河南省创新联盟2023-2024学年高二上学期第二次联考（10月）数学试题

2023年秋季河南省高二第二次联考

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册20%，必修第二册30%，选择性必修第一册第一章40%、第二章第1节10%．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，对应的点位于（    ）

A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

2．设集合，若，则（    ）

A．3     B．2     C．     D．1

3．下列关于空间向量的说法中错误的是（    ）

A．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量

B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定

C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示

4．在三棱锥中，，平面的法向量，则点到平面的距离为（    ）

A．     B．     C．1     D．2

5．已知向量满足，且，则（    ）

A．0     B．     C．     D．

6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面分别为的中点，则（    ）

A．     B．1     C．     D．2

7．过点作直线，若直线与连接两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．如图，正方体的棱长为2，是的中点，点分别在直线上，则线段的最小值为（    ）

A．1     B．．     C．2     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图，由正四棱锥截去一部分后得到四棱台分别为四边形的对角线的交点，，则下列结论正确的是（    ）

A．几何体是三棱柱                B．几何体是三棱台

C．四棱台的体积为       D．直线与直线所成角的正切值为

10．已知样本数据，且，则（    ）

A．的平均数小于的平均数

B．的中位数小于的中位数

C．的极差等于的极差

D．的方差大于的方差

11．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在上单调递增     B．是奇函数，且在上单调递增

C．是偶函数，且在上单调递减     D．是偶函数，且在上单调递增

12．学习几何体结构素描是学习素描的重要一步．如图，这是一个用来练习几何体结构素描的石膏几何体，它是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体．棱和平面都与圆柱侧面相切，是棱与圆柱侧面的切点．平面，且直线分别与平面，平面交于点．已知，圆柱的底面圆半径为，则（    ）

A．                        B．

C．点到平面的距离为           D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若三点共线，则_________________．

14．函数的最大值为_________________．

15．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为的中点，点在上，若，则_________________．

16．已知函数若存在实数，使得，则的取值范围为_________________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知直线的斜率为2，直线过点．

（1）若直线的倾斜角为，求的值；

（2）若，求的值．

18．（12分）已知函数在上单调递减．

（1）求的取值范围；

（2）求的值域．

19．（12分）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，．

（1）证明：平面．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）在锐角中，角的对边分别是，且满足．

（1）求；

（2）若的外接圆半径是1，求的取值范围．

21．（12分）甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．

（1）求第2次由甲投掷的概率；

（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．

22．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且．

（1）若平面平面，证明：平面．

（2）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．

2023年秋季河南省高二第二次联考

数学参考答案

1．C  因为，所以所求复数对应的点为，位于第三象限．

2．D  若，解得，当时，，不符合题意，当时，，符合题意．若，解得，此时，不符合题意．综上，．

3．A  若，则，零向量不能作为直线的方向向量，A错误．

4．B  点到平面的距离为．

5．D  因为，所以，即，解得，所以．

6．B  设为的中点，连接．

．

7．A  直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率的取值范围为．

8．B  建立如图所示的空间直角坐标系，则．

设，则．

．

当时，取得最小值，最小值为．

9．BCD  在几何体中，没有任何两个平面平行，A错误．

将四棱台沿轴截面分成两部分，其中之一是三棱台，B正确．

四棱台的体积为，C正确．

连接，作，垂足为．为直线与直线所成的角，，D正确．

10．AC  设的平均数为的平均数为，

则

，所以的平均数小于的平均数，A正确．

若都相等，则的中位数等于的中位数，B错误．

的极差等于的极差，都是正确．

若数据大多集中在最小值附近，且最大值较大，则的方差小于的方差，如0，0，1，1，1，1，8的方差小于0，1，1，1，1，8的方差，D错误．

11．BC为奇函数且在和上单调递增．

的定义域为，则，A错误．

的定义域为，

故为奇函数．在上单调递增，且值域为．

又因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确．

的定义域为，

则为偶函数，在上单调递减，而是增函数．

故在上单调递减，C正确．

在上单调递增，且值域为．而在上不单调递增，D错误．

12．ACD  设的中点为，连接，作平面，垂足为，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图1所示的空间直角坐标系．

因为，所以．设圆柱被平面所截的截面圆为，在截面中，连接交于点，作，垂足为，如图2．因为，所以．因为圆与和都相切，所以是的角平分线，．因为，所以，A正确．

，所以是的中点，在中，，所以点到平面的距离为，C正确．

．设，则．因为四点共面，所以，所以解得，所以，D正确．，B错误．

     图1                   图2

13．   ．因为三点共线，所以，解得．

14．2  ，当且仅当时，等号成立．

15．2  连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（图略），则．设，．因为，所以，解得，故．

16．   设，则直线与函数的图象有3个交点，如图所示．设交点的横坐标分别是，点和点关于直线对称，则．令，则，，因此．

17．解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

所以，解得．

（2）因为，直线的斜率为2，所以直线的斜率为，

所以，解得．

18．解：（1）因为为增函数，在上单调递减，

所以函数在上单调递减，且，

所以解得．

（2）因为，

所以．

故的值域为．

19．（1）证明：取的中点，连接．

由已知可得，

所以，则．

因为，所以平面，所以．

因为，所以平面．

（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．

设平面的法向量为，

则取，则．

设直线与平面所成的角为，

所以．

故直线与平面所成角的正弦值为．

20．解：（1）因为，所以．

由余弦定理得．

因为，所以．

（2）因为的外接圆半径是1，所以．

．

因为是锐角三角形，所以，所以．

，

所以．

故的取值范围是．

21．解：（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36．

记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，

则，有12个样本点．

．

故第2次由甲投掷的概率为．

（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：

第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，

第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，

第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为．

故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为．

22．（1）证明：因为底面是正方形，所以．

因为平面平面，所以平面．

又因为平面平面，所以．

因为平面平面，所以平面．

（2）解：由题意可得．

因为底面是正方形，所以．

又因为，所以平面．

因为，所以平面．

．

．

以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

点到轴所在平面的距离为，点到轴所在平面的距离为．

，设．

，设平面的法向量为，

则即取，可得．

，设平面的法向量为，

则即取，可得．

设平面与平面的夹角为，

则，

令，则．．

当时，取得最小值，最小值为，

所以的最大值为，此时，．

故平面与平面的夹角的余弦值的最大值为．