湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期第一次大练习数学试题和答案

这是一份湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期第一次大练习数学试题和答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次大练习（月考）数  学时量：120分钟    满分：150分得分：_________一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（       ）A． B． C．0 D．12．已知直线m，n和平面，，给出下列四个命题，其中正确的是（       ）A．若m∥，，则m∥nB．若，，则C．若m∥n，，，则D．若，，m∥，n∥，则∥3．若为偶函数，则a=（       ）A．0 B． C．1 D．24．如图，在四面体A-BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设，，，则（       ）A． B． C． D．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，，则A=（       ）A． B． C． D．   6．将一枚骰子连续抛两次，得到正而朝上的点数分别为x，y，记事件A为“为偶数”，事件B为“”，则的值为（       ）A． B． C． D．7．若，则（       ）A．1 B．2 C．3 D．48．对实数a，b，定义运算“*”：，设函数，若函数有两个零点，则实数c的取值范围是（       ）A．  B．C．  D．  二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2019年中国5G建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010-2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（       ）A．2010-2019年中国移动电话用户数逐年增加B．2011-2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%C．2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快D．中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，因此期户数逐年减少10．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（       ）A．若l∥n，则a=6或B．若，则C．直线恒过点（1，）D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为11．已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（       ）A．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象B．函数的图象关于点（，0）对称C．函数在区间上的最大值为D．若函数（）为偶函数，则的最小值为12．如图ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的动点（不含端点），点F在侧面BCC1B1上运动，且满足A1F∥平面AD1E，则下列命题正确的有（       ）A．侧面BCC1B1上存在点F，使役A1F⊥BC1B．直线A1F与直线DC所成角的正切值的范围为（0，）C．当点E固定时，三棱雉D1-AEF的体积为定值D．设正方体的棱长为1，当E为棱CC1上靠近C1的三等分点时，则过点A，D1，E三点的截面面积为  三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是__________．14．已知，则__________．15．设函数（），若在有且仅有5个零点，则的取值范围是__________．16．已知向量a，b，e满足，，，，则的最小值是__________．   四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直线l经过点P（2，3），倾斜角为．（1）若，求直线l的斜截式方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程．         18．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，且．（1）求角C；（2）设BC的中点为D，且AD=，求的取值范围．              19．（本小题满分12分）如图，在四棱雉P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=，BC=，PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）若点M为PD的中点，求直线BM与平而AMC所成角的正弦值．       20．（本小题满分12分）为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．         21．（本小题满分12分）斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，侧面ABB1A1上侧面BCC1B1，平行四边形BCC1B1的面积为．（1）求点A到平面BCC1B1的距离；（2）如图，D为BB1的中点，AD=，BB1=，BC⊥BB1，求二面角A-B1C-B的大小．          22．（本小题满分12分）已知函数（）满足：，，且当时，．（1）求a的值；（2）求解集；（3）设，（），若，求实数m的值．
湖南师大附中2023—2024学年度高二第一学期第一次大练习数学参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ACABCACB1．A  【解析】，所以，故选A．2．C  【解析】A选项中，与平行或异面；B选项中，与可以成任意角；C选项正确；D选项中，若，则无法得到，故选C．3．A  【解析】为偶函数，，，故选A．4．B  【解析】．故选B．5．C  【解析】已知，由余弦定理得：，因为，所以，又，则，又，解得．故选C．6．A  【解析】由题意知，若事件“为偶数”发生，则两个数均为奇数或均为偶数，其中基本事件数为，，一共18个基本事件，，而同时发生，一共有9个基本事件，，则在事件发生的情况下，发生的概率为，故选A．7．C  【解析】因为，所以．故选C．8．B  【解析】由题意知，当，即时，，当，即或时，，函数有两个零点，函数的图象与函数的图象有两个交点，画出函数的图象如图，由图知，当时，函数有两个零点．故选B．二、选择题：本大题共4个小题，每小题，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得，部分选对的得，有选错的得0分．题号9101112答案BCACBCAC9．BC  【解析】对于A，2015年与2014年相比中国移动电话用户数减少，所以A不正确；对于B，2011—2019年中国移动电话用户数的增速按从小到大的顺序排列，为，，则增速的中位数为，故B正确；对于C，2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快，故C正确；对于D，中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，但都是正增长，故D错误．故选．10．AC  【解析】若，则，解得或，经检验，均符合，故A正确；若，则，解得或，故B不正确；由得，则得，所以恒过点，故C正确；若直线在轴上的截距为6，则，得，所以直线的方程为，斜截式为，故D不正确．故选AC．11．BC  【解析】因为所以，所以．又因为，得（舍）或，因为，可得，所以，函数的图象向左平移个单位长度，即变换为：，A结论错误；对于B，，可得关于对称，包含点，故B结论正确；对于C，当时，，则函数，所以的最大值为，C结论正确；对于D，函数为偶函数，即为偶函数，易得为最小值，故D错误．故选BC．12．AC  【解析】连接，过点作，交于点，连接，在平面内，过点作，交于点，在平面内，过点作，交于点，则平面平面平面，又点在侧面上运动，且平面平面，故．当为与的交点时，易证平面，且平面，A正确；直线与所成角即为，设正方体的棱长为1，则，在点从到的移动过程中，从靠近点移动到靠近，此时，，故B错误；因为平面，所以，故C正确；当为棱上靠近的三等分点时，过点三点的截面为梯形，此时，得到与间的距离，故，故D错误．故选AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题，共20分．13．1  【解析】如图，设圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积，即．由于侧面展开图为半圆，可知，可得，因此．14．e  【解析】，又．15．  【解析】在区间上有且仅有5个零点，，解得．16．  【解析】法一：（投影法）构造图形如下图，由可知，点分别在直线与直线上移动，且保持，取的中点，连，由极化恒等式可知，．由图可知，点在直线上运动，故取最小值时，只要取最小即可．所以，当时，的最小值为．法二：（坐标法）由题可设，于是，所以．（极化恒等式）法三：（坐标法）由题可设，于是，则，即，（基本不等式）所以，当且仅当时等号成立，故．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由题：，故直线方程为，所以．（2）当截距为零时，直线方程为；当截距不为零时，设所求直线的方程为，将代入得，解得，直线方程为，即．所求直线的方程为或．18．【解析】（1）中，，由正弦定理得，．所以，即，所以；又，所以，所以，所以，又因为，所以，即．（2）设，则中，由可知，由正弦定理及可得，所以，所以，由可知，，所以．19．【解析】（1）证明：四边形是直角梯形，，，又是直角三角形，即．平面平面，又平面，平面，又平面．（2）方法一：（几何法），，又为的中点，．易知，故，则由余弦定理可得，．设点到面的距离为，则．又，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．方法二：（向量法）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，．设平面的法向量为，则即解得令，则，于是，取．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．20．【解析】（1）由频率分布直方图知，，所以．又样本中身高不低于的学生的频率为，所以，样本中身高不低于的学生人数为人．（2）设除小张与小明外其他98名同学的身高为，小张与小明的身高分别为，样本的平均数为，样本的方差为．由题意．又，所以样本的方差．21．【解析】（1）设点到平面的距离为．因为，所以．解得，即点到平面的距离为．（2）因为，由（1），可得平面，（反证法：若与平面不垂直，作平面，垂足为，连接，则为直角三角形，因此，即，矛盾!因此平面）．又平面，所以．过点作于，连接．又平面，所以平面平面，所以．因此即为二面角的平面角．在中，因为为的中点，，所以，即．因为侧面侧面，侧面侧面，侧面，所以侧面侧面，所以．又平面．所以平面平面，所以．在等腰中，．在矩形中，，所以．在中，．在等腰中，．在中，，所以．在中，，所以．所以二面角的大小为．22．【解析】（1）由题意，所以，又当时，，代入得，所以．（2）设，则，所以，又，代入解得；显然，在是单调递增，又，所以时，，又时，，所以时，，类推可得时，综上，解集为．（3）函数，由，即定义域为，且在上单调递减，所以在上单调递减，又有，结合（2）结论知时，时，，由恒成立，即在上恒成立，设，则不等式在上恒成立，①当时，不等式化为，显然不满足恒成立；②当时，将代入得，与矛盾；③当时，只需，综上，实数的值为．