，c=-11，
∴x=.
故选D.
点睛：考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，当，注意△≥0时，.
3．D
【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．
【详解】解：对于一元二次方程，方程的根为：．
因为，所以，，，
所以对应的一元二次方程是：．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
4．A
【详解】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是b2-4ac≥0．故选A．
5．B
【详解】解：由题意得△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B．

6．A
【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
7．D
【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可.
【详解】∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0，
∴x﹣2=0或x﹣4=0，
解得：x=2或x=4，
若x=2，则三角形的三边2+3＜6，构不成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故选D．
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法以及三角形三边关系．
8．C
【详解】解：∵（x+2）2=6（x+2）﹣4，∴x2﹣2x﹣4=0，∴a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20．故选C．
点睛：此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．
9．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式
进行计算即可．
【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根，
解得：，
根据二次项系数 可得：
故选D．
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
10．D
【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根，
∴△＞0即而此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；
B、M的两根符号相同：即，而N的两根之积＝也大于0，故N的两个根也是同号的，故此选项不符合题意；
C、如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项不符合题意；
D、比较方程M与N可得：，
∴，
∵a·c≠0，a≠c，
∴，
故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1，故此选项符合题意；

11．C
【分析】①正确，利用判别式判断即可．②错误，a=-2时，方程有相等的实数根．③错误，c=0时，结论不成立．④正确，利用求根公式，判断即可．
【详解】解：①∵a+2b+4c=0，
∴a=-2b-4c，
∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，
∴Δ=b2-4（-2b-4c）•c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．
②∵b=3a+2，c=2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，
∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，
当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴t=，
∴2at+b=±，
∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．C
【分析】利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可．
【详解】解：当x＞0时，，
解得：x1＝1；x2＝2；
当x＜0时，，
解得：x1＝（不合题意舍去），x2＝，
∴方程的实数解的个数有3个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．
13．C
【详解】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△=（c2-a2-b2）2-4a2•b2，
=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），
=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，
=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
所以△＜0，则原方程没有实数根．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．
14．C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
15．A
【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．
∵a，b，c分别是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解．
16．A
【分析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解.
【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限，
，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.
17．A
【分析】将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.
【详解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．
18．A
【分析】根据根的判别式逐一判断即可．
【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
19．D
【分析】由△ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求解即可．
【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．D
【详解】∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴，
故选D.
21．D
【分析】观察原方程，可用公式法求解.
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.
22．A
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
23．A
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．
【详解】解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
24．A
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，
∵无法确定a-b+c=0．故①错误；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式，
△=b2-4ac＞0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c（ac+b+1）=0
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：
或，
∴或
∴b2−4ac＝(2ax0+b)2，故④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
25．或
【分析】分两种情况：①x＞-；②x≤-；先化为一般形式，再根据方程的特点选用合适的方法求解即可.
【详解】分两种情况：
①x＞-时，原方程可变形为：x2-2x-5=0，
∴x1=1+，x2=1-（舍去）；
②x≤-时，原方程变形为：x2+2x-3=0，即（x+3）（x-1）=0，
∴x1=-3，x2=1（舍去），
因此本题的解为x=1+或x=-3，
故答案为：x=1+或x=-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法与因式分解法．
26．3＜m≤4
【分析】根据原方程可知x-2=0，和x2-4x+m=0，因为关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，所以x2-4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围
【详解】解：∵关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x1=2；
②x2-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x2=2+
x3=2-
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x2，
∴x1+x3＞x2；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4
27．（1）（2）（3）原方程无解．（4）
【分析】各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：(1)∵，
∴，
∴，
∴；
(2)原方程可化为，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)∵，
∴，
∴原方程无解；
(4)∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为（1）；（2）；（3）原方程无解；（4）．
【点睛】本题考查解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解题的关键．
28．（1）详见解析
（2）或
【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
29．（1）x1=5，x2=-1；（2）.
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出的值，再代入公式求出即可.
【详解】（1）x2-4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
x-5=0，x+1=0，
x1=5，x2=-1；
（2）2x2-2x-1=0，
a=2，b=-2，c=-1，
△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，
方程有两个不相等实数根，
.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
30．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
31．（1）x＝﹣5或x＝1；（2）x＝3或x＝1．
【分析】（1）根据因式分解法即可求解；
（2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答．
【详解】解：（1）∵x2+4x-5＝0，
∴（x+5）（x-1）＝0，
则x+5＝0或x-1＝0，
解得x＝-5或x＝1；
（2）∵（x-3）2+2（x-3）＝0，
∴（x-3）（x-1）＝0，
则x-3＝0或x-1＝0，
解得x＝3或x＝1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零．
32．（1）证明见解析；（2）m=1
【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
【详解】解：（1）证明：．
∵不论m为何值，，即．
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）解关于x的一元二次方程，得
，
∴，．
∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴或．
又∵方程的两个根不相等，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况是解答的关键．
33．(1)x1＝－1，x2＝－；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据材料中给的方法即可直接写出方程的解；
（2）根据材料中给的方法可得方程的两根为x1＝x2＝1，由此可得，整理后即可证得结论.
【详解】(1)x1＝－1，x2＝－，证明如下：
设方程的两根为x1，x2，由a-b＋c＝0，知b＝a＋c，
∵x＝＝，
∴x1＝-1，x2＝；
(2)∵(ac－bc)＋(bc－ab)＋(ab－ac)＝0，且方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，
∴x1＝x2＝1，
∴，
即ab＋bc＝2ac，
两边都除以abc，得
.
【点睛】本题考查的是材料阅读题，读懂材料中的内容与方法，能灵活地运用到解题中是关键.