新高考数学二轮复习函数培优专题20 函数嵌套问题（含解析）

专题20  函数嵌套问题

一、单选题

1．已知函数，则方程的根个数为（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【解析】令，即根的个数，

设，所以，即或，解得或，

即或，即或，解得；

或或，无符合题意的解.

综上所述：程的根个数为个.故选：A.

2．已知函数则函数的零点个数为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】作出的图象，如图所示：

则的值域为，求的零点，即求，即，对应方程的根.

设，则，则等价于，如图所示：

有3个交点，则有三个解，

当时，有，解得或，

当时，有，解得或（舍）

故的值分别为，，，则对应解如下图

对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T，

综上所述：的零点个数为个.故选：D

3．已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

【解析】由题意可知，对任意的，都有.

则为定值.设，则.

又由，即.可解得.则，

∴.∴.

令，，

故在上单调递增，又由，.

故的唯一零点在区间之间.则方程的解在区间上.故选:A.

4．已知函数，则函数的零点个数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】令，当时，且递增，此时，

当时，且递减，此时，

当时，且递增，此时，

当时，且递增，此时，

所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：

由图知：与有两个交点，横坐标、：

当，即时，在、、上各有一个解；

当，即时，在有一个解.

综上，的零点共有4个.选：B

5．已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为，由可得，

所以，关于的方程、共有个不同的实数解.

①先讨论方程的解的个数.

当时，由，可得，

当时，由，可得，

当时，由，可得，

所以，方程只有两解和；

②下面讨论方程的解的个数.

当时，由可得，可得或，

当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，

当时，由可得，

因为，由题意可得或或，解得或.

因此，实数的取值范围是.故选：B.

6．函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（       ）

A． B． C． D．

【解析】作出函数的图像如下所示，当，时，，所以时递增，

当时递减，所以当时，

在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；

因为，即，解得或，

当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，

要使关于的方程恰有四个不同的实数根，

则需要与图像有三个不同交点，只需要，即.故选：D.

7．已知函数，若函数与的图象恰有8个不同公共点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】当 时， ，，

由时，，得单调递减，由时，，得单调递增，

故时，；

当时，，

由时，，得单调递减，

由时，得单调递增，

所以时，有极大值，当时，，

作出的大致图象如图：

函数与的图象恰有8个不同公共点，

即方程有8个不同的根，

令 ，根据其图象，讨论有8解情况如下：令，

当 在有两个解时，满足题意，即 ，解得 ，故选：A.

8．定义在上的函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】作出函数的图象，如图所示，

令，由图象可知，当时，方程有3个根，

当或时，方程有2个根，

则方程等价于，

因为方程恰有个不同的实数解，

所以等价于方程有两个实数解，或，或，

可得这5个根也关于直线对称，

所以，所以，故选：D

9．设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【解析】画出函数的图象如下图所示，

令，则方程可化为.

由图可知：当时，与有个交点，

要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，

则方程在内有两个不同实数根，

∴，解得，∴实数的取值范围为.故选：B

10．已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】作出的图像如图所示，由的图像可知，

的极大值为，极小值为，

有9个零点，令，结合和的图像可知，

有3个解，分别设为，且，

且每个对应都有3个满足，欲使有9个零点，由图可知：，

且，，，由函数的解析式知：

，，，由图像可知，

，则，解得，得，故选：A.

11．已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．或

C．或或 D．或

【解析】依题意函数的零点即为方程的根，

①当时函数的函数图象如下所示：

所以有两个根，（，），

而对应2个根，所以需要对应3个根，所以，即，解得；

②当时函数的函数图象如下所示：

所以有两个根，（，），而对应2个根，

对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；

③当时函数的函数图象如下所示：

所以有三个根，，，

从而，，，所对应2、2、1个根，即共5个根，所以满足题意；

④当时函数的函数图象如下所示：

所以有三个根，，，（，，），

而，，分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意；

综上可得实数的取值范围为或；故选：D

12．已知函数（e为自然对数的底数），函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（       ）．

A． B．

C． D．

【解析】由题设，且方程的根分别为、，

当时，在、上，在上，

所以在、上递增，在上递减，则极大值，极小值，

在各单调区间上恒有；

当时，在上，在上，

所以在上递减，在上递增，且，；综上，的图象如下：

显然时有一个解，而原方程共有2个实数根，

所以，由图知：，即.故选：D

二、多选题

13．已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】∵，∴，，∴.

设，∵，，在上先增后减，

∴.∵，∴，，

∴，∴.∵，∴

设，∵，，在上先增后减，

∴.∴.故选：BC.

14．已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是则下列说法正确的有（       ）

A． B． C． D．可以取到3

【解析】由题设，，其函数图象如下：

而的对称轴为且，即，

所以必有两个零点、分别在的两侧，

由上图知：且，满足原方程有四个实根，

故，则，D正确；

所以：；且；

：；且：.；

所以且，则，

故A、C错误，B正确.

故选：BD

15．已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（       ）

A． B． C． D．

【解析】令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的图象共有5个交点，且（不妨设）.则解得.故选：BCD

16．已知函数若关于x的方程有6个不同根，则整数m的取值可能是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】作出函数f(x)的图象如图：

关于的方程有6个不同根，令，，

即方程有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上.

令，若在上和上各有一个不同的零点，

所以，解得，所以整数的取值可以是-3，-2，-1，0，1，2，3，4.

若在有两个不同的零点，所以，该不等式组无解，故选：ABC

17．设函数，集合，则下列命题正确的是（       ）

A．当时，

B．当时

C．若集合M有三个元素，则k的取值范围为

D．若（其中），则

【解析】A：时，或，结合解析式：时有或，

时有，所以，正确；

B：时，由，知方程无解，则，正确；

由解析式可得其函数图象如下图示：

令，开口向上且对称轴为，

若，则，即，有以下情况：

1、，：

此时，令，则在上有一个零点，

∴，可得，

2、，，由A知：.

综上：，故C错误；

若，由函数的性质及图象知：必有，.

此时，，，

所以，，所以，故D正确.

故选：ABD

18．若，则关于的方程的实数解的个数可能为（       ）

A． B． C． D．

【解析】由已知，作出函数图象如图所示，

又，所以或，因为，有个实数解，

当，即时，无解，共有个实数解；

当，即，，共有个实数解；

当，即时，有个实数解，共有个实数解；

当，即时，有个实数解，共有个实数解；

当，即时，有个实数解，共有个实数解；

故选：ACD.

三、填空题

19．已知函数，当时，关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_______．

【解析】原方程可化为，解得，，

因为，则，，

的图象如图所示：

因为方程恰有两个不同的实数根，

所以当时，则，解得；

当时，，此时方程有三个不同的实数根，不成立；

当时，则，此时无解；

当时，则，解得；

当时，此时方程无实数根，不成立；

综上：或

20．已知函数，，若关于x的方程（）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.

【解析】令，则方程转化为，画出的图象，如图

可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，

因为恰好有6个不同的实数根，所以有2个不同的实数根，

有3个不同的实数根，则，

因为，解得，，解得，

所以，，每个方程有且仅有两个不相等的实数解，所以由，可得，即，解得；

由，可得，即， 解得；

由，可得，

即，而在上恒成立，

综上，实数λ的取值范围为.

21．已知函数.当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是_________.

【解析】等价于，

解得或，   因为，所以，，        

如图，绘出函数的图象，

方程有三个不同的实数根

等价于有一个实数解且有两个不同的实数解

或有两个不同的实数解且有一个实数解，        

①当或时，无解，不符合题意；

②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；     

③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；

④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，                                                                                  

综上，m的取值范围为.

22．已知函数，若函数（其中）有个不同的零点，则实数的取值范围是___________．

【解析】画出函数的图像，如下图所示：

设，则当时，方程有一个根，

当时，方程有两个根，

当时，方程有三个根，

当时，方程有四个根，

当时，方程有三个根，

当时，方程有两个根，

所以，若和为方程的两根时，

原函数有个不同的零点，

则得到方程组，方程组无解；

若，为方程的两根时，

原函数有个不同的零点，得不等式组，解得.

故答案为：.

四、解答题

23．已知函数．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）对任意的实数x、x，且，求证：；

（3）若关于x的方程有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．

【解析】（1）．

当时，，有，即．

当时，，有，即．

综上，函数在R上是奇函数．

（2）因为函数在上是增函数，函数在R上也是增函数，

故函数在上是增函数．

由（1）知，函数是R上的奇函数．由奇函数的单调性知，

函数在上也是增函数，从而函数在R上是增函数．

由，得，所以，即．

（3）由（1）知，函数是R上的奇函数，故原方程可化为．

令，则当时，．

原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程有两个不相等的正根，

即

因此，实数a的取值范围为．

24．已知向量（其中），，函数，当时，函数f（x）的值域为.

(1)求实数a，b的值；

(2)设函数在上有两个零点，求实数λ的取值范围；

(3)若对，都有恒成立，求实数k的取值范围.

【解析】(1)，

当时，，，

因为，所以，

依题意可得，解得.

(2)由（1）知，，

当时，函数的图象如图：

因为函数在上有两个零点，

所以在的图象与有两个交点，由图可知，.

(3)因为，

所以对任意的，都有恒成立，

设，则,即，解得.

25．已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数．

(1)求的解析式；

(2)若关于x的方程在上有三个解，求a的取值范围．

【解析】(1)因为图象相邻两对称轴之间的距离是，所以函数的最小正周期，解得，

即，

因为为奇函数，

所以，，即，，

又因为，所以，，

(2)因为，，所以，所以，

当时，解得，时，解得，

即在上单调递增，在上单调递减，且，，，函数，的图象如下所示：

因为关于的方程在上有三个解，

令，即，，

若为方程的根，此时，则，不符合题意；

依题意方程在有两不相等实数根、，不妨令，且，；

若为方程的根，此时，则，此时符合题意；

若时，令则，即，解得，

综上可得