湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期8月联考数学试题及参考答案
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这是一份湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期8月联考数学试题及参考答案,共8页。试卷主要包含了 选择题的作答, 非选择题的作答, 已知椭圆C等内容,欢迎下载使用。
腾·云联盟2023—2024学年度上学期高三年级八月联考数学试卷命题学校:洪山高中 命题教师:付勇 审题教师:戴露考试时间:2023年8月16日 试卷满分:150分★祝考试顺利★注意事项:1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,若,则实数a的所有可能取值构成的集合为( )A. B. C. D. 2. 已知复数,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知向量,满足,则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D. 4. 已知圆台上下底面半径之比为,母线与底面所成的角的正弦值为,圆台体积为,则该圆台的侧面面积为( )A. B. C. D. 5. 已知椭圆C:的左右焦点分别为,,则在椭圆C上存在点P使得成立的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D. 6. 已知过点P与圆相切的两条直线的夹角为,设过点P与圆相切的两条直线的夹角为,则( )A. B. C. D. 7. 心理学家有时使用函数来测定在时间t分钟内能够记忆的量,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生有100个单词需要记忆,心理学家测定出在5分钟内该学生记忆25个单词,则该学生记忆率k所在区间为( )A. B. C. D. 8. 已知,,且,则下列结论一定不正确的是( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列说法正确的有( )A. 病人甲体温的极差为B. 病人乙的体温比病人甲的体温稳定C. 病人乙体温的众数、中位数与平均数都为D. 病人甲体温的上四分位数为10. 已知点P为正方体底面ABCD的中心,用与直线垂直的平面截此正方体,所得截面可能是( )A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形11. 已知数列的通项为,,则( )A. 数列的最小项为 B. 数列的最大项为C. 数列的最小值为-0.8 D. 数列的最大值为2.412. 已知函数的定义域为,满足,且,则( )A. B. 为奇函数C. D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知且,若函数为奇函数,则______.14. 有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游(每个家庭包括一对夫妻和两个孩子),他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游,每辆汽车乘坐4人,要求每对夫妻乘坐同一辆汽车,且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子,则满足条件的不同乘车方案种数为______.15. 已知函数的图象关于点中心对称,关于直线轴对称,且函数在上单调递减,则______.16. 已知双曲线C:的左右焦点分别为,,点A为双曲线C右支上一点,直线交双曲线的左支于点B,若,且原点O到直线的距离为1,则C的离心率为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知等比数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,证明:时,.18.(12分)在中,记角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.(1)求角A;(2)若,AD为BC边上的中线,求.19.(12分)在四棱锥中,底面ABCD为正方形,平面平面PAB,,.(1)证明:平面平面ABCD;(2)若E为PC的中点,异面直线BE与PA所成角为,求四棱锥的体积.20.(12分)如图,是正三角形,一点从A出发,每次投掷一枚骰子,若向上点数大于或等于5,则沿的边顺时针移动到下一个顶点;若向上的点数小于或等于4,则沿的边逆时针移动到下一个顶点.(1)求投掷2次骰子后,该点恰好回到A点的概率;(2)若投掷4次骰子,记经过B点的次数为X,求EX.21.(12分)已知函数.(1)证明:有唯一的极值点;(2)若恒成立,求实数a的取值范围.22.(12分)已知过点的直线交抛物线于A,B两点,且(点O为坐标原点),M,N,P是抛物线上横坐标不同的三点,直线MP过定点,直线NP过定点.(1)求该抛物线的标准方程;(2)证明:直线MN过定点. 数学参考答案一、单选题1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D二、多选题9. BC 10. ABC 11. BCD 12. ACD三、填空题13. 4 14. 10 15. 16. 17. 解:(1)因为,所以时,,所以,所以,……2分因为,……3分又因为为等比数列,所以,所以,……4分所以.……5分(2)要证时,,即证时,,需证时,,……8分因为,所以,所以原不等式成立.……10分18. 解:(1)由正弦定理得,……1分因为,所以,……2分所以,即,……3分又,所以,……4分即,又,……5分所以,所以.……6分(2)因为,所以由正弦定理得,……7分设,则,……8分因为AD为BC边上的中线,所以,,……10分,,所以,即.……12分19.(1)证明:过点D作,垂足为点F,……1分因为平面平面PAB,平面平面,所以平面PAB,……3分所以,因为,又,所以平面PAD,……4分因为平面PAB,所以平面平面PAD.……5分(2)如图,以点D为原点,DA为X轴,DC为Y轴建立空间直角坐标系,则、、、,……6分设,……7分则,因为,所以,……8分所以,,因为异面直线BE与PA所成角为,所以,化简得,解得(舍),所以;……10分所以,平面ABCD,所以四棱锥的体积为.……12分20. 解:顺时针移动到下一个顶点的概率为,逆时针移动到下一个顶点的概率为,(1)投掷2次骰子后,该点恰好回到A点的概率为:;……4分(2)、1、2;……5分;……6分;……8分;……10分所有X得分布列为:X012P……11分所以.……12分21.(1)证明:定义域为,……1分因为,所以在定义域内单调递增,且值域为,所以有唯一的零点,使得,……3分当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以有唯一的极值点.……5分(2)由(1)知,在取得极小值点,也是最小值点,……6分由得,……7分所以,……8分当时,,,所以;当时,,,所以,因为,所以.……10分设,因为单调递减,……11分所以,即.……12分22. 解:(1)设直线AB方程为,,,联立得,消x得,得,,……2分因为,所以,即,,……4分所以抛物线的解析式为:.……5分(2)设,,,……6分因为M、P、C三点共线,所以,即,①……7分因为N、P、D三点共线,所以,即,②……8分直线MN方程为:,即③……9分由①②得,即,……10分
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