吉林省四校联考2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023-2024学年度上学期第一次月考

高二数学试题

本试卷满分150分，共4页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

2．若直线：与直线：的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．或

3．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ）

A．2 B．-2或1 C．-1 D．-1或2

4．当点到直线的距离取得最大值时，（    ）

A．2 B． C．-2 D．-4

5．已知三棱柱的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，，若和相交于点M．则（    ）

A． B．2 C． D．

6．已知x、y满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．直线与圆相交于P，Q两点．若，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题共给出四个选项，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．）

9．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若在上的投影向量为，则

D．若与夹角为锐角，则

10．已知点，，且点P在直线l：上，则（    ）

A．存在点P，使得 B．存在点P，使得

C．的最小值为 D．的最大值为

11．设直线l：与圆C：，则下列结论正确的为（    ）

A．l可能将C的周长平分

B．若圆C上存在两个点到直线l的距离为1，则k的取值范围为

C．若直线l与圆C交于A，B两点，则面积的最大值为2

D．若直线l与圆C交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为

12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙口发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（    ）

A．椭圆C的蒙日圆方程为

B．记点A到直线l的距离为d，则的最小值为

C．一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6

D．椭圆C的蒙日圆方程为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知经过椭圆的右焦点的直线AB交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______．

14．已知A，B为圆O：上的两点，，M为AB的中点，则M到直线l：距离的最小值为______．

15．已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．

16．已知椭圆C：的离心率为，F是左焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于点A，B．设M，N分别是AF和BF的中点，O为坐标原点，若，则的面积为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）已知，．

（1）若，求值；

（2）若，求实数k的值．

18．（本小题满分12分）椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且短轴长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．

19．（本小题满分12分）已知圆M过，两点，且圆心M在上，

（1）求圆M的方程；

（2）设P是直线上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

20．（本小题满分12分）已知点，圆：，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）直线l与曲线C交于M、N两点，且MN中点为，求直线l的方程．

21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．

（1）证明：平面平面BCP．

（2）若，二面角的余弦值为，求PD与平面BDF所成角的正弦值．

22．（本小题满分12分）已知椭圆E；的离心率为，记E的右顶点和上顶点分别为A，B，的面积为1（O为坐标原点）

（1）求E的方程；

（2）已知，过点D的直线与椭圆E交于点M，N（点M在第一象限）过点M垂直于y轴的直线分别交BA，BN于P，Q，求的值．

2023-2024学年度上学期第一次月考

高二数学答案

1．【答案】C【详解】由题意知椭圆的标准方程为，

且，所以，所以，

又，所以可得，，

因此椭圆的标准方程为．

2．【答案】C【详解】由题意知，直线：过定点，斜率为k，直线与x轴、y轴分别交于点，．若直线l₁与l₂的交点在第一象限内，则必过线段AB上的点（不包括点A，B）．因为，，所以．故A，B，D错误．故选：C．

3．【答案】A【详解】因为两直线：，：平行，可得且，解得或，当时，：，：，即：，可得两平行线间的距离为，符合题意；当时，：，：，即：，可得两平行线间的距离为，不符合题意，舍去．故选：A．

4．【答案】C【详解】将直线转化为，

联立方程组，解得，所以直线经过定点，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时，解得．故选：C．

5．【答案】D【详解】依题意可知M是的中点，

所以

所以

．

故选：D

6．【答案】B【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为1，记点，则，如下图所示：

当点P为直线OC与圆C的交点，且点C在线段OP上时，取最大值，即，

因此，的最大值为。故选：B．

7．【答案】C【详解】若，

则圆心到直线的距离，即，解得，故选：C．

8．【答案】A【详解】如图设，F分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于A，B，连接，AF，，BF．

根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形．

由椭圆的定义有：，，，

由余弦定理有：

即

所以

当且仅当时取等号，又的斜率存在，故A，B不可能在y轴上．

所以等号不能成立，即即，所以，故选：A

9．【答案】ABD【详解】对于A：∵，∴，

即：，

解得：．故A选项正确；

对于B：∵，

∴

∴，解得：．故B选项正确；

对于C：在上的投影向量为：，

即，代入坐标化简可得：，x无解，故C选项错误；

对于D：∵与夹角为锐角，

∴，解得：；

且与不共线，即，，解得：，

所以与夹角为锐角时，解得：．故D选项正确；故选：ABD．

10．【答案】BCD【详解】对于A，由，AB的中点坐标为，所以以AB为直径的圆的方程为，而该圆心到直线l：的距离，故A错误；

对于B，设，则满足的动点P的方程为，化简得，则圆心到直线l的距离，故B正确；

对于C，因为关于的对称点为，

所以有，解得，，即，

所以，故C正确；对于D，（当且仅当A，P，B三点共线时，等号成立），故D正确．故选：BCD

11．【答案】BC

【详解】对于A，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，Ａ错误；

对于B，若圆C上存在两个点到直线l的距离为1，则C到直线l的距离d满足，

所以，解得或，B正确；

对于C，，

当时，的面积有最大值2，C正确；

对于D，易知直线l经过定点，所以，所以M点的轨迹以OP为直径的圆，

其方程为，又因为M点在圆C内，由，解得，

所以M点的轨迹方程为，D错误．故选：BC．

12．【答案】AC【详解】

对于A，当直线MA，MB一条斜率为0，另一条斜率不存在时，则；

当直线MA，MB斜率均存在时，设，切线方程为：，

由得：，

由整理可得：，∴，

又，∴，即，∴，

∴M点轨迹为；

将检验，满足，

∴蒙日圆的方程为，A正确；D错误．

对于B，∵A为椭圆C上的点，∴，

∴；

∵的最小值为点到直线l的距离，又，

∴，∴，B错误；

对于C，∵矩形四条边均与C相切，∴该矩形为蒙日圆的内接矩形，

设矩形的长为m，宽为n，蒙日圆的半径，∴，

∴（当且仅当时取等号），

∴此矩形面积最大值为6，C正确；

故选：AC．

13．【答案】20【详解】如图所示：

，，所以的周长为故答案为：20

14．【答案】【详解】由垂径定理可知，∴，

∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，O到l的距离，∴M到直线l距离的最小值为．故答案为：

15．【答案】或【详解】依题意，椭圆方程为，所以，，，所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，

根据椭圆的定义可知，

，所以的最大值为．

故答案为：

16．【答案】【详解】设右焦点为，连接，，

∵M为AF的中点，O为中点，

∴，，同理，，

∴，∴，

∵，∴，，

∵，∴，

∴椭圆方程可化为，

设直线AB：，，，

由得，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，，，

原点到直线AB：的距离为，

所以，

故答案为：

17．【答案】（1）；（2）．

【详解】（1）由已知得：，…1分

∴…5分

（2）由，即，

∴，解得…10分

18．【答案】（1）（2）

【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为，

因为椭圆经过点且短轴长为2，所以，…2分

所以椭圆C的标准方程为…5分

（2）由已知得直线l的方程为，…6分

设，，将直线代入，

得，易得，所以，…8分

所以…12分

19．【答案】（1）；（2）．

【详解】解：（1）设圆M的方程为：，…1分

根据题意得…4分

故所求圆M的方程为：；…5分

（2）如图，

四边形PAMB的面积为，即…6分

又，，所以，

而，即．

因此要求S的最小值，只需求的最小值即可，…9分

的最小值即为点M到直线的距离

所以，

四边形PAMB面积的最小值为…12分

20．【答案】（1）

（2）

【详解】（1）由题可知，

则…2分

由椭圆定义知P的轨迹是以、为焦点，且长轴长为4的椭圆，

∴，，∴…4分

∴P的轨迹方程为C：…5分

（2）设，，∵M，N都在椭圆上，

∴，，相减可得…8分

又MN中点为，∴，，

∴，即直线l的斜率为，

∴直线l的方程为，即…12分

21．【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：连接AC，因为，E为线段BC的中点，所以．．．．．2分

又，，所以为等边三角形，…3分

因为，所以平面PAE，

又平面BCP，所以平面平面BCP…4分

（2）解：设，则，

因为，所以，

同理可证，所以平面ABCD…5分

如图，设，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系。

易知为二面角的平面角，所以，从而．

由，得．…7分

又由，，知，，

设平面BDF的法向量为，

由，，得，不妨设，得．

又，，所以…9分

设PD与平面BDF所成角为θ，则，

所以PD与平面BDF所成角的正弦值为…12分

22．【答案】（1）（2）1

【详解】（1）由题意可得，，且，

则…2分

所以，，解得，

所以，椭圆E的方程为…4分

（2）当直线与x轴平行时，此时直线方程为，不合乎题意，

则设直线的方程为，设点、，

易知点、，则直线AB的方程为，

直线l的方程为，联立，可得，故点，

联立直线与椭圆的方程得，可得，

，…6分

由韦达定理可得，，因为点在直线MN上，

则，则，

则，，

，解得，

，则直线BN的方程为，

令，则，

，

则，…9分

而

即，则

因为，则，又因为点P，Q，M的纵坐标相同，

所以P为MQ的中点，所以…12分