2023-2024学年福建省厦门十一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门十一中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省厦门十一中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程的常数项是(    )A.  B.  C.  D. 2.已知代数式有意义，则的值可能是(    )A.  B.  C.  D. 3.已知是的函数，且当时，，那么该函数的解析式可以是(    )A.  B.  C.  D. 4.将抛物线通过一次平移可得抛物线，对此平移过程描述正确的是(    )A. 向上平移个单位长度 B. 向下平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度5.某校举行年度十佳校园歌手大赛，林老师根据七位评委所给的分数，把最后一位参赛同学的得分制作成如下表格，对七位评委所给的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不会发生变化的是(    ) 平均数中位数众数方差分分分 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差6.某开发公司年投入的研发资金为亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划年投入亿元研发资金若年到年投入的研发资金年平均增长率均为，则下列方程中正确的是(    )A.  B.
C.  D. 7.如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 8.如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解有可能是(    )
A.  B.  C.  D. 9.平行四边形的对角线与交于点，若，那么下列说法正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 10.已知，，分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如果正比例函数的图象经过第一、三象限，则实数的值可以是______ 只需写出一个符合条件的实数即可12.已知一组数据，，，的方差为，则这组数据的平均数为______ ．13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．14.用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 根据以上信息，当时，        ．15.如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为，点，，均为格点，以点为圆心，长为半径作弧，交格线于点，则的长为______．
 16.如图，在菱形中，，点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为______ ．
 三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
计算：；
解方程：．18.本小题分
已知二次函数的图象经过点
求二次函数的解析式；
画出此二次函数的图象．19.本小题分
先化简，再求值；，其中．20.本小题分
为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图统计图．
小明所调查家庭月份用水量的众数是______ ，中位数是______ ；
求所调查家庭月份用水量平均数；
若该小区有户居民，请你估计这个小区月份的用水量．
 21.本小题分

如图，矩形中，，，折叠矩形纸片，使点、重合．
请在图中利用尺规作图作出折痕，折痕交于，交于保留作图痕迹；
求出折痕的长度．
22.本小题分

如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园含隔离栏，菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为篱笆的宽度忽略不计
菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．
因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
23.本小题分
根据以下素材，探索完成任务根据以下素材，探案完成仕务， 如何利用“漏壶”探索时间素材“漏壶”是一种古代计时器，数学兴趣小组根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱圆柱的最大高度是厘米组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．素材实验记录的圆柱体容器液面高度厘米与时间小时的部分数据如表所示：时间小时圆柱体容器液面高度厘米问题解决任务描点连线在如图所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；任务确定关系请确定一个合理的与之间函数关系式，并求出自变量的取值范围；任务拟定计时方案小明想要设计出“漏壶”水位高度和计时时长都是整数的计时器，且“漏壶”水位高度需满足厘米厘米，请求出所有符合要求的方案． 24.本小题分
如图，正方形中，点在上，点在延长线上，且，连接、、，作的中点．
求证≌；
求证：、、三点共线；
延长交于，若，求证：．
25.本小题分
“厚德楼”、“求真楼”分别是我校两栋教学楼的名字，“厚德”出自周易大传：天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物“求真”出自闽中理学渊源考：“求真于未始有伪之先，而性之真可见矣”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“求真点”把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“求真点”的函数称为“厚德求真函数”．
函数是一个“厚德求真函数”，直接写出该函数图象上的“厚德点”和“求真点”；
已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“求真点”，求该二次函数的解析式；
已知二次函数为常数，图象的顶点为，与轴交于点，经过点，的直线上存在无数个“厚德点”当，函数有最小值，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程是一元二次方程的一般形式，其中常数项是．
故选：．
一元二次方程的一般系数是：，其中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，由一般形式确定常数项．2.【答案】 【解析】解：代数式有意义，则，
解得：，
故的值可能是，
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．3.【答案】 【解析】解：当时，，不合题意，故该选项不正确，不符合题意；
B.当时，，不合题意，故该选项不正确，不符合题意；
C.当时，，故该选项正确，符合题意；
D.当时，，不合题意，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
将，分别代入各选项，得出，即可求解．
本题考查了求函数值，熟练掌握函数的定义是解题的关键．4.【答案】 【解析】解：将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是向下平移了个单位，
故选：．
根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．5.【答案】 【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而平均数、众数和方差均有可能改变，
故选：．
根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．6.【答案】 【解析】解：根据题意得，，
故选：．
根据题意得到关系式为：年研发资金投入年平均增长率年研发资金投入，把相关数值代入即可
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．7.【答案】 【解析】解：在中，，点是斜边的中点，
则，
，
，
、分别是、的中点，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：图象上有两点分别为、，
当时，；时，，
当时，，
只有选项D符合，
故选：．
根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间．
本题考查抛物线与轴的交点，正确记忆点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为，就是函数图象与轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关是解题关键．9.【答案】 【解析】解：，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
故选：．
由三角形的内角和定理可得，即可得，几何平行四边形的性质可证明，进而可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．10.【答案】 【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
，即，
又，，分别是的三条边长，，的面积是，
，即，
又，
，
即，
解得，
故选：．
依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．11.【答案】答案不唯一 【解析】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，则实数的值可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，可得，即可求解．
本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．12.【答案】 【解析】解：设这组数据的平均数为，则，
解得，
故这组数据的平均数为．
故答案为：．
根据平方差公式可得，进而得出平均数．
本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．14.【答案】 【解析】解：由上表可知函数图象经过点和点，
对称轴为，
当时的函数值等于当时的函数值，
当时，，
当时，．
故答案是：．
根据题目提供的满足二次函数解析式的、的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当时，的值即可．
本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．15.【答案】 【解析】解：连接，，如图所示：
，
，
．
故答案为：．
由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可得出的长．
本题考查了勾股定理，由勾股定理求出，是解决问题的关键．16.【答案】 【解析】解：连接、，如图：

四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，
过点作于点，过点作于点，
则，
，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
连接，，由菱形的性质可知是等边三角形，过点作于点，过点作于点，可得，继而得出，根据勾股定理求出长度，再证明四边形是平行四边形，依据进行求解即可．
本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定与性质及三角形的面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键．17.【答案】解：原式
；
，
，
，即，
，
，． 【解析】原式利用二次根式乘法法则，以及绝对值的性质化简，化简、合并即可得到结果；
方程整理后，利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．18.【答案】解：把代入得，解得，
所以二次函数的解析式为；
抛物线的顶点坐标为，
当时，，解得，，
则抛物线与轴的交点坐标为，，
如图，
 【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象和性质，正确画出函数图象是解题的关键．
把已知点的坐标代入中，求出，即可得到抛物线解析式；
利用描点法画图即可．19.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．20.【答案】   【解析】解：根据题意得：户，
小明一共调查了户家庭，
根据统计图得：月份用水量的众数为吨，中位数为吨，
故答案为：吨，吨；
平均数为吨，
则所调查家庭月份用水量的平均数为吨；
根据题意得：吨，
则这个小区月份的用水量为吨．
根据条形统计图求出调查的家庭总户数，根据条形统计图，位数、众数的定义解答即可；
根据条形统计图和平均数的定义解答即可；
根据统计图求出平均每户的用水量，乘以即可得到结果．
此题考查了条形统计图，加权平均数，众数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21.【答案】解：如下图；

由矩形中，，，
得，
由折叠使点、重合，
得垂直平分，
得，
由，，
得∽，
得，即，
得，
由，
得，
又由，
得，即． 【解析】作垂直平分即可；
发现∽，求出即可解题．
本题是一道折叠矩形纸片题目，主要考查了相似三角形，垂直平分等知识，关键是发现全等三角形．22.【答案】解：设的长为，则的长为，
根据题意得：，
解得或，
当时，，舍去；
当时，，满足题意，
花园面积可能是，此时边长为；
设的长为，菜园面积为，
由题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，最大，最大值为．
答：该菜园面积的最大值为． 【解析】设的长为，则的长为，根据矩形的面积列出方程，解方程取符合题意的值即可；
设的长为，菜园面积为，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和解析式．23.【答案】解：任务一，如图；

任务二，设，将，代入得，
，
解得
；
圆柱的最大高度是厘米，
时，，
自变量的取值范围是；
任务三，由图象可知当时，水位高度和计时时长都是整数的点有、、，
共有三种方案：方案一，时间小时时，水位高厘米；方案二，时间小时时，水位高厘米；方案三，时间小时时，水位高厘米． 【解析】任务一，根据已知表格数据描点、连线即可解答；
任务二，利用待定系数法可求，再根据题意得出自变量的取值范围；
任务三，当时，求得，当时，求得，可知，再结合题意即可解答；或者观察当时对应的图象，也可得解．
本题考查了一次函数性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与方案选择问题，掌握一次函数性质是解题的关键．24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
连接，，
≌，
，
，
点是的中点，，
，
又，，
≌，
，
平分，
四边形是正方形，
平分，
、、三点共线；
如图，连接，
，
设，则，
，，
，
≌，
，
点是的中点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
． 【解析】由“”可证≌；
由直角三角形的性质可得，由“”可证≌，可得平分，由正方形的性质可得平分，可得结论；
由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得垂直平分，可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．25.【答案】解：由题意得：，
即，
解得：，
即“厚德点”为；
当时，
即，
解得：，
即“博学点”为：，
即“厚德点”和“求真点”分别为：，；
二次函数图象可以由二次函数平移得到，
则抛物线的表达式为：，
抛物线的顶点就是一个“厚德点”，
即，
则抛物线的表达式为：，
还经过一个“求真点”，
即，
将点代入抛物线表达式得：
则，
解得：或，
即抛物线的表达式为：或；
由题意得，点，
当时，，
即点的坐标为：，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
即直线的表达式为：，
经过点，的直线上存在无数个“厚德点”，即，
则直线和重合，
则且，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
当，函数有最小值，
而抛物线在顶点处的最小值为，
故不可能在和之间．
当时，
当时，函数取得最小值，
即，
解得：不合题意的值已舍去；
当时，
当时，函数取得最小值，
即，
解得：不合题意的值已舍去；
综上，． 【解析】由“厚德点”和“求真点”的定义即可求解；
二次函数图象可以由二次函数平移得到，则抛物线的表达式为：，而抛物线的顶点就是一个“厚德点”，即，则抛物线的表达式为：，而还经过一个“求真点”，得到点，进而求解；
由经过点，的直线上存在无数个“厚德点”，确定直线和重合，得到抛物线的表达式为：，再分类求解即可．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、新定义、二次函数的性质等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．