【期中单元知识点归纳】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1 第二章+常用逻辑用语（知识归纳+题型突破）试卷

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第二章 常用逻辑用语（知识归纳+题型突破）

1．能结合实例，判断所给语句是不是命题．能找出命题的条件与结论，并判断命题的真假．
2．理解充分条件与必要条件的意义．
3．理解充要条件的意义．
4．理解性质定理、判定定理与充要条件的关系．
5．理解全称量词与存在量词的意义．
6．会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假．
7．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．
8．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．

1．命题
(1)将可判断真假的陈述句叫作命题．数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
(2)命题的理解：要判断一个语句是不是命题，先看给出的语句是不是陈述句，再看能否判断其真假，也就是判断其是否成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
2．定理、定义
(1)有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
(2)定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
3．充分条件、必要条件
如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件．
如果qp，那么p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
4．充要条件
(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p．
(2)如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s．
如果p⇔q，q⇔s，则p⇔s．
5．全称量词和全称量词命题
(1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．
(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：∀x∈M，p(x)．
6．存在量词和存在量词命题
(1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．
(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，它的一般形式可表示为：∃x∈M，p(x)．
7．命题的否定
p(x)是对语句p(x)的否定，对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．
8．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是存在量词命题“∃x∈M，p(x)”．
(2)存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题“∀x∈M，p(x)”．

题型一　命题与真假命题的判断
【例1】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数； (4)5x>4x；
(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(6)未来是多么美好啊！
(7)你是高二的学生吗？ (8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数．
【解析】(1)是命题，而且是真命题．
(2)是命题，且是假命题．如图所示，四边形ABCD中，当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于BD，但四边形ABCD不是菱形．
(3)是命题，且是假命题．因为2是质数，但不是奇数．
(4)不是命题．因为x是未知数，不能判断真假．
(5)是命题，而且是真命题．因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立．
(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题．
(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(8)是命题，且是假命题．如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数．
思维升华
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．

巩固训练：
1．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．
(1)x≥16． (2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．
(3)空集是任何非空集合的真子集． (4)指数函数是增函数吗？
【解析】(1)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假．
(2)是真命题．代入验证即可．
(3)是真命题．由空集的定义和性质不难得出．
(4)不是命题．因为是疑问句无法判断真假．
2．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形； ④若ac2>bc2，则a>b．
其中是真命题的序号是________．
【答案】①④
【解析】①④是真命题；②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；③平行四边形不是梯形．

题型二　命题的条件与结论
【例2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)在△ABC中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直．
(3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形．
【解析】(1)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC．
(2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直．
(3)若∠A＝∠B，则sin A＝sin B．
(4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等．
思维升华　
命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．
巩固训练
1．指出下列命题中的条件p和结论q．
(1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数．
(2)如果x∈A，则x∈A∩B．
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0．
【解析】(1)p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数．
(2)p：x∈A，q：x∈A∩B．
(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0．
2．(多选题)下列说法不正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题
D．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
【答案】AB
【解析】命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C，D正确．

题型三　命题真假的判断
【例3】判断下列命题的真假：
(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根． (2)若A⊆B，则A∩B＝A．
(3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等． (4)若x＋y>5，则x>2且y>3．
【解析】(1)当k>0时，Δ＝4＋4k>0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题．
(2)当A⊆B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题．
(3)若两个三角形相似，则三个内角对应相等，边长对应成比例，不一定相等，故两个三角形不一定全等，是假命题．
(4)若x＋y>5，可以x＝1，y＝6，不满足x>2且y>3，是假命题．
思维升华　
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
巩固训练
1．判断下列命题的真假：
(1)若mny，则x2>y2．
(3)若x>2，则x>1．
【解析】(1)当mn0恒成立，∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题．
(2)当x＝1，y＝－2时满足x>y，但x2x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
【解析】(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2．
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m∠C，q：AC>AB．
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠15，q：x≠5或y≠10．
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0．
【解析】(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．
(2)对于实数x，y，因为x＝5且y＝10⇒x＋y＝15，所以由x＋y≠15⇒x≠5或y≠10，
故p是q的充分条件．
(3)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件．
故(1)(2)(3)题中p是q的充分条件．
思维升华　
要判断p是不是q的充分条件，就是看p能否推出q，即判断“若p，则q”这一命题是否为真命题．
巩固训练
1．下列各题中，p是q的充分条件的是________(填序号)．
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
(3)p：mb，q：>
【答案】A
【解析】根据充分条件的概念逐一判断．

题型五　必要条件的判断
【例5】判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：ac＝bc，q：a＝b．
(2)p：x＝y，q：x2＝y2．
(3)p：a＋5是无理数，q：a是无理数．
【解析】(1)因为a＝b⇒ac＝bc，所以p是q的必要条件．
(2)由x2＝y2 x＝y，所以p不是q的必要条件．
(3)由a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的必要条件．
思维升华　利用描述法表示集合应关注三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x|xbc．
【解析】(1)∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p．∴p是q的必要条件．
(2)四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，即qp．∴p不是q的必要条件．
(3)∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p，∴p是q的必要条件．
(4)∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp，∴p不是q的必要条件．
2．“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”)．
【答案】必要

题型六　充分条件、必要条件的应用
【例6】已知p：实数x满足3a