云南民族大学附属高级中学2024届高三上学期联考（一）数学试题

云南民族大学附属高级中学2024届高三联考卷（一）

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

3.如图，在中，，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.已知等比数列的前项和为，若，则（    ）

A.8    B.9    C.16    D.17

5.已知抛物线的焦点为，点在上，点，则周长的最小值为（    ）

A.8    B.10    C.12    D.13

6.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知，则的大小关系是（    ）

A.    B.

C.    D.

8.若存在一个非零实数，一个正实数，使得等式成立，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.甲､乙两个旅游景区某月初连续7天的日均气温数据如图所示（气温均取整数），则关于这7天的日均气温，下列判断正确的是（    ）

A.甲旅游景区日均气温的平均数与乙旅游景区日均气温的平均数相等

B.甲旅游景区日均气温的中位数与乙旅游景区日均气温的中位数相等

C.甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大

D.乙旅游景区日均气温的极差为

10.正方体的棱长为是正方形的中心，为线段上一动点，则（    ）

A.

B.直线与直线所成角的余弦值为

C.不存在点使得平面

D.三棱锥的体积为定值

11.如图，圆的半径等于2，弦平行于轴，圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点.如果直线与这两段弧只有两个交点，则的取值可能是（    ）

A.    B.0    C.    D.2

12.佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列.随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比，白银比和三角平方数､佩尔数及正八边形都有关系.记佩尔数列为，且，则（    ）

A.数列是等比数列，公比为

B.数列是等比数列，公比为

C.

D.白银比为

三､填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.

13.在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答）

14.若，则__________.

15.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的单调递增区间是__________.

16.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知等差数列的前项和为，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）解方程.

18.（本小题满分12分）

如图，在平面四边形中，.

（1）求；

（2）求.

19.（本小题满分12分）

如图，已知四边形与都是直角梯形，是线段上一点.

（1）证明：平面平面；

（2）若平面平面，平面与平面的夹角为，是否存在点，使得？若存在，请确定点位置；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分12分）

随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：

（1）求实数的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；

（2）假设所有购物群销售丑橘的数量服从正态分布，其中为（1）中的平均数，12100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2000个，销售丑橘的数量在（单位：箱）内的群为“一级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？

附：若服从正态分布，则.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率是，其左､右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.

（1）求证：；

（2）若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，其中，若函数存在非负的极小值，求的取值范围.

云南民族大学附属高级中学2024届高三联考卷（一）•数学

参考答案､提示及评分细则

1.B  ，所以.故选B.

2.B  由，得，所以.故选B.

3.A  .故选A.

4.  A设，则，因为为等比数列，所以仍成等比数列.因为，所以所以故.故选A.

5.D  如图，显然，记抛物线的准线为，则，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选D.

6.C  在中，，由余弦定理得，设外接圆的圆心为，则平面，且，而平面，因此，取的中点，连接，则四边形为矩形，则，球的半径，体积.故选C.

7.D  设，则，当时，，所以函数在上单调递减，所以，故当时，，即，所以当时，，故.设，则，当时，，所以函数在上单调递增，所以，即，所以，故.综上可得，.故选D.

8.C  因为，所以，所以.令，则，设，则，令，可得，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，又当时，，故.故选C.

9.ABC  对于，B项，甲旅游景区的日均气温分别为；乙旅游景区的日均气温分别为.因为甲旅游景区日均气温的中位数为，平均数为，乙旅游景区日均气温的中位数为，平均数为，故A，B正确；对于C项，根据折线图知甲旅游景区的日均气温波动比乙城市的日均气温波动大，故C正确；对于项，因为乙旅游景区日均气温的极差为，故D错误.故选ABC.

10.ABD  对于项，在中，是的中点，所以，故A正确；对于项，设是的中点，连接，则，所以是异面直线与直线所成角（或其补角），在中，，所以，故B正确；对于项，根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于平面，所以平面平面，当时，平面，所以平面，即存在点使得平面，故C错误；对于项，，故D正确.故选ABD.

11.BD  因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，

所以，如图所示，当直线过时，，

当直线过时，，因为圆弧对应的圆方程为，

当直线与圆弧相切时，由，解得（舍），

当直线与圆弧相切时，由，解得（舍），

当或时，直线与两段弧有两个交点.故选BD.

12.ACD  对于，若数列是公比为的等比数列，则，所以，所以所以或所以数列是等比数列，公比为，故正确；数列是等比数列，公比为，故错误；对于，当时，，当时，，解得，故C正确；对于，因为，因为-3，所以当时，，故D正确.故选ACD.

13.  展开式的通项为，由题意，取的系数为.

14.  因为，所以，，即.

15.  因为是定义在上的奇函数，且满足，则，所以，即，所以函数是周期为8的周期函数，于是根据周期性奇偶性可以作出的大致图象如图所示：

根据图象可知，是的一个单调递增区间，根据周期性可知，的单调递增区间是.

16.2  依题意，设双曲线的半焦距为，则，因为是的中点，所以，故由得，因为，所以.在中，，在中，，所以，则，所以.

17.解：（1）设的公差为，因为成等比数列，

所以，所以

又，即，解得或.

当时，；

当时，.

（2）当时，，

由，得，化简得，解得或；

当时，，

由，得，化简得，解得或.

综上，或.

18.解：（1）在中，由勾股定理得，

在中，由勾股定理得，

因为，

所以，所以，

所以

在中，由余弦定理得.

（2），则，

则是正三角形，所以，

在中，由正弦定理得，即，

解得.

19.（1）证明：因为平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）解：由平面平面，平面平面平面，

所以平面，

因为平面，则，

以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，

设，得.

显然平面的一个法向量，

又，

设平面的法向量，则

取，则，

故，解得，或（舍），

所以点的坐标为，故存在点，且为中点时使得.

20.解：（1）由题意得，解得.故平均数为（箱）.

（2）由题意，，且，

故，

所以“优质群”约有（个），

，

所以“一级群”约有（个），

所以需要资金为（元），

故至少需要准备373400元.

21.（1）证明：设椭圆的半焦距为，因为，

所以，

又，

所以，所以直线，

令，解得，所以，

所以，

所以.

（2）解：若点，则，解得，则，

所以椭圆方程为.

如图，设直线的方程为，则，

联立得，则.

直线的方程为，

令，得

.

故在轴上存在一个定点，使得三点共线.

22.解：（1），

令，则.

因为当时，，

所以恒成立，即在上单调递增.

又，

所以当时，；

当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

（2），

.

由（1）知在上单调递增，所以当时，，即；当时，，即.

（i）当时，在上恒成立，

所以当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即.

（ii）当时，由，解得，函数在上单调递减.

①当时，.

当时，；当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

所以，不符合题意；

②当时，，当时，有恒成立，

故在上单调递减，所以函数不存在极小值，不符合题意；

③当时，.

当时，；当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

所以，不符合题意.

综上所述，若函数存在非负的极小值，则的取值范围为.