2023-2024学年山东省聊城实验中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省聊城实验中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省聊城实验中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各组图形中，一定是相似图形的是(    )A. 两个等腰梯形 B. 两个矩形 C. 两个直角三角形 D. 两个等边三角形2.如图，∽，若，，，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 3.如图，给出下列条件：；；；，其中不能判定∽的条件为(    )A.
B.
C.
D. 4.如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 5.已知，则锐角的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 6.在中，若角，满足，则的大小是
(    )A.  B.  C.  D. 7.如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是(    )A.
B.
C.
D. 8.如图，在中，，，，则的面积是(    )
 A.  B.  C.  D. 9.如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为(    )A.
B.
C.
D. 10.如图大坝的横断面，斜坡的坡比：，背水坡的坡比：，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为(    )
A.  B.  C.  D. 11.如图，在中，，，，若内接正方形的边长是，则、、的数量关系为(    )A.
B.
C.
D. 12.在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形；；按这样的规律进行下去，正方形的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）13.如图，把一张矩形纸片平均分成个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为______．14.若∽，且，，则          ．
 15.一个多边形的边长分别为，，，，另一个与它相似的多边形的最长边长为，则该多边形的最短边长为______ ．16.如图，在▱中，在上，、交于，若：：，则： ______ ．
17.如图，由边长为的小正方形组成的虚线网格中，点、、、为格点即小正方形的顶点，、相交于点，则的长为______．
 18.已知为锐角，且，则等于______度．19.如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为______．
 20.如图，海上有一灯塔，位于小岛北偏东方向上，一艘轮船从小岛出发，由西向东航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔的正南方，此时轮船与灯塔的距离是______结果保留一位小数，约等于

 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.本小题分
如图，在网格图中小正方形的边长为，的三个顶点都在格点上．
把沿着轴向右平移个单位得到，请画出；
请以坐标系的原点点为位似中心在第一象限内画出的位似图形，使得与的位似比为：；
请直接写出三个顶点的坐标．

 22.本小题分

如图，是平行四边形的边上的一点，连结并延长交的延长线于点．
求证：∽；
若，，的面积为，求平行四边形的面积．
23.本小题分

已知，延长到，使取的中点，连接交于点．
求的值；
若，，求的长．
24.本小题分
如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为：参考数据：，，．
求小明从点走到点的过程中，他上升的高度；
大树的高度约为多少米？
 
25.本小题分
为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
求的度数；
已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
两个等边三角形一定是相似图形，故D正确；
又直角三角形、等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似图形，故A、、C错误．
故选：．
本题主要考查了相似多边形的概念．
如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．2.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．
直接利用相似三角形的性质，得出   ，进而得出答案．
【解答】解：因为 ∽，所以    ，即   ，解得．
所以的长是．3.【答案】 【解析】解：，，
∽，
故不符合条件；
，，
∽，
故不符合条件；
，
，
，
∽，
故不符合条件；
中不是已知的比例线段的夹角，故不能判定∽，
故选：．
根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．4.【答案】 【解析】解：四边形为矩形，点的坐标为，
，，
矩形与矩形是位似图形，
，，
∽，∽，
，，
，，
解得：，，
点的坐标为，
故选：．
根据位似图形的概念得到，，进而证明∽，∽，根据相似三角形的性质求出，得到答案．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．5.【答案】 【解析】解：，，余弦函数随角增大而减小，
．
故选：．
首先明确，，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．
熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；
还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
根据非负数的性质得出，，求出和的度数，继而可求得的度数．
【解答】
解：由题意得，，，
则，，
则．
故选D．7.【答案】 【解析】解：延长到，连接，如图：

，，，
，
，
，
故选：．
延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案．
本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．8.【答案】 【解析】解：作于点，

中，，，，
，得，，
，得，，
，
故选：．
根据锐角三角函数可以求得、和的长，从而可以求得的面积．
本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．9.【答案】 【解析】解：楼梯高度为，坡角为，
水平距离，
地毯的长度至少为米．
故选：．
由题可知地毯的长度构成直角三角形的两直角边的和，据此即可解答．
此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是明白地毯的长度构成直角三角形的两直角边的和．10.【答案】 【解析】解：过作于，过作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，
背水坡的坡比：，米，
米，
米，
又斜坡的坡比：，
米，
米，
故选：．
过作于，过作于，则四边形是矩形，得，由坡比得米，米，再由勾股定理解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：如图，设与交于点，

四边形是正方形，
，，
∽，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，正方形的边长是，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据正方形的性质得到，从而证明∽，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形是矩形表示出的长度，即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是证明∽后列出比例式．12.【答案】 【解析】解：正方形的点的坐标为，点的坐标为，
，，，，
延长交轴于点，作正方形，
∽，
，
，
，
第个正方形的面积为：，
同理可得，，
第二个正方形面积为：，

第个正方形面积为：，
第个正方形的面积为：，
故选：．
根据相似三角形的判定原理，得出∽，继而得知；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律，问题也就迎刃而解了．
本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识点，另外，在解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率．13.【答案】： 【解析】解：设原矩形的长为，宽为，
小矩形的长为，宽为，
小矩形与原矩形相似，
，
：：．
故答案为：：．
设原矩形的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与宽之比．
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质并灵活运用．相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等．14.【答案】 【解析】解：∽，
，又，，
．
故答案为：．
根据∽，得到，代入已知数据计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键．15.【答案】 【解析】解：该多边形的最短边长为．
由相似多边形的性质可知：，
，
故答案为：．
该多边形的最短边长为利用相似多边形的性质构建方程求解即可．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16.【答案】： 【解析】解：：：，
：：，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
．
故答案为：：．
由平行四边形的性质得出，，证明∽，由相似三角形的性质可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．17.【答案】 【解析】解：由勾股定理得，，
由图形可知，点是的中点，
，，
，
∽，
，即，
解得，，
故答案为：．
根据勾股定理求出，结合图形求出，根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18.【答案】 【解析】【分析】
本题考查特特殊角的三角函数值，属于基础题．
根据解答．
【解答】
解：为锐角，，，
，
．
故答案为．19.【答案】 【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
∽，
：：：，
：：，
，
在中，，
，
．
故答案为：
首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得：：，即可得：：：，在中，即可求得的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．20.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
过作于，易证是等腰三角形，得到然后在直角中，利用三角函数的定义求得的长即可．
【解答】
解：过作于．

，，
，
．
在直角中，．
即此时轮船与灯塔的距离约为．
故答案为．21.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

三个顶点的坐标分别为，，． 【解析】本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了平移变换．
利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
根据关于原点为位似中心的点的坐标特征，把、、的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．22.【答案】证明：在平行四边形中，，

∽
解：
，
∽


∽，在平行四边形中，


 【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
利用相似三角形的性质求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．23.【答案】解：如图，连接、．
点是的中点，，
是的中位线，
，
∽，
，
；

点是的中点，，，
．
由知，，则，故AE，
． 【解析】如图，连接、易证是的中位线，则；然后由“平行法”证得∽，则该相似三角形的对应边成比例：，所以由比例的性质可以求得的值；
利用中的比例式，把代入，即可求得的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似三角形对应边成比例即可求得线段的比．24.【答案】解：作于，如图．
在中，，
，
，
，
．
故他上升的高度为米；

如图，延长交于点，设，
由题意得，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
，
，
解得．
答：大树的高度约为米． 【解析】作于，解，即可求出；
延长交于点，解、，求出、，得到；设米，根据正切的概念用表示出、，根据列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．25.【答案】解：过点作于点．
由题意得，，，
．
由可知，
海里．
在中，
海里．
，
海监船继续向正东方向航行是安全的． 【解析】在中，求出、的度数即可解决问题；
作于，求出的值即可判定．
本题考查的是解直角三角形的应用方位角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方位角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．