2023年浙江省金华市六校中考数学第二次联谊试卷（含解析）

2023年浙江省金华市六校中考数学第二次联谊试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 抛掷一枚均匀的硬币，恰好正面朝上
B. 打开数学书，恰好翻到第页
C. 在个标准大气压下，水加热到沸腾
D. 打开电视机，它正在播新闻联播

3.下列代数式变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.若，则下列选项中，一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.下面图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

 

A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图

6.方差是刻画一组数据波动大小的量，对于一组数据，，，，，可用如下算式计算方差：，其中“”是这组数据的(    )

A. 最小值 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数

7.如图，矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且：：，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.已知线段，按如下步骤作图：
取线段中点；
过点作直线，使；
以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
作的平分线，交于点则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，在平面直角坐标系中，将平行四边形放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图，那么平行四边形的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.如图，在正方形中，为中点，连结，延长至点，使得，以为边作正方形，几何原本中按此方法找到线段的黄金分割点现连结并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.若点在第四象限，则实数的取值范围是______．

12.在一个不透明的袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是______ ．

13.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为______ ．

14.已知一个圆锥形圣诞帽的母线为，底面半径为，则这个圣诞帽的侧面积为______．

15.如图，在中，，，，为上的点，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，当点在的边上且恰好为直角三角形时，的长为______ ．

16.如图，图，是一款家用的垃圾桶，踏板与地面平行或绕定点固定在垃圾桶底部的某一位置上下转动转动过程中始终保持，通过向下踩踏点到与地面接触点使点上升到点，与此同时传动杆运动到的位置，点绕固定点旋转为旋转半径至点，从而使桶盖打开一个张角如图，桶盖打开后，传动杆所在的直线分别与水平直线、垂直，垂足为点、，设测得，，，，．
要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于______ ；
当时投入一个小球，并能顺利盖上垃圾桶盖，小球的最大半径为______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：．

18.本小题分

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，．
画出．
以为位似中心，把扩大到原来的两倍，得到．

19.本小题分
自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：利用影长求物体高度，制作视力表，设计遮阳棚，制作中心对称图形，四类数学实践活动课规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息解决下列问题：
本次共调查______ 名学生，扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为______ 度；
补全条形统计图；
选修类数学实践活动的学生中有名女生和名男生表现出色，现从人中随机抽取人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是名女生和名男生的概率．

20.本小题分

无人机爱好者小新尝试利用无人机测量他家所住的楼房的高度小新站在距离楼房米的处，他操作的无人机在离地面高度米的处，无人机测得此时小新所处位置的俯角为，楼顶处的俯角为在同一平面内
求楼房的高度；
在的条件下，若无人机保持现有高度且以米秒的速度沿平行于的方向继续匀速向前飞行，请问：经过多少秒，无人机刚好离开小新的视线？

21.本小题分
如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点不与点、重合，沿着弦折叠半圆．
如图，当折叠后的弧与相切时，求线段的长；
如图，当时，求阴影部分的面积．

 

22.本小题分

某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件元该企业第天生产的电子产品数量为件，与满足如下关系式：．
求该企业第几天生产的电子产品数量为件；
设第天每件电子产品的成本是元，与之间的关系可用图中的函数图象来表示若该企业第天创造的利润为元，求与之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？

23.本小题分
定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”．
分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为当的面积为时，求的值；
若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有个“倍值点”时，直接写出的取值范围．

24.本小题分
在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，在射线上取点，构造，使得．
当时，求直线的函数表达式．
当点落在坐标轴上时，求的面积．
已知点关于原点的对称点是点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．根据相反数的定义直接求解．
【解答】
解：的相反数是，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：、抛掷一枚均匀的硬币，恰好正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、打开数学书，恰好翻到第页，是随机事件，故B不符合题意；
C、在个标准大气压下，水加热到沸腾，是必然事件，故C符合题意；
D、打开电视机，它正在播新闻联播，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、是整式的乘法，故A错误；
B、左边不等于右边，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据和不等式的性子，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．

5.【答案】 

【解析】解：、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：方差，
中“”是这组数据的平均数，
故选：．
根据方差的定义可得答案．
本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于，

矩形的面积为，
，
：：，
，
，，
，
，
，
双曲线图象过点，
，
又双曲线图象在第二象限，
，
，
故选：．
由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求的面积，由反比例函数的性质可求解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行线分线段成比例等知识，求出的面积是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点设，则，
，
，
平分，，，
，
，
，
．
故选：．
过点作于点设，则，利用面积法求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

9.【答案】 

【解析】解：根据图象可以得到当移动的距离是时，直线经过点，当移动距离是时，直线经过，在移动距离是时经过，
则，
如图，

当直线经过点，设交与，则，作于点．
与轴形成的角是，
又轴，
，
，
则平行四边形的面积是：．
故选：．
根据图象可以得到当移动的距离是时，直线经过点，当移动距离是时，直线经过，在移动距离是时经过，则，当直线经过点，设交与，则，作于点利用三角函数即可求得即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
本题考查了函数的图象，根据图象理解的长度，正确求得平行四边形的高是关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接，

设，
为中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，
，
，
解得：或舍去，
，
故选：．
连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积的面积，可得的面积的面积，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，解得．
故答案为：．
根据第四象限内点的坐标特点列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知第四象限内点的坐标特点是解答此题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：这个球是白球．
故答案为：．
根据随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解题关键．

13.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故答案为：．
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：底面半径是，则底面周长，
需要彩纸的面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

15.【答案】或 

【解析】解：，，，
．
当为直角三角形时分两种情况：
如图，当时，
设，

由，，
∽，
，
，
解得；
当时，设，

同理可得：∽，
，
，
解得．
故答案为：或．
先求解，再分两种情况讨论：如图，当时，当时，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，作出正确的图形是解本题的关键．

16.【答案】   

【解析】解：过点作，垂足为点，如图，

在中，若，
则，
，
由题意得：，
．
，，
∽，
，
．
桶盖张开的角度不小于，
．
的最小值为，
即踏板离地面的高度至少等于；
故答案为：；
如图，当时，
在中，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即垃圾桶的内径为，
投入一个小球，并能顺利盖上垃圾桶盖，小球的最大直径为，
投入小球的最大半径为．
故答案为：．
过点作，垂足为点，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，由题意得：，再利用相似三角形的判定与性质求得线段即可得出结论；
当时，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，进而求得，则垃圾桶的内径可求，由题意即可确定结论．
本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．

17.【答案】解：原式

． 

【解析】本题涉及二次根式的化简、绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

18.【答案】解：即为所求；
即为所求． 

【解析】根据坐标描点即可；
把、、点的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图位似变换：掌握画位似图形的一般步骤先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

19.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
则扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为．
故答案为：，．
类别人数为人，则类别人数为人，
补全条形图如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是名女生和名男生的结果数为，
所以所抽取的两人恰好是名女生和名男生的概率为．
用类别人数除以其所占百分比可得总人数，用乘以类别人数占总人数的比例即可得；
总人数乘以类别的百分比求得其人数，用总人数减去，，的人数求得类别的人数，据此补全图形即可；
画树状图展示种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是名女生和名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．

20.【答案】解：作，交于，，交于，

由题意可知，，米，米，
则米，
米，
，，易知四边形为矩形，与飞行方向平行，
，米，，
米，
米；
延长与飞行方向相交于，

由知米，米，
，
，
，，
米，
无人机保持现有高度且以米秒的速度沿平行于的方向继续匀速向前飞行，
无人机刚好离开小新的视线的时间为：秒，
即：经过秒，无人机刚好离开小新的视线． 

【解析】作，交于，，交于，由题意可知，，米，米，四边形为矩形，与飞行方向平行，可得，，的长度，，求得，进而可得楼房的高度；
延长与飞行方向相交于，由知米，米，可得，则，，易知，求出，再由无人机的速度即可得到时间．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

21.【答案】解：当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，如图：

，、关于直线对称，
平分，
，
，
是等腰直角三角形．
，
，
，
作关于的对称点，连接、，如图：

，
，
则阴影部分的面积等于与弦所围成的图形的面积，即，
，，
过点作，
，
，
，
，
阴影部分的面积为， 

【解析】当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，由题意可得，、关于直线对称，即可得是等腰直角三角形，从而求出的长，
作关于的对称点，连接、，则阴影部分的面积等于即可解答．
本题考查切线的性质，扇形的面积，不规则图形面积的求法，正确作出辅助线是解题关键．

22.【答案】解：若，则，与不符，
，解得，符合，
故第天生产了件电子产品；
由图象得，当时，；
当时，设，
把，代入得，，
解得，
．
分三种情况：

当时，有最大值，最大值为元；
当时，，
当时，有最大值，最大值为元；
当时



，
当时，有最大值，最大值为元．
综上，第天时，利润最大，最大值为元． 

【解析】根据求得即可；
先根据函数图象求得关于的函数解析式，再结合的范围分类讨论，根据“总利润单件利润数量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．

23.【答案】解：在中，令，得成立，
函数的图象上存在“倍值点”；
在中，令，
解得：，，
函数的图象上有两个“倍值点”或；
在函数中，令，
解得：，
，
在函数中，令，
解得：，
，
轴，
，
，
的面积为，
，
当时，，
解得，
当时，，
，
方程没有实数根，
当时，，
解得：，
综上所述，的值为或；
令，
解得：，，
函数的图象上有两个“倍值点”或，
当时，，两部分组成的图象上必有个“倍值点”或，
：，
：，
令，
整理得：，
的图象上不存在“等值点”，
，
，
，
当时，有个“倍值点”、、，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“倍值点”，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“倍值点”，
当时，，两部分组成的图象上没有“倍值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“倍值点”时，或． 

【解析】根据“倍值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
先根据“倍值点”的定义求出函数的图象上有两个“等值点”，同理求出，根据的面积为可得，求解即可；
先求出函数的图象上有两个“倍值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．
本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．

24.【答案】解：设直线的函数表达式为，则有：
，
解得：，
直线的解析式为：；

当点在轴上时，设点的坐标为；

过作于点，则，，，
，
，
∽，
，
，
解得：，，
，，
；
当点在轴上时，同理可求：
，，
；
的面积为或；


过点、作直线的垂线，与过点、作轴的平行线分别交于点、、，则四边形为矩形，
∽，
，，
由题意可得≌相似比为．

，，，，
，
，
∽，
同理∽∽，
又，
≌相似比为，
，
解得：，，
，，
即，
解得：
点的坐标为；
当点在上时，则，
的坐标为，点的坐标为，
在中，，
，
，
轴，即，
，
，
∽，
符合题意；

当点在上时，作于点，于点，
同可得：
点的坐标为，
直线的解析式为：，
把点 代入解析式为，
 可求得，
点 ， ，
由两点间的距离公式求得：，，，

，
∽，
点 符合题意；

当轴时，作于点，于点，
同可求点的坐标为；

当点在线段上时，作于点，于点，
同可求点的坐标为；

点的坐标为或或 或或． 

【解析】设直线的函数表达式为，然后把、两点的坐标代入即可求解；
分点在轴及轴上两种情况进行讨论，结合三角形相似，建立等量关系，分别求出两种情况时三角形的面积即可；
存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有角的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键．