新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题10 圆锥曲线与向量的交汇（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题10 圆锥曲线与向量的交汇（含解析），共30页。试卷主要包含了考情分析，解题秘籍，跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
专题10 圆锥曲线与向量的交汇
一、考情分析
平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.
二、解题秘籍
(一) 圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略
1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为；
2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥.
3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②=(+).
4.在四边形ABCD中,若∙=0,则AB^AC;若∣+∣=∣-∣,则AB^AD;若∙=∙,则AC^BD.
5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.
6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.
7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式.
【例1】（2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考）已知两点,,动点在轴的投影为,且,记动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程.
(2)过点的直线与曲线在轴右侧相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点,试问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.
【解析】（1）设,则,,,.
因为,所以,
故的方程为.
（2）由题可知直线的斜率一定存在,且不为0,
不妨设直线的方程为,,.
联立方程组,消去整理得,
则,整理得.
,,
则线段的垂直平分线的方程为,
令,得,则,
.



则.
故是定值,该定值为.
(二) 把点共线问题转化为向量共线
此类问题通常是把点共线转化为,或点C在直线AB上.
【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆的左､右顶点分別为,右焦点为F（1,0）,且椭圆C的离心率为,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为（4,t）（t≠0）,且满足.
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：M,F,N三点共线.
【解析】（1）椭圆C的右焦点为,且离心率为,
∴a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,
∴椭圆C的方程为.
（2）由（1）知,的坐标分别为,设,
∴,,,,
∵,,
∴三点共线,三点共线,即,整理得,两边平方得,①又M,N在椭圆上,则,代入①并化简得,
又,,
∴要证M,F,N三点共线,只需证,即,只需证,整理得,
∴M,F,N三点共线.
(三) 利用向量共线求双变量的关系式
此类问题一般是给出形如的条件,确定关于的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量.
【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期检测）椭圆的方程为,过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点,椭圆的右焦点为,已知,椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若,,求证：为定值．
【解析】（1）依题可知：,,
所以,即,
解得
又∵椭圆过点,则
联立可得,
椭圆的标准方程为．
（2）设点、,,
由题意可知,直线的斜率存在,可设直线的方程为,
联立,可得,
由于点在椭圆的内部,直线与椭圆必有两个交点,
由韦达定理可得,,
,,,
得,,
,,
．
(四) 利用向量加法的几何意义构造平行四边形
若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.
【例4】（2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考）已知椭圆经过点,左焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于两点,点满足（为原点）,求四边形面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的焦距为,则,
又因为椭圆经过点,所以,
又
,,,
所以椭圆的方程为.
（2）因为,所以四边形为平行四边形,
当直线的斜率不存在时,显然不符合题意；
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
与椭圆交于,两点,
由.
由
,
,

,
令,则（由上式知）,
,当且仅当,即时取等号.
∴当时,平行四边形的面积最大值为2.
(五) 把向量的数量积转化为代数式
若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.
【例5】（2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研）已知双曲线的右焦点为为坐标原点,双曲线的两条渐近线的夹角为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线交于两点,在轴上是否存在定点,使为定值？若存在,求出定点的坐标及这个定值；若不存在,说明理由．
【解析】（1）双曲线的渐近线为,
又,,故其渐近线的倾斜角小于,而双曲线的两条渐近线的夹角为,
则渐近线的的倾斜角为,
则,即．
又,则．
所以双曲线的方程是．
（2）当直线不与轴重合时,设直线的方程为,
代入,得,即．
设点,则．
设点,则


令,得,
此时．
当直线与轴重合时,则点为双曲线的两顶点,不妨设点．
对于点．
所以存在定点,使为定值．
(六) 把垂直问题转化为向量的数量积为零
求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.
【例6】已知椭圆的右焦点为,椭圆上的点到的距离的最大值和最小值分别为和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若圆的切线与椭圆交于,两点,是否存在正数,使得？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）由题意可得,,解得,,
则,
所以椭圆方程为；
（2）假设存在正数,使得,即使得,当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,
可得,,因为,
则有,解得,
又直线为圆的切线,所以；
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,,,
联立,可得,
则,
所以,
且,
所以,
因为,
则,
所以,
整理可得,
则,
所以,
因为直线为圆的切线,
故原点到的距离为,
所以存在正数,使得．
三、跟踪检测
1.（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知双曲线E：（,）一个顶点为,直线l过点交双曲线右支于M,N两点,记,,的面积分别为S,,.当l与x轴垂直时,的值为.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若l交y轴于点P,,,求证：为定值；
(3)在（2）的条件下,若,当时,求实数m的取值范围.
【解析】（1）由题意得,,
则当l与x轴垂直时,不妨设,
由,得,
将代入方程,得,解得,
所以双曲线E的方程为．
（2）设,,,
由与,得,
即,,将代入E的方程得：,
整理得：①,
同理由可得②．
由①②知,,是方程的两个不等实根．
由韦达定理知,所以为定值．
（3）又,即,
整理得：,
又,不妨设,则,
整理得,又,故,
而由（2）知,,故,
代入,
令,得,
由双勾函数在上单调递增,得,
所以m的取值范围为．
.
2.（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为,,一个焦点为.
(1)若直线过点且与椭圆交于,两点,当时,求直线的方程；
(2)若直线过点且与椭圆交于,两点,并与轴交于点,直线与直线交于点,当点异,两点时,试问是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上,设椭圆的标准方程为,
由已知得,,所以,
椭圆的方程为,
当直线与轴垂直时与题意不符,
设直线的方程为,,,
将直线的方程代入椭圆的方程化简得,
则,,
∴,解得.
∴直线的方程为；
（2）当轴时,,不符合题意,
当与轴不垂直时,设：,则,
设,,联立方程组得,
∴,,
又直线：,直线：,
由可得,即,
,
,
,
,
,即,得,
∴点坐标为,
∴,
所以为定值.
3.（2023届四川省成都市郫都区高三上学期检测）已知椭圆的离心率为,短轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A,B两点,求的取值范围．
【解析】（1）,,
∴,
又,即,
解得：,,
椭圆的标准方程为；
（2）当直线AB的斜率不存在时,,
不妨设,则
当直线AB的斜率存在时,设,
由,
恒成立,
故,
∴

,
综上：,
故的取值范围为．
4.（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试）已知点分别是椭圆的左、右顶点,过的右焦点作直线交于两点,
(1)设直线的斜率分别为,求和的值；
(2)若直线分别交椭圆的右准线于两点,证明：以为直径的圆经过定点.
【解析】（1）由已知,,,
直线的斜率不存在时,方程为,不妨设,,
,同理,,
,,
直线斜率存在时,设直线方程为,设,
由,得,
,,
,,,

,

因为,
所以,
所以,
综上,,；
（2）由已知,,,右准线方程为,
由（1）知直线方程为,令得,同理,
由椭圆的对称性知,以为直径的圆有一个圆心轴上方的圆,则必定也有一个与之关于轴对称的圆,这两个圆的交点在轴上,以为直径的圆经过定点,这个定点必在轴上,设定点为,则,
由（1）得,
或,
所以以为直径的圆经过定点,．
5. （2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线的离心率为,点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点,问在轴上是否存在定点,使得为常数？若存在,求出点的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线的离心率为,
所以,化简得.
将点的坐标代入,可得,
解得,
所以的方程为.
（2）设,直线的方程为,联立方程组消去得（1-,
由题可知且,即且,
所以.
设存在符合条件的定点,则,
所以.
所以,
化简得.
因为为常数,所以,解得.
此时该常数的值为,
所以,在轴上存在点,使得为常数,该常数为.
6.（2023届广东省茂名市高三上学期9月联考）如图,平面直角坐标系中,点为轴上的一个动点,动点满足,又点满足.

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过曲线上的点（）的直线与,轴的交点分别为和,且,过原点的直线与平行,且与曲线交于、两点,求面积的最大值.
【解析】（1）由题意,设,,
由得,且,
由得,则,得,
代入整理得,故动点的轨迹的方程为.
（2）如图,设（）,又直线的斜率存在且,
设直线为：,
可得：,,
由,则,故,,
联立,可得：,即,
又,故直线的方程为,联立,得：,
即、的横坐标为,
,
点到直线的距离,
,
当且仅当,即时等号成立,
面积的最大值为2.
.
7.（2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考）在平面直角坐标系中, 设点, 点与两点的距离之和为为一动点, 点满足向量关系式：．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设与轴交于点(在的左侧), 点为上一动点 (且不与重合)． 设直线轴与直线分别交于点,取,连接,证明：为的角平分线．
【解析】（1）设点,,
则由点与两点的距离之和为,
可得点G的轨迹是以为焦点且长轴长为的椭圆,
其轨迹方程为,
由,可得,代入点G的轨迹方程,
可得：,
所以点的轨迹方程；
（2）设点,则,即,
,令,得,
,
则点到直线的距离为：
,
要证ER为的角平分线,只需证,
又,
,
所以,当且仅当,即时,
又在上,则,即,
代入上式可得恒成立,
为的角平分线．
8.（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断）如图,椭圆：（,,是椭圆的左焦点,是椭圆的左顶点,是椭圆的上顶点,且,点是长轴上的任一定点,过点的任一直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点,使得为定值,若存在,试求出定点的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由已知知,解得,
所以椭圆方程为；
（2）假设存在满足题意,
设,,,
①当直线与轴不垂直时,设：,
代入并整理得
∴,



　　（*）
（*）式是与无关的常数,则
解得,此时为定值；
②当直线与垂直时,,,,
也成立,
所以存在定点,使得为定值．
9．（2023届北京市第四中学高三上学期开学测试）已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点,直线、与直线分别交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为（）,
由题意,得,解得,,
即椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得,
设,,,
联立,得,
即,则,,
直线,的方程分别为,,
令,则,,
则,
,
所以



因为,所以,,
即的取值范围为.
10．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知是双曲线上不同于的两点,且于,证明：存在定点,使为定值.
【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线,
设双曲线的标准方程为
代入点坐标,解得
所以双曲线的标准方程为
（2）（i）当直线斜率存在时,设,
设,联立与双曲线,
化简得,
,即,
则有,
又,
因为,
所以,
所以,
化简,得,即,
所以,
且均满足,
当时,直线的方程为,直线过定点,与已知矛盾,
当时,直线的方程为,过定点
（ii）当直线斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE：,
与双曲线方程联立解得,此时也过点,
综上,直线过定点.
由于,所以点在以为直径的圆上,为该圆圆心,为该圆半径,所以存在定点,使为定值.
11．（2023届四川省达州市开江县高三上学期考试）已知椭圆​为椭圆​的左、右焦点,过点​的任意直线​交椭圆​于、​两点,且的周长为8,椭圆​的离心率为​.
(1)椭圆​的方程；
(2)若​为椭圆​上的任一点,​为过焦点​的弦,且​,求​的值.
【解析】（1）由题意可知, ​的周长为
​.
所以​,又​,
所以​,则​,
所以椭圆​的方程为​.
（2）不妨令​.
所以​,即.
当​时,不妨设直线​为​,其中​.
直线​为​,其中​.
联立方程​,
得​.
所以​,即​.
同理可得：​.
又​.
所以​.
则​
​
​
​
​
​
​,
综上所述,​.
12．（2022届上海市普陀区高三一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍,设点的轨迹为曲线,直线与交于、两点,点是线段的中点,、是上关于原点对称的两点,且.
（1）求曲线的方程；
（2）当时,求直线的方程；
（3）当四边形的面积时,求的值.
【解析】（1）由题意可得,化简可得,
因此,曲线的方程为.
（2）设点、,联立,可得,
,
由韦达定理可得,,
则,,
所以点的坐标为,
因为,可得点,
将点的坐标代入曲线的方程得,解得,
因此,直线的方程为.
（3）由（2）可得,则点,
则点,
因为点在曲线上,则,可得,因为,则,
点到直线的距离为,
点到直线的距离为,
,
所以,,
因为,解得.
13．(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆的焦点恰为椭圆长轴的端点,且的短轴长为2
（1）求椭圆的方程．
（2）若直线与直线平行,且与交于,两点,,求的最小值．
【解析】（1）由椭圆,可得其长轴的端点分别为,
根据题意,可得,解得,
故的方程为．
（2）设直线的方程为,
联立方程组,整理得,
设,,则,,
且,解得且
所以


因为,其中且,
所以当时,取得最小值,且最小值为,
故的最小值为．
14．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线与椭圆：相交于,两点,与轴交于点,若存在使得,求的取值范围.
【解析】（1）设,则,
所以可得动点P的轨迹C的方程为.
（2）设又,由得
,
联立可得
,
即,且,
又,则,
,
代入得,
,解得.
的取值范围是
15.（2022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考）已知点是已知椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,当时,面积达到最大,且最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的取值范围.
【解析】（1）由题可知,当点在短轴端点时,△PF1F2的面积最大,且为正三角形,
,又,由,解得,
所以椭圆的标准方程为.
（2）设,则由,
可得,即,
,
又因为,所以四边形是平行四边形,
设平面四边形的面积为S,
则.
设,则,
所以
因为,而对勾函数在上单调递增,所以,
所以.
所以四边形面积的取值范围为.
16．（2022届四川省成都市高三上学期期中）已知椭圆的左顶点为,右焦点为,过点作斜率为的直线与相交于,,且以为直径的圆过点,其中为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若,过点作与直线平行的直线,与椭圆相交于,两点.
①求的值；
②点满足,直线与椭圆的另一个交点为,求的值.
【解析】（1）依题意,如图,,,,,,则,

而点B在椭圆上,于是得：,整理得,即,,
所以椭圆的离心率.
（2）①由(1)及得,,椭圆的方程为,而直线与直线平行,
则直线的方程为,,,由消去x得：,显然
于是得,,
所以.
②因,由①得,设,,
则,,,
,即,解得,
而,,都在椭圆上,即,,,,
整理得：,
由①可知,则有,解得,
所以的值是.
17．（2022届广东省江门市高三上学期10月月考）设分别是平面直角坐标系中轴正方向上的单位向量,若向量,,且,其中.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线与轨迹交于,两点,设,是否存在直线,使得四边形是矩形？若存在,求出直线的方程；若不存在,试说明理由.
【解析】（1）由题意得,,
,,
设,,则动点M满足,
由椭圆的定义可知动点M的轨迹是以,为焦点的椭圆,
设椭圆的方程为,则,,
,
故轨迹的方程为
（2）存在满足条件的直线.设直线的方程为,
由方程组,消去,整理得：
则恒成立,即直线与椭圆恒有两个不同的交点,
设交点为,,则①,②
由得,即,∴四边形OAPB为平行四边形
若存在直线使四边形OAPB为矩形,则,
即③
将①､②代入③式得：,解得,
所以直线的方程为,此时四边形OAPB为矩形.
18.过双曲线Γ：的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A,B两点,设Γ的右焦点为F2.
(1)若是边长为4的正三角形,求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l,使得,求Γ的离心率的取值范围.
【解析】（1）依题意,结合双曲线的对称性得,,
所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2,a＝1,,,b2＝c2－a2＝2,
此时Γ的标准方程为.

（2）依题意知直线l的斜率不为0,设l的方程为x＝my－c,
联立,消去,得,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,
由AF2⊥BF2得,故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0,即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0,
整理得,即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0,
则(m2＋1)b4＝4a2c2,所以,故4a2c2≥(c2－a2)2,
所以c4＋a4－6a2c2≤0,两边除以,得e4－6e2＋1≤0,解得,
又因为e>1,所以,故,
又A,B在左支且l过F1,所以y1y2