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【期中单元知识点归纳】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1 第三章+不等式（知识归纳+题型突破）试卷
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第三章 不等式（知识归纳+题型突破）
1．掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)．
2．能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题．
3．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值．
4．能够利用基本不等式解决实际问题．
5．了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系．
6．会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况．
7．理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系．
8．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
9．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
10．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．
1．等式的性质
性质1 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质2 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质3 如果a＝b，那么ac＝bc；＝(c≠0)．
2．不等式的性质
性质1 如果a>b，那么bb，即a>b⇔b
性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c．
性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．基本不等式
(1)如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时等号成立)．
我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式．
(2)当a，b∈R时，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立)，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立)．
4．基本不等式与最大(小)值
对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值．(2)取等号的条件．
5．利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．注意“1”的代换．
6．二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．
7．二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(当a>0时 )
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的根
有两个相异实根x1，2＝
两相等实数x1＝x2＝－
没有实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
有两个零点x1，2＝
有一个零点x1＝x2＝－
无零点
8．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式．
一元二次不等式与二次函数有什么关系？
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．
9．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
∅
10．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
11．简单的分式不等式的解法
3．不等式恒成立问题
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
题型一 用不等式的性质判断真假
【例1】给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a
【答案】①③
【解析】对于①，若ab>0，则>0，又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，若a0，所以<，③正确．
综上，真命题的序号是①③．
思维升华
不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值法求解．
巩固训练：
1．下列命题中真命题的序号是________．
①a>b⇒a|x|>b|x|；②a>|b|⇒a2>b2；
③a≥b，b>2⇒a≥2；④a>b，c>d⇒ac>bd；
⑤a>b⇒a3>b3．
【答案】②③⑤
【解析】①当x＝0时结论不成立．②∵a>|b|≥0，∴a2>b2．③a≥b，b>2⇒a>2，∴a≥2．④取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，得ac＝bd，∴结论不成立．⑤显然成立．
2．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②ab3，则不等式不正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．
题型二 证明不等式
若a>b>0，c．
【解析】证明 法一 －＝＝
＝．
∵a>b>0，c0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0，
∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0．
∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0．
又(a－c)2(b－d)2>0，∴－>0，即>．
法二 ＝．∵c－d>0．
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0，∴0<<1，∴0<<1．
又<0，∴>．
法三 ⇒a－c>b－d>0⇒⇒
>．
思维升华
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
巩固训练
1．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac0，ab>0，
∴<0，故<．
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】已知1
∴a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为．
思维升华
求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除．
巩固训练
1．已知－<β<α<，求2α－β的取值范围．
【解析】∵－<α<，－<β<，∴－<－β<．∴－π<α－β<π．
又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，
又2α－β＝α＋(α－β)，∴－<2α－β<π．∴2α－β的取值范围为．
题型四 利用基本不等式比较大小
【例4】设0
【解析】法一 ∵0
在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向．
巩固训练
1．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是( )
A．x>y B．y>x
C．x>y D．y>x
【答案】B
【解析】∵a，b是不相等的正数，∴y2＝()2＝a＋b＝>＝＝x2．
∵x>0，y>0，∴y>x．
2．比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．
【答案】≥
【解析】＝＋≥2，当且仅当＝．即x＝0时，等号成立．
题型五 利用基本不等式证明不等式
【例5】已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c．
【解析】证明 ∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
思维升华
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系．当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．
巩固训练
1．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8．
【解析】证明 ＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8．
2．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9．
【解析】证明 法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，
∴＝＝5＋2≥5＋4＝9．
∴≥9．
法二 ＝1＋＋＋．
由(1)知，＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
题型六 求简单代数式的最值
【例6】已知x>0，求x＋的最小值；
【解析】∵x>0，∴由基本不等式可得x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，∴所求的最小值为6．
巩固训练
1．已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值．
【解析】∵m，n>0，且m＋n＝16，∴由基本不等式可得mn≤＝＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64．
∴mn的最大值为32．
题型七 利用配凑法求最值
【例7】(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0
≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时ymax＝1．
(2)∵00，∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，上式等号成立，故当x＝时，ymax＝．
思维升华
在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
巩固训练
1．当x>0时，求＋4x的最小值．
【解析】∵x>0，∴>0，4x>0．
∴＋4x≥2＝8．当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8．
2．当x<0时，求＋4x的最大值；
【解析】∵x<0，∴－x>0．则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8．∴当x<0时，＋4x的最大值为－8．
3．已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
【解析】4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36．
题型八 积定求和或和定求积的最值
【例8】若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B． C． D．
【答案】D
【解析】 a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝a·2b≤×＝，
当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立．故选D．
巩固训练
1．若0
【解析】∵00，∴y＝2x·(1－3x)＝×3x·(1－3x)≤×＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
题型九 “1”的代换求最值
【例9】已知x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值为________．
【答案】 16
【解析】 法一(1的代换)
因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋．
因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x ①时，取“＝”．
又＋＝1，②
解①②可得x＝4，y＝12．所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16．
法二 (消元法)由＋＝1，得x＝．
因为x>0，y>0，所以y>9．
所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10．
因为y>9，所以y－9>0，所以(y－9)＋≥2＝6，
当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16．
思维升华
判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假．
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可．
巩固训练
1．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
【解析】 ∵x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)＝1＋4＋＋．
∵x>0，y>0，∴>0，>0，∴＋≥2＝4，
∴5＋＋≥9，当且仅当即x＝，y＝时等号成立．∴＋的最小值是9．
题型十 恒成立问题求最值
【例10】已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9．
思维升华
利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值．
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值．
巩固训练
1．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】根据题意，x＋4y－xy＝0⇒x＋4y＝xy⇒＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2×＝5＋4＝9，
当且仅当x＝2y＝6时等号成立，则x＋y的最小值为9．
2．已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A．4 B．2 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2．当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B．
题型十一 二次函数零点的判断
【例11】判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点．
(1)y＝－x2＋2x＋3．
(2)y＝x2－x－6．
(3)y＝2x2＋3x＋2．
【解析】(1)由y＝－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3．
∴二次函数y＝－x2＋2x＋3有两个零点－1和3．
(2)由y＝x2－x－6＝0得x1＝－2，x2＝3．
∴二次函数y＝x2－x－6有两个零点－2和3．
(3)由2x2＋3x＋2＝0得Δ＝9－4×2×2＝－7<0．
∴方程没有实数根，∴二次函数y＝2x2＋3x＋2没有零点．
思维升华
二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点．也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点．
巩固训练
1．判断下列函数零点的个数．
(1)y＝x2－7x＋12．
(2)y＝x2＋1．
(3)y＝3x2＋6x＋3．
【解析】(1)由y＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根，∴函数有两个零点．
(2)由x2＋1＝0得Δ＝－4<0，即方程无实根，∴函数有0个零点．
(3)由y＝0，即3x2＋6x＋3＝0，∵Δ＝36－4×3×3＝0，
∴方程3x2＋6x＋3＝0有一个实数根，∴函数有一个零点．
题型十二 函数零点与参数的值
【例12】若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点．
【解析】由题意知y|x＝－3＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴y＝x2＋x－6．解方程x2＋x－6＝0，
得x＝－3或2．∴函数其余的零点是2．
思维升华
由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解．
巩固训练
1．已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为________．
【答案】1或2
【解析】函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，
即方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根，或函数y1＝x2－ax＋b的图象与x轴有两个不同的交点，
因而Δ1＝a2－4b>0．
对于函数y2＝－bx2＋ax－1，当b＝0，a≠0时，y2＝－bx2＋ax－1只有1个零点；
当b≠0时，由于Δ2＝a2－4b>0，
因而y2＝－bx2＋ax－1有2个零点．
综上，函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为1或2．
2．若函数y1＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1， B．1，－
C．， D．－，－
【答案】B
【解析】由2和3是函数的零点，故2＋3＝a，2×3＝b，∴a＝5，b＝6，则y2＝6x2－5x－1的零点为1，－．
题型十三 一元二次方程根的分布
【例13】已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m的取值范围．
【解析】设y＝x2＋mx＋1，
由题意知∴∴－
思维升华
解决一元二次方程根的分布问题应注意
(1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图．
(2)结合二次函数草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点处的函数值与零的关系．
(3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合．
(4)若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列不等式求解．
巩固训练
1．若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C．∪(5，＋∞) D．
【答案】(－∞，2)
【解析】由题意知方程x2＋(1－m)x＋m－2＝0有两个异号的实数根．∴Δ＝(1－m)2－4(m－2)>0，x1·x2＝m－2<0，即m<2．
2．若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C．∪(5，＋∞) D．
【答案】B
【解析】设y＝4x2＋(m－2)x＋m－5，依题意得出函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(0，2)内．画出函数的大致图象如图所示．
由图象得即解得－
【例14】解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
【解析】(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0．
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2．
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0．
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为．
思维升华
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
(2)计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
巩固训练
1．解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；(4)－x2＋3x－5>0．
【解析】(1)因为方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－，又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为．
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅．
题型十五 一元二次方程根的分布
【例15】解不等式：
(1)<0；(2)≥0；(3)>1．
【解析】(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，∴－1
(2)原不等式可化为≤0，∴
∴即－
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
思维升华
分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．
一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)>0⇔f(x)g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0．
巩固训练
1．解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1．
【解析】(1)原不等式可化为
解得
∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为
>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3
第三章 不等式（知识归纳+题型突破）
1．掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)．
2．能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题．
3．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值．
4．能够利用基本不等式解决实际问题．
5．了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系．
6．会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况．
7．理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系．
8．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
9．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
10．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．
1．等式的性质
性质1 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质2 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质3 如果a＝b，那么ac＝bc；＝(c≠0)．
2．不等式的性质
性质1 如果a>b，那么b
性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c．
性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．基本不等式
(1)如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时等号成立)．
我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式．
(2)当a，b∈R时，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立)，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立)．
4．基本不等式与最大(小)值
对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值．(2)取等号的条件．
5．利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．注意“1”的代换．
6．二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．
7．二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(当a>0时 )
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的根
有两个相异实根x1，2＝
两相等实数x1＝x2＝－
没有实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
有两个零点x1，2＝
有一个零点x1＝x2＝－
无零点
8．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式．
一元二次不等式与二次函数有什么关系？
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．
9．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
∅
10．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
11．简单的分式不等式的解法
3．不等式恒成立问题
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
题型一 用不等式的性质判断真假
【例1】给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a
【答案】①③
【解析】对于①，若ab>0，则>0，又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，若a
综上，真命题的序号是①③．
思维升华
不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值法求解．
巩固训练：
1．下列命题中真命题的序号是________．
①a>b⇒a|x|>b|x|；②a>|b|⇒a2>b2；
③a≥b，b>2⇒a≥2；④a>b，c>d⇒ac>bd；
⑤a>b⇒a3>b3．
【答案】②③⑤
【解析】①当x＝0时结论不成立．②∵a>|b|≥0，∴a2>b2．③a≥b，b>2⇒a>2，∴a≥2．④取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，得ac＝bd，∴结论不成立．⑤显然成立．
2．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由<<0可得b
题型二 证明不等式
若a>b>0，c
【解析】证明 法一 －＝＝
＝．
∵a>b>0，c
∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0．
∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0．
又(a－c)2(b－d)2>0，∴－>0，即>．
法二 ＝．∵c
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0，∴0<<1，∴0<<1．
又<0，∴>．
法三 ⇒a－c>b－d>0⇒⇒
>．
思维升华
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
巩固训练
1．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac
∴<0，故<．
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】已知1
∴a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为．
思维升华
求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除．
巩固训练
1．已知－<β<α<，求2α－β的取值范围．
【解析】∵－<α<，－<β<，∴－<－β<．∴－π<α－β<π．
又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，
又2α－β＝α＋(α－β)，∴－<2α－β<π．∴2α－β的取值范围为．
题型四 利用基本不等式比较大小
【例4】设0
【解析】法一 ∵0
在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向．
巩固训练
1．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是( )
A．x>y B．y>x
C．x>y D．y>x
【答案】B
【解析】∵a，b是不相等的正数，∴y2＝()2＝a＋b＝>＝＝x2．
∵x>0，y>0，∴y>x．
2．比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．
【答案】≥
【解析】＝＋≥2，当且仅当＝．即x＝0时，等号成立．
题型五 利用基本不等式证明不等式
【例5】已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c．
【解析】证明 ∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
思维升华
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系．当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．
巩固训练
1．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8．
【解析】证明 ＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8．
2．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9．
【解析】证明 法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，
∴＝＝5＋2≥5＋4＝9．
∴≥9．
法二 ＝1＋＋＋．
由(1)知，＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
题型六 求简单代数式的最值
【例6】已知x>0，求x＋的最小值；
【解析】∵x>0，∴由基本不等式可得x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，∴所求的最小值为6．
巩固训练
1．已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值．
【解析】∵m，n>0，且m＋n＝16，∴由基本不等式可得mn≤＝＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64．
∴mn的最大值为32．
题型七 利用配凑法求最值
【例7】(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0
≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时ymax＝1．
(2)∵0
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，上式等号成立，故当x＝时，ymax＝．
思维升华
在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
巩固训练
1．当x>0时，求＋4x的最小值．
【解析】∵x>0，∴>0，4x>0．
∴＋4x≥2＝8．当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8．
2．当x<0时，求＋4x的最大值；
【解析】∵x<0，∴－x>0．则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8．∴当x<0时，＋4x的最大值为－8．
3．已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
【解析】4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36．
题型八 积定求和或和定求积的最值
【例8】若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A．25 B． C． D．
【答案】D
【解析】 a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝a·2b≤×＝，
当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立．故选D．
巩固训练
1．若0
【解析】∵0
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
题型九 “1”的代换求最值
【例9】已知x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值为________．
【答案】 16
【解析】 法一(1的代换)
因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋．
因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x ①时，取“＝”．
又＋＝1，②
解①②可得x＝4，y＝12．所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16．
法二 (消元法)由＋＝1，得x＝．
因为x>0，y>0，所以y>9．
所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10．
因为y>9，所以y－9>0，所以(y－9)＋≥2＝6，
当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16．
思维升华
判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假．
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可．
巩固训练
1．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．
【解析】 ∵x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)＝1＋4＋＋．
∵x>0，y>0，∴>0，>0，∴＋≥2＝4，
∴5＋＋≥9，当且仅当即x＝，y＝时等号成立．∴＋的最小值是9．
题型十 恒成立问题求最值
【例10】已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9．
思维升华
利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值．
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值．
巩固训练
1．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】根据题意，x＋4y－xy＝0⇒x＋4y＝xy⇒＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2×＝5＋4＝9，
当且仅当x＝2y＝6时等号成立，则x＋y的最小值为9．
2．已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A．4 B．2 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2．当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B．
题型十一 二次函数零点的判断
【例11】判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点．
(1)y＝－x2＋2x＋3．
(2)y＝x2－x－6．
(3)y＝2x2＋3x＋2．
【解析】(1)由y＝－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3．
∴二次函数y＝－x2＋2x＋3有两个零点－1和3．
(2)由y＝x2－x－6＝0得x1＝－2，x2＝3．
∴二次函数y＝x2－x－6有两个零点－2和3．
(3)由2x2＋3x＋2＝0得Δ＝9－4×2×2＝－7<0．
∴方程没有实数根，∴二次函数y＝2x2＋3x＋2没有零点．
思维升华
二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点．也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点．
巩固训练
1．判断下列函数零点的个数．
(1)y＝x2－7x＋12．
(2)y＝x2＋1．
(3)y＝3x2＋6x＋3．
【解析】(1)由y＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根，∴函数有两个零点．
(2)由x2＋1＝0得Δ＝－4<0，即方程无实根，∴函数有0个零点．
(3)由y＝0，即3x2＋6x＋3＝0，∵Δ＝36－4×3×3＝0，
∴方程3x2＋6x＋3＝0有一个实数根，∴函数有一个零点．
题型十二 函数零点与参数的值
【例12】若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点．
【解析】由题意知y|x＝－3＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴y＝x2＋x－6．解方程x2＋x－6＝0，
得x＝－3或2．∴函数其余的零点是2．
思维升华
由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解．
巩固训练
1．已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为________．
【答案】1或2
【解析】函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，
即方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根，或函数y1＝x2－ax＋b的图象与x轴有两个不同的交点，
因而Δ1＝a2－4b>0．
对于函数y2＝－bx2＋ax－1，当b＝0，a≠0时，y2＝－bx2＋ax－1只有1个零点；
当b≠0时，由于Δ2＝a2－4b>0，
因而y2＝－bx2＋ax－1有2个零点．
综上，函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为1或2．
2．若函数y1＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1， B．1，－
C．， D．－，－
【答案】B
【解析】由2和3是函数的零点，故2＋3＝a，2×3＝b，∴a＝5，b＝6，则y2＝6x2－5x－1的零点为1，－．
题型十三 一元二次方程根的分布
【例13】已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m的取值范围．
【解析】设y＝x2＋mx＋1，
由题意知∴∴－
思维升华
解决一元二次方程根的分布问题应注意
(1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图．
(2)结合二次函数草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点处的函数值与零的关系．
(3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合．
(4)若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列不等式求解．
巩固训练
1．若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C．∪(5，＋∞) D．
【答案】(－∞，2)
【解析】由题意知方程x2＋(1－m)x＋m－2＝0有两个异号的实数根．∴Δ＝(1－m)2－4(m－2)>0，x1·x2＝m－2<0，即m<2．
2．若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C．∪(5，＋∞) D．
【答案】B
【解析】设y＝4x2＋(m－2)x＋m－5，依题意得出函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(0，2)内．画出函数的大致图象如图所示．
由图象得即解得－
【例14】解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
【解析】(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0．
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2．
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0．
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为．
思维升华
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
(2)计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
巩固训练
1．解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；(4)－x2＋3x－5>0．
【解析】(1)因为方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－，又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为．
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅．
题型十五 一元二次方程根的分布
【例15】解不等式：
(1)<0；(2)≥0；(3)>1．
【解析】(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，∴－1
(2)原不等式可化为≤0，∴
∴即－
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
思维升华
分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．
一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)>0⇔f(x)g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0．
巩固训练
1．解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1．
【解析】(1)原不等式可化为
解得
∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为
>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3
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