人教版九年级上册22.1.1 二次函数精品巩固练习

这是一份人教版九年级上册22.1.1 二次函数精品巩固练习，共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第12课 待定系数法求二次函数的解析式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（    ）
A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2
2．已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（    ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
3．二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（    ）
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
-2
…
A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．当时， D．的最大值为
4．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是（    ）
x


0
1
2
y

0
1.5
2
1.5
A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，
C．顶点坐标为(1，2) D．是方程的一个根
5．若二次函数的图象经过原点，则的值为（   ）
A． B． C． D．或
6．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（    ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（  ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
9．过原点的抛物线的解析式是（ 　 ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
10．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是

A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
11．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（    ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
12．某二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（    ）
A．y＝（x﹣2）2＋1 B．y＝（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x＋2）2＋1 D．y＝﹣（x＋2）2＋1
13．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是（　　）

A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2
14．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0
C．若h＝4，则a>0 D．若h＝5，则a＞0
15．抛物线的图象如下，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（    ）

A． B． C． D．
16．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
17．如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ）

A． B． C． D．
18．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（    ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则
C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则
19．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（   ）

A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1
20．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；②　2a+b=0；③　a(x+1)(x-3)=0；④　2c-3b=0．其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
21．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
22．抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（    ）
A． B．或
C． D．或

二、填空题
23．已知点在函数的图象上，则a等于 ．
24．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 ．
25．如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝ ，b＝ ，c＝ ．
26．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是 ．
27．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为 ．
28．定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二次函数．
（1）若﹣2是此函数的不动值，则m的值为 ；
（2）若此函数有两个不动值a、b，且，则m的取值范围是 ．
29．若二次函数的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，则a的值是 ，若点P是该抛物线对称轴上的一动点，且△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 ．
30．已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为 ．

三、解答题
31．综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；
32．如图，已知抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)两点，C是抛物线与y轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S,求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．
33．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
34．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
35．如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，求线段的长；
(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
36．下表给出了代数式与x的一些对应值：
x
…
0
1
2
3
4
…

…
3
m
－1
0
n
…
(1)利用表中所给数值求出a，b，c的值；
(2)直接写出：m＝___，n＝___；
(3)设，则当x取何值时，．
37．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．

(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；
(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．
38．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.

(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

参考答案：
1．A
【分析】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得：
，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2．B
【分析】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx+1得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到a和b的值．
【详解】解：根据题意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据已知条件列出二元一次方程组是解题的关键．
3．C
【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断．
【详解】解：将点，，代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意；
∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
∵当时，；当时，，
又∵抛物线的对称轴为，
当时，，
又∵，
∴当时，，
∴C选项符合题意；
∵抛物线的解析式为，
∴当时，抛物线取得最大值，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式．
4．B
【分析】利用待定系数法求出二次函的解析式，得出顶点坐标，可判断选项C；由函数的增减性质可判断选项A；代入x=4，可求得y的值，可判断选项B；由x=-1时，y=0，可判断选项D；即可得出结论．
【详解】解：由题意得：，解得，
∴二次函数y=ax2+bx+c的解析式为y=-x2+x+=-（x-1）2+2，
∴顶点坐标为(1，2)，选项C不符合题意；
∵-开口向下，∴x＜1时，y随x的增大而增大，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
当x=4时，y=-2.5，选项B符合题意；
∵x=-1时，y=0，∴x=-1是方程的一个根，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
5．B
【分析】将点代入函数解析式求解即可得．
【详解】解：把代入
可得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
6．B
【分析】根据顶点A的坐标设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，把B点的坐标代入，求出a即可．
【详解】解：∵抛物线顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），
∴设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，
把B点的坐标代入得：0=a（1-2）2+1，
解得：a=-1，
即抛物线的函数关系式是y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3．
故选：B．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式，能熟记二次函数的三种形式的特点是解此题的关键．
7．B
【分析】先根据二次函数的增减性判断出的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而减小，，
∴，
A．当时，，解得：，此选项不符合题意；
B．当时，，解得：，此选项符合题意；
C．当时，，解得：，此选项不符合题意；
D．当时，，解得，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
8．D
【分析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选D
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．
9．D
【分析】经过原点（0，0）的抛物线，当时，y=0代入计算即可判断．
【详解】A、当时，，不符合题意；
B、当时，，不符合题意；
C、当时，，不符合题意；
D、当时，，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式以及二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上点的坐标的求法是解题的关键．
10．B
【分析】结合图象和解析式，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大.
∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
11．B
【分析】把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
【详解】解：把(3，0)与(2，−3)代入抛物线解析式得：
，
由直线x=1为对称轴，得到=1，即b=−2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b=−2，c=−3，
则抛物线解析式为y=x2−2x−3，
故选：B．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴公式．
12．C
【分析】设二次函数的解析式为，根据顶点坐标为（﹣2，1）以及与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，可确定函数的解析式．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，
∴二次函数的解析式为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，读懂题意，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．
13．A
【分析】根据函数图象可得其开口方向向上，所以，把点（0，0）代入函数解析式求解即可确定a的值．
【详解】解：根据图象可得：
抛物线的开口方向向上， ，
把点（0，0）代入，
得，
解得或（舍去），
∴．
故选：A．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及使用待定系数法确定系数的值、解一元二次方程，结合图象确定二次函数基本性质是解题关键．
14．B
【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝5，
整理得：a（7﹣2h）＝1，
A、若h＝2，则，选项说法错误，不符合题意；
B、若h＝3，则a＝1>0，选项说法正确，符合题意；
C、若h＝4，则，选项说法错误，不符合题意；
D、若h＝5，则，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15．D
【分析】在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般的，当已知抛物线上三点时，选用一般式，用待定系数法列三元一次方程组进行求解，已知抛物线顶点或对称轴时，设成顶点式，已知与x轴交点时，可设交点式，通过图象社解析式求解即可；
【详解】由题图可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为，由交点式设抛物线的解析式为，对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到的形式，而D选项中．故选D．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的知识点，准确分析是解题的关键．
16．B
【分析】根据图像中的数据利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的性质可得．
【详解】解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p＝at2+bt+c，
得：，
解得：，
即p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，
当t＝﹣＝3.75时，p取得最大值，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键．
17．B
【分析】根据抛物线经过点，以及抛物线的对称轴，联立方程，即可得到．
【详解】∵抛物线经过点，且顶点在直线
∴a-b+c=0①
- =1②
解得：b=-2a，c=-3a，
∴
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图像以及性质，对称轴，二次函数与各项系数的关系，熟悉并掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
18．B
【分析】从图象得到、、 ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可．
【详解】解：A、根据抛物线与x轴交于点、，可得出对称轴，该选项不符合题意；
B、根据抛物线的对称轴为，开口向下可知：
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，
所以当，无法判断与的大小，该选项符合题意；
C、根据抛物线与x轴交于点、，
可设交点式，再根据抛物线与y轴交于点，
代值求解得，
即抛物线表达式为，
当时，的最大值为1，该选项不符合题意；
D、若轴交抛物线于点D，则、关于对称轴对称，从而得到，则，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
19．A
【分析】根据图形，求出过(1,2)、(2,1)两点的抛物线解析式可确定a的取值范围
【详解】解：把(1,2)代入y=ax2得a=2，
把点(2,1)代入y=ax2得，
则a的范围介于这两点之间，故，
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象及性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
20．B
【分析】先根据二次函数的对称性补全函数图像，由函数的开口方向，对称轴以及与y轴的交点确定a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴的位置判断②；根据函数的解析式判断③；根据二次函数图象与x轴的交点判断④．
【详解】解：如图，由抛物线过，对称轴为 根据对称性得到抛物线的图像经过

①图象开口向下， ∴a＜0，
与y轴交于正半轴， ∴c＞0，
对称轴在y轴右侧， ∴b＞0，
则abc＜0，故①错误；
②对称轴 解得，2a+b=0，故②正确；
③由抛物线与轴的交点坐标为：，
所以函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），
所以y的值是不断变化的，故③错误；
④∵抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，
两式相加得，10a+2b+2c=0，
又b=-2a，
，
∴2c-3b=0，故④正确．
故选：．
【点睛】本题考查的是图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及掌握二次函数的交点式是解题的关键．
21．B
【分析】将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k＝−h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与线段AB、BO均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【详解】解：∵将与联立得：，
解得：．
∴点B的坐标为（−2，1），
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，
∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，
如图1所示：当抛物线经过点C时，

将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；
如图2所示：当抛物线经过点B时，

将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．
综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与线段AB、BO均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题解题的关键．
22．D
【分析】抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A、B两点坐标设出抛物线解析式为，代入C点坐标即可求解．
【详解】设抛物线的解析式为
∵
∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2）
①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得
解得
∴抛物线解析式为，即
②当抛物线和y轴交点的为（0，-2）时，
解得
∴抛物线解析式为，即
故选D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用两点式（又叫双根式）较为合适．
23．1
【分析】将点A（2，3）代入函数即可求出a的值．
【详解】解：将点A（2，3）代入函数中，得4a-2+1=3，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，正确理解函数图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．
24．
【分析】设出二次函数的顶点式解析式，把（0，3）代入计算即可；
【详解】解：设二次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25． -2 -12 0
【分析】先根据抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同求出a的值，再由对称轴为直线x=-3求出b的值，根据抛物线过原点可求出c的值即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同，
∴a=-2，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-3，
∴-=-3，即-=-3，解得b=-12；
∵抛物线过原点，
∴c=0．
故答案为：-2，-12；0．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知抛物线的对称轴为直线x=-是解答此题的关键．
26．
【分析】根据二次函数的性质求解即可．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
【详解】解： ∵二次函数图象开口向下，
∴二次项系数，
∵与y轴交于点（0，3），
∴常数项，
∴这个二次函数的解析式可以是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质和系数的关系．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
27．
【分析】将（1，2）代入y=x2+2x+c，解得c=-1，设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，然后将（1，2）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【详解】解：将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，
解得c=-1．
设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，
将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2．
整理，得2-m=±2．
解得m1=0（舍去），m2=4．
故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“关联点”的含义．
28．
【分析】（1）由函数的不动点概念得出，解得即可；
（2）由函数的不动点概念得出a、b是方程的两个实数根，由知Δ＞0，列出关于的不等式，解之可得．
【详解】解：（1）由定义得，，
故答案为：；
（2）∵函数有两个不动值a、b，且，
∴a、b是方程的两根，即是方程两根，
∴，，
由得，
，
整理得，，
即，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的新定义，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，掌握二次函数与方程的关系，并据此得出关于m的不等式．
29． 2 （2，）或（2，）
【分析】先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABP=90°时；当∠BAP=90°时，利用两点距离公式和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵二次函数经过点A（3，0），
∴，
∴
对，当x=0时，y=-9，
∴点B坐标为（0，-9），
抛物线的对称轴是直线：，
设点P的坐标为（2，m），
∴，，，
当∠ABP=90°时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（2，）；
当∠BAP=90°时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（2，）；
综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，）；
故答案为：2；（2，）或（2，）；
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴，待定系数法求函数解析式、两点距离公式和勾股定理等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
30．
【分析】将点代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．
【详解】解：将代入中得到：，
解得，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，
当时，对应的最大为：，
当时，对应的最小为：，
故n的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．
31．(1)
(2)最小值为-2，最大值为
(3)

【分析】（1）利用待定系数法求解．
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3），由，根据的长度随的增大而减小，得到，求解即可．
【详解】（1）解：将，点代入得：
，解得，
∴．
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∴当时，取最小值为-2，
∵，
∴当时，取最大值．
（3）解：，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
∴满足题意，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握用待系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．
32．(1)
(2)(0＜m＜3)，当m=时，△PBC的面积取得最大值，最大值为

【分析】(1)应用待定系数法将A(-1，0)，B(3，0)代入中，可得，解方程组即可得出答案；
(2)过点P作PFy轴，交BC于点F，如图，当x=0时代入二次函数解析式=6，即可算出点C的坐标．设直线BC的解析式为y=kx+c，把B(3,0)，C(0,6)代入y=kx+c中，求出k，b的值即可算出直线BC的解析式，根据点P在抛物线上可设的坐标为(m，)，则点F在直线BC上可设坐标为(m，-2m+6)，即可算出PF=-(-2m+6)，再由==，当m=时，△PBC的面积取得最大值点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，即可算出m的取值范围．
【详解】（1）解：将A(-1,0)，B(3,0)代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作PFy轴，交BC于点F，如图所示，

由(1)知：当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为(0，6)；
设直线BC的解析式为y=kx+c，
把B(3，0)，C(0，6)代入y=kx+c中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-2x+6．
设点P的坐标为(m,)，
则点F的坐标为(m,-2m+6)，
∴PF=-(-2m+6)=，
∵
∴S=
=
=，
∵点P(m，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
故(0＜m＜3)，
∵-3<0，
∴当m=时，△PBC的面积取得最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
33．（1）；（2）直线
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用对称轴公式求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；    
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．
34．（1）；（2）或．
【分析】（1）将，代入，用待定系数法求解即可；
（2）将点代入抛物线表达式即可求出的值．
【详解】解：（1）把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得：，
解得：，．
的值为或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数图像上点的坐标，掌握待定系数法求解是解题的关键．
35．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为：或或或

【分析】（1）抛物线经过点，，根据待定系数法即可求解；
（2）先把抛物线解析式配方成顶点式得对称轴为直线和点，再由对称性求得，即可求得的长；
（3）设点，由，解得：，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是．
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为：，顶点，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）存在，理由如下：
设，则点的纵坐标为，
∵，，
∴，
∵的面积等于6，
∴，
∴，
①当时，解得，；
②当时，解得，．
∴存在点使的面积等于6．点的坐标为：或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，解—元二次方程，其中第（3）问要注意分类求解，避免遗漏．
36．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用待定系数法，列出三元一次方程组，然后解方程组即可；
（2）将、分别代入即可得解；
（3）根据抛物线的开口方向和与x轴交点，即可判断出时，x取值范围．
【详解】（1）解：设，根据图表，将分别代入
得
解得
（2）解：由（1）可知，将代入得，则；
将代入得，则，
故，
（3）解：由（1）、（2）可知抛物线与轴交点分别为(1，0)，(3，0)，抛物线开口向上，所以当时，．
【点睛】本题考查待定系数法，抛物线的图形与性质，熟练掌握待定系数法，并灵活利用抛物线的图像性质是解题关键．
37．(1)
(2)

【分析】（1）由OB＝OC得出C的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
（2）先根据BE＝EC求出点E的坐标，再求出BE的长度，把P的坐标用含a的式子表示出来，根据EB＝EP即可得出答案．
【详解】（1）解：∵OB＝OC，
∴C（0，﹣3），
把A，B，C代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接BC，

∵EB＝EC，
∴E是BC的中点，
∴E的坐标为（，），
∴P的横坐标为，
把A，B代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
把x＝代入，得y＝，
∴P（，），
∴EP＝＝，
解得a＝，
∴a的值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，牢记勾股定理的公式．
38．(1)
(2)（3，1）
(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)

【分析】（1）把点（2，-1）代入计算即可；
（2）过点C作CD垂直轴于点D，利用全等即可求出C点坐标；
（3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，分类讨论.
【详解】（1）把点（2，-1）代入得=
∴该抛物线的解析式为
（2）过点C作CD垂直轴于点D

∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°
∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3  
∴△BOA≌△ADC
∴OA=DC，BO=AD
∵A(1,0),B(0,2),
∴OA=DC=1，BO=AD=2
∴点C的坐标为（3,1）
（3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，交于P1 、P2 、P3
①当AP//BC,且AP = BC时，如图:

将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，
经检验:点P1在抛物线上，
故P1满足条件，
②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，
经检验，P2不在抛物线上；
③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，
经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.
综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1).
【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．