新高考数学二轮复习函数培优专题22 函数及其性质（含解析）

专题22  函数及其性质（2020-2022年真题练）

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（       ）

A． B．  C． D．

【解析】令，

则，所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.故选：A.

2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（       ）

A． B． C． D．

【解析】设，则，故排除B;

设，当时，，

所以，故排除C;

设，则，故排除D.故选：A.

3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（       ）

A． B． C．0 D．1

【解析】因为，令可得，，所以，

令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．

因为，，，，，所以

一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．故选：A．

4．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为的图像关于直线对称，所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

代入得，即，

所以，.

因为，所以，即，所以.

因为，所以，又因为，

联立得，，

所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以

因为，所以.

所以.

故选：D

5．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（       ）

A． B．  C． D．

【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.故选：B.

6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.

7．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（       ）

A． B． C． D．

【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

8．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.故选：D.

9．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题意可得：，

而，故.故选：C.

10．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题意可得，

对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

11．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.故选：B.

12．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

，

所以．

思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数的周期．

所以．故选：D．

13．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，

等价于对于任意两个不相等的实数，总有.

所以函数一定是增函数.故选：C

14．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B

15．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】当时，，所以在上递减，

是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B

16．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.故选：A.

17．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（       ）．

A． B．

C． D．

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.故选：D.

18．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）

A．B．C． D．

【解析】因为，则，

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项CD错误；

且时，，据此可知选项B错误.故选：A.

19．（2020·全国·高考真题（文））设函数,则（       ）

A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，

所以函数为奇函数．

又因为函数在上单调递增，在上单调递增，

而在上单调递减，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．

20．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：或或，解得或，

所以满足的的取值范围是，故选：D.

21．（2020·全国·高考真题（理））设函数，则f(x)（       ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.

二、多选题

22．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为，均为偶函数，

所以即，，

所以，，则，故C正确；

函数，的图象分别关于直线对称，

又，且函数可导，所以，

所以，所以，

所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

三、双空题

23．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．

【解析】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．

由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，

在定义域内满足，符合题意．

故答案为：；．

24．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．

【解析】由已知，，所以，

当时，由可得，所以，

当时，由可得，所以，

等价于，所以，

所以的最大值为.

25．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．

【解析】若时，，∴；

若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；

若时，当时，单调递减，，

当时，

∴或，解得，

综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1

四、填空题

26．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．

【解析】因为，所以，解得且，故函数的定义域为；

27．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________

【解析】因为为奇函数，所以，且，

又关于直线对称，所以，所以，

则，所以函数是以4为周期的周期函数，

作出函数和的图像如图所示：

由的正数解依次为、、、、、，

则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，所以.

28．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．

①；②当时，；③是奇函数．

【解析】取，则，满足①，

，时有，满足②，

的定义域为，又，故是奇函数，满足③.

故答案为：（答案不唯一，均满足）

29．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.

【解析】，故，

30．（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________

【解析】因为，，所以， ，

因为为奇函数，所以，由，得，

因为，所以.

31．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.

【解析】因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，故，

32．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

【解析】表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

五、解答题

33．（2021·湖南·高考真题）已知函数

（1）画出函数的图象；

（2）若，求的取值范围.

【解析】（1）函数的图象如图所示：

（2），

当时， ，可得：，

当，，可得：，

所以的解集为：，

所以的取值范围为.

34．（2021·江苏·高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.

(1) 求实数的值；

(2) 求的值；

(3) 求函数的解析式.

【解析】(1) 由直线过定点可得：，由，解得，

所以直线过定点.又因为时，，

所以，有，.

(2) ，因为为偶函数，所以，

所以.

 (3) 由(1)知，当时，.

当时，，，

又为偶函数，所以，

综上可知，.

35．（2021·全国·高考真题（文））已知函数．

（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．

【解析】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

36．（2020·山东·高考真题）已知函数.

（1）求的值；

（2）求，求实数的取值范围.

【解析】（1）因为，所以，因为，

所以.

（2）因为，则，

因为，所以，即，解得.