新高考数学二轮复习函数培优专题03 函数的最值(值域)求法（含解析）

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专题03 函数的最值(值域)求法
专项突破一 单调性法
1．函数在的最大值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数是单调递增函数，所以函数也是单调递增函数，
所以.故选：C
2．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为在单调递增，在单调递增，
所以在单调递增.所以.
因为对任意恒成立，所以.故选：D
3．若函数的值域是，则函数的值域是（        ）
A． B． C． D．
【解析】令，，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，故选：B．
4．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】，使得，等价于， ，
由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，
又在上单调递增，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.
5．函数，若的最大值和最小值是____．
【解析】令t＝sinx+cosx＝sin（x+），当x∈[0，]时，则t∈[1，]，
所以2sinxcosx＝t2﹣1，则y＝t2+t+1＝（t+）2+，在t∈[1，]上单调递增，
此时y的最大值是，而最小值是3．
6．函数的值域为___________.
【解析】依题意，在上单调递减，则当时，，
在上单调递增，则当时，，
所以函数的值域为.
7．已知函数．
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值域.
【解析】(1)函数在上的为增函数，理由如下：
任取，且，有
，
∵，∴，
∴即，∴函数在区间上单调递增，
(2)由（1）可知函数在区间上单调递增，
∴，又∵时，，∴
∴，∴函数的值域为.
8．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）值点．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】(1)因为，所以函数在上单调递增，区间为开区间，
所以该函数没有最大值和最小值；
(2)因为，所以一次函数在上单调递减，
所以，因此该函数单调递减，
当时，函数有最小值，当时，函数有最大值；
(3)因为的对称轴为：，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，函数有最小值，因为，
所以当时，函数有最大值；
(4)，
因为，所以当时，函数单调递增，
故当时，函数有最小值，当时，函数有最大值.
9．已知．
(1)求的定义域；
(2)讨论的单调性；
(3)求在区间上的值域．
【解析】(1)由，得，解得.
所以定义域为；
(2)设0 ∴，∴，
故在(0，＋∞)上为增函数．
(3)∵在(0，＋∞)上为增函数，
又，
∴在区间上的值域为.
10．已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
【解析】(1)因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
(2)由（1）知，，所以，
令，则，，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；所以，

所以函数在的值域为.

11．已知函数．
(1)用定义法证明函数在上为增函数；
(2)若，且当时恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)，
对任意的，有
．
因，，∴．
∴函数在上为增函数．
(2)当时恒成立即，恒成立，
，恒成立．
由（1）得在上为减函数，．
∴．
专项突破二 判别式法
1．函数的最大值与最小值的和是（        ）
A． B． C． D．
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.
2．求函数的值域______________．
【解析】由解析式知：函数的定义域为，且，
∴整理可得：，即该方程在上有解，
∴当时，，显然成立；
当时，有，整理得，即，
∴综上，有函数值域为.
3．求函数的最小值.
【解析】解法一：函数的定义域为一切实数..①
又，即，
对①式两边平方，得.
整理，得.②
对②式两边平方，得，
再整理，得.③
，x为实数，，
化简并整理，得，
即，
又，，，
当时，方程③为，即，
解得，故函数的最小值为.
解法二：
令，，，则
点A关于x轴的对称点为.则
（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当、P、B三点共线时取“等号”）.
4．求下列函数的值域：
（1）；
（2）
【解析】（1）由题，得，
整理，得，
当时，；
当时， 方程有实根，，
即，解得，或，
综上，所以值域为：.
（2）易知，且.
又，
当时，有最大值，
当或时，有最小值0，
所以当时，易得，故的值域为.
5．已知函数的值域为，求的值.
【解析】，
令，即有实根
，即
由是方程的两根
由韦达定理可知，，解得
6．求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以，所以或，
所以函数的值域为.
（2）因为，
所以函数的值域为.
（3）因为，
所以当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以函数的值域为.
（4），当时，函数为递减函数，
所以时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为.
（5）由得，
当时，方程的根为，
当时，根据关于的一元二次方程有解，得，
即，解得或，
综上可得函数的值域为.
（6）由得，
当时，方程的根为，
当时，根据一元二次方程有解得，
即，解得或，
综上可得函数的值域为.
专项突破三 分离常数法
1．函数的值域是（        ）
A． B．
C． D．
【解析】，从而可知函数的值域为.
故选：C
2．函数，x∈[3，+∞）的值域是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，，
显然函数在上为减函数，
所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，当接近时，接近，
所以的值域为.故选：D.
3．函数y的值域是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【解析】，∴y，
∴该函数的值域为．故选：D．
4．函数在区间的最大值是______．
【解析】∵函数，
∴函数在区间上为单调增函数，∴当时，函数取得最大值，为.
5．函数在上的值域为___________.
【解析】，因为，所以，
所以，则，
所以，所以，即，
所以函数的值域为
6．函数的值域为_______．
【解析】 ，因为，所以，
所以，则，所以，即，
所以函数的值域为
7．函数的值域是______．
【解析】由题知，
因为，所以，所以，则
因此
8．函数的值域是________________.
【解析】由题意，因为，
所以，所以，所以函数的值域为，
9．已知函数为奇函数
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)函数为奇函数，定义域为，
则，所以，经检验知符合题意；
，
因为，则，所以函数的值域为.
(2)由题知：当恒成立；
则；令，所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，则.
专项突破四 二次函数分类讨论
1．已知函数.
(1)若，求函数的最小值和最大值；
(2)当时，求函数的最小值．
【解析】(1)因为，对称轴为，开口向上，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，即函数的最小值为，最大值为；
(2) ，抛物线开口向上，对称轴为，最小值为，过点，
结合二次函数的图象可知：
当，即时，，，函数在上单调递减，
所以在处取最小值，
当，即时，，在处取最小值，
当时，，，函数在上单调递增，函数在处取最小值，
由以上解析可得，函数的最小值．
2．已知函数，．
(1)当时，求函数的最大值和最小值．
(2)当时，求函数在区间上的最小值．
【解析】(1)当时，，又，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，．
(2)由题意得：，
∴函数图像开口向上，对称轴方程为，
①若，即，则在上单调递增，
∴；
②若，则在上单调递减，在上单调递增，；
③若，即，则在上单调递减，
∴．
3．已知是定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的值域．
【解析】(1)（1）当时，所以；
因为为R上的偶函数，所以；
又，所以
(2)作出的大致图象如下所示：

当时，在区间上单调递减，
则在区间上的值域为，即；
当时，在区间上的最大值为，最小值为
所以在上的值域为，即；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，则在区间上的值域为，即．
4．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
【解析】(1)依题意，二次函数，开口向上，对称轴，
所以，所以.
(2)，开口向上，对称轴，
当时，.
当时，（舍去）.
当时，.
综上所述，的值为或.
5．已知一次函数满足.
(1)求函数f（x）的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值．
【解析】(1)∵是一次函数，设，又因为，
∴，整理得，故，解得，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2；
(2)g（x）＝a（x﹣2）+x（x﹣2）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，其对称轴为，
①当，即a≥4时，函数g（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，
则g（x）max＝g（2）＝0；
②当，即1 且2离对称轴更远，则g（x）max＝g（2）＝0；
综上，当a＞1时，g（x）max＝0．
6．已知函数
(1)若函数在上单调递减，求a的取值范围：
(2)是否存在实数a，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为函数的对称轴为且开口向上，
所以若函数在上单调递减，则，
所以a的取值范围是.
(2)因为，
假设存在实数a，使得函数在区间上的最小值为，则，得，
解得或.
当时，在上递增，，所以，得；
当时，在上递减，，所以，得，
综上所述：存在实数或使得函数在区间上的最小值为.
7．已知函数，．
(1)当，且时，求函数的值域；
(2)若函数在的最小值为，求实数的值；
【解析】(1)当时，；
令，则当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，的值域为.
(2)令，则当时，，
，对称轴为；
当，即时，在上单调递增，，解得：（舍）；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得：（舍）或；
当，即时，在上单调递减，，
解得：（舍）；
综上所述：.
8．已知函数．
(1)当时，判断并证明函数的奇偶性；
(2)求函数在上的最小值．
【解析】(1)当时，，，
此时为奇函数，证明如下：
，，
故函数为奇函数．
(2)，
设，，
则它们的对称轴都为，临界点都为，
当时，此时有，则的图象大致为：

，故进行如下第二种讨论：
当，即时，由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，
所以，因为，，
又，所以．
当，即时，由图象可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以．
当时，由图象可知，在上单调递增，
所以．
当时，此时有，则的图象大致为：

在上单调递增，所以．
综上所述，．
专项突破五 基本不等式法
1．下列函数中最小值为8的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，取，则，最小值不为8；
对于B，因为，但无解，从而此函数的最小值不为8，
对于C，取，则，此函数的最小值不为8，
对于D，，当且仅当时等号成立，故此函数的最小值为8，
故选：D.
2．已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【解析】因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称，所以直线过圆心，所以，又，
所以即当取最大值为，故选：A.
3．已知，则的最小值是（       ）
A．14 B． C．8 D．
【解析】因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.故选：A
4．若在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】令，则原问题转化为在恒成立，
即在恒成立，又当且仅当时取等号，
故实数的取值范围是，故选：C．
5．下列函数中，最小值为9的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，，错误；
对于B，，
当且仅当，即时取等，正确；
对于C，当时，，错误；
对于D，当时，，错误.
故选：B.
6．已知正实数a，b满足，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．2
【解析】因为，
所以 ，当且仅当时等号成立，因为，
所以，即，所以，
即，因为为正实数，所以，
因此，故的最大值为，此时，故选：B.
7．已知函数则函数的值域为（       ）
A．R B． C． D．
【解析】当时，，
由基本不等式可得：（当且仅当，即时等号成立）
所以，即函数的取值范围为；
当时，，因为当时，取得最大值1，
所以函数的取值范围为.
综上，函数的值域为。故选：B.
8．函数的值域是______．
【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以
9．已知x>1，那么的最小值为________.
【解析】因，则，当且仅当，
即时取“=”，所以的最小值为3.
10．函数在上的值域为________．
【解析】，因为，
所以，当且仅当时取等号，
则函数在上的值域为
11．函数的值域是____________．
【解析】函数定义域为，
，当且仅当，
即时取“=”，因此，当时，，
所以函数的值域是.
12．已知，则的最小值为___________.
【解析】因为对数有意义，所以x>0,y>0.
由，可得：，即，
当等号成立，解得：（舍去）.所以的最小值为4.
13．已知、均为正实数，且，则的最小值为___________.
【解析】因为、均为正实数，由基本不等式可得，
整理可得，
，，则，解得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
14．若正实数满足，则的最大值为________.
【解析】因为，，所以，
又且，所以，解得，
=，结合知，有最大值4.
15．已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为________
【解析】一元二次不等式对一切实数都成立，
当时，不能保证恒成立，不符合题意；
当时，要满足，，由此，
，，得：，
则，
即时，取等号，
故答案为：3．
16．若，则函数的值域为__________.
【解析】当时，，当时，令，
则
因为，所以，所以
所以在R是奇函数
当时，，
其中时，取得等号，所以，
当，根据奇函数性质，当时，，
所以的值域为；
综上，的值域为
17．若函数的值域为，则实数的取值范围是____.
【解析】由题意，
当，即时，函数在单调递增，
故，值域为恒成立；
当，即时，，
当且仅当，即时取等，
又在单调递增，且，
若值域为，则有，解得，
综上所述，的取值范围为
专项突破六 指、对数复合型
1．函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，作出函数的图像(图略)，如图所示，函数在上单调递减，
在上单调递增，所以函数的最小值为，所以函数的值域为.
故选：C.
2．函数的最小值是（       ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【解析】设，则，因为，
所以，所以的最小值为1，故选：B
3．函数，的值域是(       )
A． B． C． D．
【解析】令，则，则，
故选：A.
4．已知函数的图象过定点，则在上的值域是（       ）
A． B． C． D．
【解析】函数的图象过定点，所以，
，由于，所以，所以.
故选：B
5．函数的值域为______．
【解析】由于，在上单调递减，所以，
所以函数的值域为.
6．若函数f (x)＝有最大值3，则a＝________.
【解析】令，则.
因为有最大值，所以应有最小值.由此，解得
7．函数的值域是________．
【解析】，而在定义域上递减，，无最小值，
函数的值域为．
8．求下列函数的值域:
(1)；(2).
【解析】(1)设，
所以，又在上是增函数，
所以，即，
所以函数的值域为.
(2)因为，
所以能取到所有正实数. 对于，在时值域为，
所以函数的值域为.
9．定义在上的奇函数，已知当时（）．
(1)求在上的解析式；
(2)若存在时，使不等式成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)根据题意，是定义在上的奇函数，
则，得．经检验满足题意：故；
当时，，
当时，，．
又是奇函数，则．
综上，当时，．
(2)根据题意，若存在，使得成立，
即在有解，即在有解．
又由，则在有解．
设，解析可得在上单调递减，
又由时，，故．
即实数m的取值范围是．
10．已知函数（且）在上的最大值为3.
(1)求实数a的值；
(2)若，求函数的值域.
【解析】(1)当时，在上单调递减，
所以，所以，所以，
当时，在上单调递增，
所以，所以，所以
综上，或.
(2)若，求函数的值域，因为，所以，
所以，
令，所以函数的值域与函数的值域相同，
所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在时，所以函数的值域为.
11．已知：变量满足不等式.
(1)求变量的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求函数的最大值和最小值.
【解析】(1)，解得，
∴的取值范围为.
(2)令，，则，.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
12．已知．
(1)设，求t的最大值与最小值；
(2)求的值域．
【解析】(1)因为函数在区间[2，4]上是单调递增的，
所以当时，，
当时，．
(2)令，则，
由（1）得，因为函数在上是单调增函数，
所以当，即时，；当，即时，，
故的值域为.
13．（1）已知x满足时，求函数的值域
（2）已知，求函数的值域
【解析】（1）由不等式，则，解得，
设，
当时，可得；当时，可得，
又由在定义域上单调递增，所以，
即函数的值域为.
（2）由，可得，
又由
，
当时，函数取得最小值，最小值为；
当时，函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域.