新高考数学二轮复习函数培优专题19 函数中的数列问题（含解析）

专题19  函数中的数列问题

一、单选题

1．对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，，为数列的前n项和，则（       ）

A． B．

C． D．

【解析】由题意，当，，时，均有，故可知：

.

故选：A

2．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（       ）．

A． B． C．14 D．16

【解析】是函数的两个不同零点，所以，

由于数列是等比数列，所以.故选：C

3．若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

【解析】由，，成等差数列，可得，

所以，

所以二次函数的图象与轴交点的个数为1或2.故选：D.

4．已知数列中，前项和为，点在函数的图象上，则等于（       ）

A． B． C． D．

【解析】点在函数的图象上，则，

当时，则，

当时，，满足.故选：A

5．等差数列{an}中，a2+a5+a8=12，那么函数x2+（a4+a6）x+10零点个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

【解析】根据等差数列的性质只，，故二次函数对应的判别式，所以函数有两个零点，故选C.

6．已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝（  ）

A． B． C．45 D．55

【解析】函数图像如图所示，y=x-1与该函数的交点的横坐标是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，求和得45

7．若数列为等比数列，则称为等比函数.下列函数中，为等比函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】因为，所以不是常数，A错误；

因为，所以，不是常数，B错误；

因为，所以，

所以数列为等比数列，故为等比函数，C正确；

因为，所以，不是常数，D错误.

故选：C

8．在等差数列中，a2，a2020是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则的值为（       ）

A．－3 B．－ C．3 D．

【解析】因为，a2，a2020是该函函数的两个不同的极值点，

故可得a2，a2 020是方程的两个不等实数根，

故，又是等差数列，故可得，

故.故选：B.

9．已知函数，且，则等于（       ）

A． B． C． D．

【解析】对任意的，，

因此，.故选：C.

10．已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，

函数在上为增函数，可得，可得，

且有，即，即，解得或.

综上所述，.故选：C.

11．设函数，，若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（       ）．

A． B． C． D．

【解析】因为数列是单调递减数列，

所以只需且，即且，

故实数k的取值范围为．故选：C．

12．已知数列为等比数列，其中，，若函数，为的导函数，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】，，为等比数列，，

，

则.故选:C.

13．已知函数的图象过点，且，．记数列的前项和为，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】由，可得，解得，则，

∴，

∴.

故选：D.

14．已知函数，数列是公差为1的等差数列，且，若，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为，，所以，，

所以数列是公比为的等比数列，

所以，所以，

所以，故选：D

15．已知是定义在上的偶函数，令，若是的等差中项，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】令，则，

是的等差中项，，，

.

故选：B.

16．若函数，则称f（x）为数列的“伴生函数”，已知数列的“伴生函数”为，，则数列的前n项和（       ）

A． B．

C． D．

【解析】依题意，可得，所以，即，

故数列为等比数列，其首项为，公比也为2，

所以，所以，所以，

所以.

令，

则，

两式相减，得，

所以，所以.故选：C.

17．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（       ）

A． B． C． D．

【解析】

，由，可得，当时，，

故函数的图象关于点对称，

由等差中项的性质可得，

所以，数列的前项和为.故选：D.

18．已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】函数，数列满足，

，，

，，，

，

，且，可知数列为递增数列，

所以，因此，，，使得恒成立

整数的最小值是2，故选：A

二、多选题

19．已知函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（       ）

A．是单调递增函数 B．图像是中心对称图形

C．， D．

【解析】对于A：，所以是单调递增函数.故A正确；

对于B：设存在对称中心为，则，

所以，即对任意x都成立，

所以只需.不妨取，符合题意.

所以为的一个对称中心.故B正确；

对于D：因为，所以.

即.

因为的值不含π，所以只需： .所以.故D正确；

对于C：数列为等差数列，且公差不为0，所以，解得：.故C错误.

故选：ABD

20．已知函数，则(   )

A．，，成等差数列 B．，，成等差数列

C．，，成等比数列 D．，，成等比数列

【解析】A：，，

则，由等差中项的应用知，

成等差数列，所以A正确；

B：，，，

则，由等差中项的应用知，

成等差数列，所以B正确；

C：，，

则，，成等差数列，又，所以C错误；

D：，，，

则，由等比中项的应用知，

成等比数列，所以D正确.

故选：ABD.

21．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数x，y都有，若数列的前n项和为，且满足，则下列正确的是（       ）．

A． B． C． D．

【解析】由题意，知，又，

∴，，两式相减得．

又时，，∴，

∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴．故选：AD

22．数列的各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（       ）

A．

B．数列是等比数列

C．数列是等比数列

D．

【解析】对函数求导得，

故函数在点处的切线方程为，即，

由已知可得，

对任意的，，则，即，

所以，，

所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，B对；

，A对；

且，故数列不是等比数列，C错；

由上可知，因为，且，则，

即，所以，且，故数列是等比数列，且首项为，公比为，

因此，，D对.

故选：ABD.

23．等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差，和是函数的极值点，则下列说法正确的是（       ）

A．－38 B． C． D．

【解析】由题得，令，又因为公差，所以,，所以，经计算，.所以，故选：ACD.

三、填空题

24．等比数列中，，，函数，则______．

【解析】因为，，所以，所以（舍负），

设，则，

所以，所以.

25．已知对任意，函数满足，设，且，则_____________．

【解析】因为，

所以，两边平方得，

即，因为，

所以，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，

所以，解得或（舍去），所以，

26．已知是函数，的一个零点，令，，为数列的前项和，则___________.

【解析】因为为的零点，则，

，，所以，

所以，

所以，

．

27．已知函数有两个零点1和2，若数列满足：，记且，则数列的通项公式＝________．

【解析】由题意得：的两个根为1和2，由韦达定理得：，，

所以，则，所以，因为，

所以，所以为等比数列，公比为2，首项为3，

所以.

28．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.

【解析】由于是递增数列，所以.

所以的取值范围是.

29．已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则___________.

【解析】当时，，即，；

当时，，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：

与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，

故，故，

.

30．已知等差数列满足，函数，，则数列的前项和为______．

【解析】∵等差数列满足，∴，即．

∵函数，∴，∴

，

∴数列的前项和为．

四、解答题

31．设数列的前项和为，点均在函数的图象上.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设是数列的前项和，求使对所有都成立的最小正整数.

【解析】(1)依题意，＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，

n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.  

当n＝1时，a1＝S1＝1符合上式， 所以an＝6n－5(n∈N＋)

又∵an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6，

∴{an}是一个以1为首项，6为公差的等差数列.

(2)由(1)知，＝＝

故Tn＝ [(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝ (1－)

因此使得 (1－)< (n∈N＋)成立的m必须且仅需满足≤，

即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10

32．已知数列和中，数列的前项和记为. 若点在函数的图像上，点在函数的图象上.

(1）求数列的通项公式；

(2）求数列的前项和记为.

【解析】（1）由已知得，

因为当时，；

又当时，，所以；

（2）由已知得，所以，

所以，

，

两式相减可得，

整理得.

33．函数的部分图象如图所示，

（1）求函数的解析式；

（2）已知数列满足，且是与的等差中项，求的通项公式.

【解析】（1）由图象可知，，

从而.又当时，函数取得最大值，

故，∵，∴，

∴，

（2）由已知数列中有：，，

设递推公式可以转化为

即.故递推公式为，

令，则，且.

所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，

所以.

34．已知点（）在函数的图象上，．

（1）证明：数列为等差数列；

（2）设，记，求．

【解析】（1）∵点在函数的图象上，

∴，并且，即，

整理得（，）．∵，∴，

∴数列是以1为首项、1为公差的等差数列．

（2）由（1）知，∴，

∵，∴，∴，

∴．

35．已知函数对任意实数p，q都满足，且．

(1)当时，求的表达式；

(2)设（），是数列的前n项和，求．

(3)设（），数列的前n项和为，若对恒成立，求最小正整数m．

【解析】(1)依题意，当时，，而，

则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.

(2)由（1）知，

，，

两式相减得，所以.

(3)由（1）知，，于是得，

因此，，

则，

依题意，，解得，

所以最小正整数m的值是2012.

36．已知函数，数列满足，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，，，若对一切都成立，求最小的正整数的值．

【解析】(1)因为，

所以是以为首项，为公差的等差数列，所以．

(2)当时，，

当时，上式同样成立，故．

所以．

因为对一切都成立，即对一切都成立，

又随着n的增大而增大，且，

所以，所以，所以最小的正整数的值为．