人教部编办版九年级数学上册第二十四章第20课垂径定理含解析答案 试卷

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第二十四章第20课���垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为（   ）

A． B． C． D．
2．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即）为0.5米．则秋千链子的长为（    ）

A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米
3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米
4．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（    ）mm．

A．4 B．6 C．7 D．8
5．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（    ）

A．3 B． C．6 D．
6．小明想知道一块扇形铁片中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形按如图方式摆放，点恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（    ）

A． B． C． D．
7．如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（    ）

A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
9．下列语句中不正确的有（ 　 ）  
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（　　）

A．2m B．4m C．6m D．8m
11．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（　　）

A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
12．如图，的半径为，，经过点的的最短弦的长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10
13．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（）

A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．
14．已知：如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB和小圆交于点C，D，大圆的半径是13，，，则OC的长是（    ）

A． B． C． D．8
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（   ）

A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
16．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口的长度为（    ）

A．8mm B．6mm C．10mm D．0.9mm
17．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　　）

A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
18．如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是（    ）

A．2 B． C． D．
19．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（    ）

A． B． C． D．
20．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（    ）
A． B．4 C． D．5
21．如图，AC是的直径，弦于E，连接BC，过点O作于F，若，，则OE的长为（    ）

A．3 B．4 C． D．5
22．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝（　　）

A． B． C． D．

二、填空题
23．垂径定理 垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 ．
24．如图，在中，弦于E点，C在圆上，，则的半径 ．

25．如图，⊙O的直径AB的长是20，弦CD⊥AB，垂足为点E， CD=16，则CE= ，BE= ．

26．如图，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为20cm，最短的弦长为16cm，则OM= cm．

27．如图，点O是半圆的圆心，D是以AB为直径的半圆上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE，经过C，E的直线分别与半圆弧交于F，G．已知CE=6，则FG的长为 ．

28．如图，在⊙O内有折线ABCO，点A、B在圆上，点C在⊙O内，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，则BC的长为 .

29．如图， 在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是 ．


三、解答题
30．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．

(1)求证：AC＝BD；
(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
31．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长．

32．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．

(1)求所在圆的半径r的长；
(2)当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？并说明理由．
33．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的长．

34．已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，

(1)求OF的长；
(2)连接BE，若BE=，求半径OA的长．
35．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．

36．如图所示，已知为⊙的直径，是弦，且于点，连接AC、OC、BC．
（1）求证：；
（2）若，，求⊙的直径．

37．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．

38．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝2
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．

39．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D．

(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．

参考答案：
1．C
【分析】由垂径定理可知，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示：

输水管的半径为，水面宽为，水的最大深度为，
，
，，
，
∴
水的最大深度为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键．
2．B
【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点D为的中点，由垂径定理知OD⊥AB， AD=AB=1.5米．再根据勾股定理求得OA即可．
【详解】解：∵点D为的中点，
∴由垂径定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
则OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键．
3．A
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：A．

【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
4．D
【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求．
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，

则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故选D
【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
5．D
【分析】连接，构造直角三角形，用勾股定理求得长，再根据垂径定理求出长．
【详解】如图所示，连接
由题意知，弦心距OC＝2，
则根据垂径定理，有
在中，
则
根据垂径定理可知，
故选D．

【点睛】本题考查垂径定理的应用，解决本题的关键是熟练应用垂径定理．
6．D
【分析】如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，由垂径定理得OC垂直且平分AB，则BC=20cm，再由勾股定理得,从而CD=OD-OC,即得到拱高CD的长．
【详解】解：如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，
∵D为中点，
∴由垂径定理得OC垂直且平分AB，
∴BC=20cm，
∴cm，
∵OD=OB=cm，
∴CD=OD-OC=cm，
即拱高为cm，
故选D．

【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．B
【分析】如图，连接，延长交于点设的半径为证明，推出，在中，根据，构建方程求解．
【详解】解：如图，连接，延长交于点T，设的半径为，

，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型．
8．B
【分析】根据垂径定理即可判断．
【详解】解：是的直径，弦于点，
，， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据垂径定理及圆的有关概念和对称性对每个语句分别进行判断即可.
【详解】因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；
垂直于弦的直径平分弦说法正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；
平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；
半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，
∴不正确的语句有4个，
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆的有关概念及垂径定理，正确理解题意是解题的关键.
10．B
【分析】由垂径定理可知，CD垂直平分AB，再用勾股定理算出答案即可．
【详解】∵CD垂直平分AB，
∴AD＝＝8m
∴OD＝＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，找出CD垂直平分AB是本题的关键．
11．B
【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝AB，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
【详解】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4cm，
设OA＝r，则OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故选：B．

【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理及勾股定理的运用.
12．C
【分析】如图，过点作弦，交于点、，连接，过点作弦，交于点、，过点作，连接，根据垂径定理得到，，在中，，从而在和中，根据和勾股定理，可得到，，从而说明为过点的最短弦，然后再利用勾股定理计算出，从而求出即可．
【详解】解：如图，过点作弦，交于点、，连接；过点作弦，交于点、，过点作，连接，
∴，，
∴在中，，
∵在和中，，
，，
∴，
∴，
∴为过点的最短弦，
∵的半径为，，
∴在中，
，
∴，
∴经过点的的最短弦的长为．
故选：C．

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理．理解和掌握垂径定理是解题的关键．
13．C
【分析】根据垂径定理可得：，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=BE．
【详解】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴，DE=CE，，
∴B，D选项正确；
∵，
∴，
∴∠COE=∠DOE，
∴A选项正确；
只有当∠COE=60°时，才有OE=BE．
∴C选项不成立；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．解题的关键是熟练掌握垂径定理．垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
14．B
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，由垂径定理求得AE=BE=12，根据勾股定理求出OE的长度，设，则CE=12-x，在Rt△COE中，利用勾股定理即可求得OC的长．
【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，

∵大圆和小圆的圆心都为点O，OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∵，
∴AE=BE=12，
∵OA=13，
∴，
设，
则CE=12-x，
在Rt△COE中，，

解得：，
即OC的长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理常与勾股定理相结合来解题．
15．C
【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且，，设圆形木材半径为r，可知，，根据列方程求解可得．
【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交于点E，连接OA，如图所示：

由题意知：CE过点O，且，
则．
设圆形木材半径为r，
则，．
∵，
∴，
解得 ，
即的半径为13寸，
∴的直径为26寸．
故选：C．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
16．A
【分析】点O为圆心，过点O作OC⊥AB，垂进定理可得AC=BC，再利用勾股定理可求得，进而可求得答案．
【详解】解：如图，点O为圆心，过点O作OC⊥AB，

根据垂进定理可得：AC=BC，
∵直径是10mm，
∴OA=5mm，OC=8-5=3mm，
在Rt△AOC中，∠OCA=90°，
∴，
∴AB=2AC=8mm，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
17．A
【分析】要确定圆的大小需知道其半径，根据垂径定理知第一块可确定半径的大小
【详解】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
18．A
【分析】连接，过点，分别作与，于，则四边形是矩形，证明，可得，根据垂径定理可得，根据即可求解．
【详解】连接，过点，分别作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
（HL），
，
则，
，
，
，
．
故选：A．

【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
19．C
【分析】线段BC、的垂直平分线的交点H即为最小覆盖圆的圆心，连接BH，BH即为圆的半径，根据勾股定理即可求解．
【详解】作线段BC、的垂直平分线MH、NH，两线的交点为H点，连接BH，如图，

∵MH、NH为线段BC、的垂直平分线，
∴BM=BC=，==，
∴HM=-1=，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，找到最小覆盖圆是解答本题的关键．
20．D
【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，

则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
21．A
【分析】连接OB、AB，根据垂径定理求出BE的长，根据三角形中位线定理求出AB的长，再由勾股定理求出AE的长，即可解答．
【详解】解：连接OB、AB，








中




故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．A
【分析】如图，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，连接OB，利用垂径定理可得BF＝BC＝1，OE＝1，设AE＝x，则OB＝OA＝x+1，由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12，计算求出满足要求的，根据OA＝AE+OE，求出的值即可．
【详解】解：如图，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，连接OB，
在等腰梯形ABCD中，
∵OF⊥CB，
∴BF＝BC＝1，
∴OE＝1，
设AE＝x，
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OB＝OA＝x+1，
由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12，
整理得2x2+2x﹣1＝0，
解得或（不合题意，舍去）
∴OA＝AE+OE＝+1＝．
故选：A．

【点睛】本题主要考查垂径定理，等腰梯形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于利用垂径定理构造直角三角形．
23． 平分 两条弧
【分析】根据垂径定理的概念即可求解．
【详解】解：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
故答案为：平分；两条弧．
【点睛】本题主要考查垂径定理的概念，掌握垂径定理的概念是解题的关键．
24．
【分析】利用垂径定理，进行求解即可．
【详解】解：设圆的半径为，
∵弦于E点，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
25． 8 4
【分析】由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：∵为直径，弦CD⊥AB，
∴，
连接，如下图：

由题意可得：
由勾股定理可得：
∴
故答案为：8，4
【点睛】此题考查了垂径定理的应用，涉及了勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．
26．6
【分析】过点M的⊙O最长的弦就是直径，最短的弦就是垂直于直径的弦．
【详解】解：过点M的⊙O最长的弦就是直径，
∴BO=10cm，
最短的弦就是垂直于直径的弦，即BM=8cm．
所以利用勾股定理可得OM==6cm．
故答案为：6．

【点睛】本题考查了是垂径定理，解题的关键是理清过点M的⊙O最长的弦就是直径，最短的弦就是垂直于直径的弦．
27．
【分析】如图所示，连接OD交FG于H，连接OF，由正方形的性质得到OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，由垂径定理得到FG=2FH，再利用勾股定理求出FH的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OD交FG于H，连接OF，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，
∴FG=2FH，OH=3，OF=OD=6，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
28．6
【分析】延长CO交AB于点D，过点O作OE⊥AB垂足为E，设OD=x，根据BD=CD，用含x的代数式具体化，求解即可．
【详解】延长CO交AB于点D，过点O作OE⊥AB垂足为E，
因为∠B=∠C=60°，

所以∠BDC=60°，
所以△BDC是等边三角形，
所以BC=BD=CD，∠DOE=30°．
因为OE⊥AB，AB=9，
所以BE=AE=4.5．
设OD=x，OC=3
所以DE= ，BD=4.5+，CD=OC+DO=x+3，
所以4.5+=x+3，
解得x=3，
所以BC=CD=OC+OD=3+3=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理和等边三角形的性质是解题的关键．
29．8
【分析】作点C关于AB的对称点，连接D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出D为直径，从而得解．
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点，连接D与AB相交于点M，则CM＝M，

此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，，
∴，
∵，AB为直径，
∴D为直径，
即CM+DM=D＝AB，
∵AB=8，
∴CM+DM的最小值是8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)

【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH＝CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：

∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：

则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
31．
【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．
【详解】解：如图，连接OA．

∵OM：MC＝3：2，OC＝10，
∴OM＝=6．
∵OC⊥AB，
∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．
在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，
∴AM＝8．
∴AB＝2AM =16．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
32．(1)34
(2)不需要采取紧急措施，见解析

【分析】（1）连接OA，根据题意，AD=，OD=r-PD，在直角三角形ADO中，实施勾股定理求解即可．
（2）连接，根据题意，，OE=r-PE，在直角三角形中，实施勾股定理，求出的长，与30比较大小，大于30即不需要，反之，需要．
【详解】（1）解：连结OA，

由题意得：AD＝AB＝30，OD＝(r−18)，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
，
解得，r＝34．
（2）解：连结，

∵OE＝OP−PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，
由勾股定理得：，
∴，
解得：＝16．
∴＝32．
∵＝32＞30，      
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
33．（1）见解析（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EPO=∠AOP，由射线PG平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根据等量代换即可证明；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12，从而求得PH，在中，应用勾股定理求得OH，进一步即可求得OP．
【详解】（1）证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，

根据垂径定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，

由勾股定理得：

则OP的长为
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，垂径定理，是圆部分的综合题，要熟记各知识点，熟练掌握垂径定理是本题的关键．
34．(1)OF＝1
(2)半径为3

【分析】（1）先根据垂径定理得出AD＝CD＝1，根据“AAS”证明△ADO≌△OFE，即可得出OF＝AD＝1；
（2）设OA=OB=OE= x，则：BF=OB-OF=x-1，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵，
∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，
∵在△ADO和△OFE中，，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝1．
（2）解：设OA=OB=OE= x，则：BF=OB-OF=x-1，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠OFE＝90°，
∴，
∴，
解得：，（舍去）
∴半径OA=3．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
35．见解析
【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三线合一的性质OH平分CD，然后即可证得AC＝BD．
【详解】解：证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD．

【点睛】此题考查了圆的垂径定理的运用，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握圆的垂径定理，等腰三角形三线合一的性质．
36．（1）证明见解析；（2）10
【分析】（1）先利用得到，再利用直角三角形的两锐角互余即可求解；
（2）利用垂径定理得到CE＝DE=，再得到，，在中，利用得到求出BE，即可得到求解．
．
【详解】（1）证明：∵
∴
又∵为直径，
∴，
又∵
∴，
∴
∴
（2）∵，为直径
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
即，解得，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
37．
【分析】连接OC，根据垂径定理，得出CM＝DM＝2cm，在Rt△COM中，有OC2＝CM2＋OM2，进而可求得半径OC．
【详解】解：连接OC，
∵EM过圆心，EM⊥CD，
∴CM＝CD，
∵CD＝4cm，
∴CM＝2cm，
设圆的半径是xcm，
在Rt△COM中，OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴圆的半径长是cm．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，得出CM=2cm，是解题的关键．
38．（1）8；（2）
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到CO⊥AD，AE＝DE，然后根据勾股定理即可求得AE，进而求得AD；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【详解】解：（1），得CO⊥AD，AE＝DE．
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，
得AE＝，           
所以AD＝AE＋DE＝8；
（2）由CFAB，得，
则．

【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
39．(1)见解析
(2)AC＝

【分析】（1）作OE⊥AB于E，利用垂径定理即可证明结论；
（2）利用勾股定理分别求出CE和AE的长，作差可得答案．
【详解】（1）证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE，
故BE﹣DE＝AE﹣CE；
即AC＝BD；

（2）解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE＝4，CE＝DE，
∴DE＝CE＝＝＝2，
AE＝＝＝4，
∴AC＝AE﹣CE＝4﹣2．
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．