新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题6 圆锥曲线中的定点问题（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题6 圆锥曲线中的定点问题（含解析），共27页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
专题6 圆锥曲线中的定点问题
一、考情分析
定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．
二、解题秘籍
(一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略
1．处理定点问题的思路：
(1)确定题目中的核心变量（此处设为）
(2)利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到.常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
2．处理定点问题两个基本策略：
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【例1】（2023届河南省顶级名校高三上学期月考）设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直，
的横坐标为.当时，，即.
又直线的斜率为，所以，
即，即
则，解得或（舍去），
即.
（2）已知是椭圆的上顶点，则，
由（1）知，解得，
所以，椭圆的方程为，
设直线的方程为，
联立可得，
所以，
又，



，
化简整理有，得或.
当时，直线经过点，不满足题意；.
当时满足方程中，
故直线经过轴上定点.
【例2】椭圆C的焦点为，，且点在椭圆上．过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【解析】（1）设椭圆C的标准方程为，
由已知得.
所以，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得.
设，，，则，
特殊地，当的坐标为时，，所以，，，
即，所以点B关于轴的对称点为，则直线的方程为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为.
如果存在定点Q满足条件，则为两直线交点，
，，
又因为
所以，即三点共线，故直线恒过定点，定点坐标为．
【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点，然后再根据三点共线，判断直线恒过定点，
(二) 直线过定点问题
1.直线过定点问题的解题模型

2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点.
【例3】（2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测（一））已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
【解析】（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，
设点，则，
所以，直线的垂线的斜率为，
故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，，
即，①
又因为，所以，，②
将②代入①可得，即，
，则，所以，直线过定点.

(三) 圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为
【例4】（2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）已知椭圆的右焦点为，与轴不重合的直线过焦点，与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，，的延长线分别交直线于，两点，证明：以为直径的圆过定点.
【解析】（1）椭圆的右焦点，则半焦距，
当轴时，弦AB为椭圆的通径，即，则有，即，
而，于是得，又，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）依题意，直线不垂直于y轴，且过焦点，设的方程为，，，
由得，，，
因点，则直线的方程为，令，得，
同理可得，于是有，
则
，
因此，，即在以为直径的圆上，
所以以为直径的圆过定点.
(四) 确定定点使某个式子的值为定值
求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.
【例5】（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断）如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知知，解得，
所以椭圆方程为；
（2）假设存在满足题意，
设，，，
①当直线与轴不垂直时，设：，
代入并整理得
∴，



　　（*）
（*）式是与无关的常数，则
解得，此时为定值；
②当直线与垂直时，，，，
也成立，
所以存在定点，使得为定值．
(五) 与定点问题有关的基本结论
1.若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
2. 若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；
3.设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点.
4.设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点；
5.过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
6.过双曲线的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；
7.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点；
8. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点.
【例6】（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点在椭圆：（）上，且点到椭圆右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【解析】（1）点，在椭圆：（）上代入得：，
点到椭圆右顶点的距离为，则，
解得，，
故椭圆的方程为．
（2）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为（），，，．
联立得．
．
∴，，
∵直线与直线斜率之积为．
∴，
∴．
化简得，
∴，
化简得，解得或．
当时，直线方程为，过定点．
代入判别式大于零中，解得（）．
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．
综上所述：直线过定点．
【例7】（2022届海南华侨中学高三上学期月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.
【解析】（1）由题意可得，解得
所以椭圆的方程为.
（2）设.
①当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得.
由，得.
所以．
所以，
即，所以，即，
所以，所以，所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，，则，所以，则直线也过定点.
综合①②，可得直线过定点.
三、跟踪检测
1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．

(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由题意得，所以，
即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线，即：；
（2）由已知得：，：，
联立直线方程与双曲线方程，
由韦达定理得，所以，即，
所以，
联立直线方程与圆方程，
由韦达定理得，所以，即，
因为，即，所以，
若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，
由三点共线得，
即，
所以直线过定点．
2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆：（）的离心率为．圆（为坐标原点）在椭圆的内部，半径为．，分别为椭圆和圆上的动点，且，两点的最小距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)，是椭圆上不同的两点，且直线与以为直径的圆的一个交点在圆上．求证：以为直径的圆过定点．
【解析】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
由圆的性质，
当点在椭圆上运动时，当处于上下顶点时最小，故，即
依题意得，解得，
所以的方程为.
（2）因为直线与以为直径的圆的一个交点在圆上，
所以直线与圆相切.
（i）当直线垂直于轴时，不妨设，，
此时，所以，故以为直径的圆过点.
（ii）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，，.
因为与圆相切，所以到直线的距离，
即.
由得，
所以，


，
所以，故以为直径的圆过点.
综上，以为直径的圆过点.
3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）由题意点在双曲线上，离心率
可得； ，解出，，
所以，双曲线的方程是
（2）①当直线的斜率不存在时，则可设，
代入，得，
则，
即，解得或，
当时，，其中一个与点重合，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，
所以

所以，，
即,
整理得，
即，
所以或，
若，则，直线化为，过定点；
若，则，直线化为，它过点，舍去
综上，直线恒过定点
4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．
【解析】（1）由，可得，
代入．
解得或（舍），
所以抛物线的方程为：．
（2）由题意可得，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，设，
由，得，从而，
则．
所以，
，
∵，
∴，
故，
整理得．即，
从而或，
即或．
若，则，过定点，与Q点重合，不符合；
若，则，过定点．
综上，直线过异于Q点的定点．
5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）设，，显然直线l的斜率存在．

直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
即，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设，，直线l的方程为，
联立方程组消去x得，
由，得或，所以，．
因为点，则直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为
，
此时直线AD恒过点（1,0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，则不妨令点，
，而点O到直线AB的距离为m，因此，解得，
所以．
（2）由（1）知，双曲线C的方程为，右焦点，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点，直线l的方程为，
设，则，由消去y并整理得，
显然有且，化简得且，
则，，
而，F，N三点共线，即，则，
因此，又，有，
整理得，于是得，化简得，
即直线：，过定点，
所以直线l经过x轴上的一个定点．
7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【解析】（1）由线段RS长度的最小值为，得，
又，所以，解得
所以C的标准方程为．
（2）由，
可知PF平分，∴．
设直线AB的方程为，，，
由得，
，即，
∴，，
∴，
∴，∴，
整理得，∴当时，上式恒为0，
即直线l恒过定点．
8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的左焦点作弦，，这两条弦的中点分别为，，若，证明：直线过定点．
【解析】（1）由题设，又，，
若内切圆半径为，则外接圆半径为，
所以，即，
，而，即，
综上，，即，可得，
所以，，则.
（2）当直线斜率都存在时，令为，联立，
整理得：，且，
所以，则，故，
由，即，故为，联立，
所以，有，则，故，
所以，则为，整理得，
所以过定点；
当一条直线斜率不存在时对应，故即为x轴，也过定点；
综上，直线过定点．
9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）（i）当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，
综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C：的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得
（2）设，可知直线l斜率存在；设l：，
联立方程得：，所以，
所以，
又：



，
令，解之得：，即，此时
11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.
(1)当时，求；
(2)在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设直线的方程为，，，
联立，得，
又因为，所以，
解得，，
所以，
即.
（2）假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值.
设直线的方程为，
联立，得，
则，，所以.
所以.
要使为定值，则，
解得或（舍去），此时.
故在轴上存在异于的定点，使得为定值.
【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线的焦点为，点 在上，且．
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设动直线与相交于两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
【分析】(1)利用抛物线定义求出，进而求出p值即可得解.
(2)设出直线的方程，再联立直线l与抛物线C的方程，借助韦达定理探求出m与n的关系，再根据求解.
【解析】（1）抛物线的准线：，于是得，解得，
而点在上，即，解得，又，则，
所以的坐标为，的方程为.
（2）设，直线的方程为，
由消去x并整理得：，则，，，
因此，，
化简得，即，代入方程得，即，则直线过定点，
所以直线过定点.
13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
【解析】（1）根据题意，由对称性得为等腰直角三角形，且，
因为的面积等于，所以，即，
因为椭圆的离心率等于，即，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）得，
设直线的方程为，，
因为点关于轴的对称点在直线上，
所以直线与直线的斜率互为相反数，即，
因为，所以，
整理得
又因为，所以，
由消去得
所以，即，
所以，
整理得
由于，故解方程得，
此时直线的方程为，过定点
所以直线恒过定点.
14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
（1）设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；
（2）若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
【解析】（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
因为P、Q在双曲线上，
所以－＝1，－＝1，
两式作差得－＝0，
即＝，
即＝，
即k1·k2＝；
（2）因为＝，
所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，
由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，
得t＝或a(舍)，
故直线l的方程为x＝；
②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入－＝1，
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－；
因为AP⊥AQ，
所以·＝0，
即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，
即＝0，
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，
所以k＝－或k＝－；
当k＝－时，直线l的方程为y＝－x＋m，此时经过A，舍去；
当k＝－时，直线l的方程为y＝－ x＋m，
恒过定点(，0)，经检验满足题意；
综上①②，直线l过定点(，0)．
15．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证：为定值.
【解析】（1）当轴时，易得，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）①解：易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
代入抛物线C的方程，并整理得，
设，，由根与系数的关系得，.
所以，所以线段AB的中点N的坐标为，连接QM，若四边形AQBM为平行四边形，则N是QM的中点，
易知，因此，
设直线PQ的方程为，代入抛物线C的方程，整理得，
所以，
故，因此，
故可得，，
故点M的坐标为，
因此存在定点，使得四边形AQBM为平行四边形；
②证明：点到直线的距离，
由，，可得，
因此，
同理可得，
所以，为定值.