考点09+轴对称和垂直平分线的十大常考题型-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

考点09 轴对称和垂直平分线的10大常考题型

1 轴对称和轴对称图形的判断方法

1.轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.

轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.

2.轴对称图形的性质

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

注意：(1)如果两个图形的对应点所连线段分别被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称.

(2)    关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形，但全等的两个图形不一定成轴对称.

(3)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等，并且关于对称轴成轴对称。

2 垂直平分线的概念和性质

概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

(1)    线段的垂直平分线的定义，既可以作为性质，又可以作为判定方法。

(2)线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的一条对称轴。

性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

注意【(1)线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段.两者缺一不可.

(2)线段的垂直平分线是直线，而不是射线或线段。

重点剖析

(1)    线段的垂直平分线可以看作与线段两端点距离相等的所有点的集合.

(2)    线段垂直平分线的性质可直接用来证明两条线段相等，而线段垂直平分线的判定可直接用来证明某一个点在线段的垂直平分线上，且均不必通过三角形全等进行证明.

(3)由线段垂直平分线的性质和判定可得任意一个三角形三条边的垂直平分线必相交于一点，且这个点到三角形各个顶点的距离相等。

3 垂直平分线的判定

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

应用格式：（如右图）

∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．

作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

4 垂直平分线的画法

已知线段AB.

求作：线段AB的垂直平分线.

作法：(1)如图，分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点；

(2) 作直线 CD， CD 即为所求.

5 解决作图选点问题的技巧

若要找到与两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到与两相交直线的距离相等的点，一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找。

6 过直线外一点作已知直线的垂线的方法

第一步：以点C为圆心，作能与AB相交于D、E两点的弧；

第二步：作∠DCE的平分线CF；

第三步：反向延长射线CF，则直线CF 就是所要求作的垂线．

考点1 轴对称图形的识别

考点2 成轴对称的两个图形

考点3 根据轴对称图形进行求解

考点4 画对称轴 

考点5 利用垂直平分线的性质求角度

考点6 利用垂直平分线的性质求线段长

考点7 利用垂直平分线性质证明线段或角度相等

考点8 垂直平分线的判定的应用

考点9 垂直平分线的实际应用

考点10 点垂线的画法

考点1 轴对称图形的识别

1．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A．   B．   C．   D．  

2．（2023秋·全国·八年级专题练习）下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2023春·四川成都·七年级统考期末）下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）下列美术字中，从数学的角度可以看作是轴对称图形的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

考点2 成轴对称的两个图形

5．（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，哪一个选项中的左边图形与右边图形成轴对称(   )

A． B． C． D．

6．（2020春·七年级课时练习）下列右侧四幅图中，平行移动到位置M后能与N成轴对称的是（    ）

A．图1 B．图2 C．图3 D．图4

7．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（ ）

A． B． C． D．

8．（2023·全国·八年级假期作业）将一张矩形纸片对折，用笔尖在上面扎个“R”,再铺平，可以看到 （ ）

A． B． C． D．

考点3 根据轴对称图形进行求解

9．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，与关于直线l对称，若，，则∠C的度数为（    ）

A．90° B．110° C．120° D．125°

10．（2022秋·安徽淮南·八年级统考期中）如图，和关于直线对称，连接，下列结论：

①l垂直平分；

②；

③；

④直线的交点一定在上，

其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．（2023春·全国·七年级专题练习）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ）

A．以1m/s的速度，做竖直向下运动

B．以1m/s的速度，做竖直向上运动

C．以2m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角

D．以2m/s的速度，做竖直向下运动

12．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，如图，其中，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

考点4 画对称轴

13．（2021秋·江西赣州·八年级统考期末）如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．

（1）在图1中，画出过点A的正五边形的对称轴；

（2）在图2中，画出一个以点C为顶点的72°的角.

14．（2023春·七年级单元测试）如图，三角形ABC与三角形DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.

15．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，△ABC是等边三角形，请仅使用无刻度的直尺分别画出图1和图2的对称轴．

(1)若△DEF是等腰三角形，A点是DE的中点，且DE∥BC

(2)若△ADE是等腰三角形，四边形BCGF为等腰梯形．

16．（2019秋·广东广州·八年级校联考期末）如图所示的点A、B、C、D、E．

（1）点　 　和点　 　关于x轴对称；

（2）点　 　和点　 　关于y轴对称；

（3）点A和点D关于直线l成轴对称，请画出直线l．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）

考点5 利用垂直平分线的性质求角度

17．（2023春·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．若此时射线恰好经过点，则的度数是（   ）

A． B． C． D．

18．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点，且∠A=50°，则的度数为（   ）          

A．100° B．110° C．120° D．125°

19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在锐角三角形中，直线l为的中垂线，射线为的角平分线，且直线l与射线相交于点P．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

20．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，是边的垂直平分线，分别交于D、E两点，连接，，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

考点6 利用垂直平分线的性质求线段长

21．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为21，则的长为（    ）

A．6 B．9 C．10 D．12

22．（2023秋·广东深圳·八年级校考开学考试）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段于点D，E，若，的周长为10cm，则的周长为（　　）

A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm

23．（2023春·广东·七年级统考期末）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的周长为（    ）

A．11 B．15 C．16 D．21

24．（2023春·宁夏银川·七年级校考期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长等于12，则的长度为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

考点7 利用垂直平分线性质证明线段或角度相等

25．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，分别是的中点，，垂足为，垂足为．求证：．

26．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠BAC的平分线与边BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE＝CF．

27．（2019·八年级单元测试）如图所示，在中，平分，的垂直平分线交的延长线于点，求证：.

28．（2019秋·湖北随州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC，射线AP在△ABC的外侧，点B关于AP的对称点为D，连接CD交射线AP于点E，连接BE.

(1)根据题意补全图形；

(2)求证：CD=EB+EC；

(3)求证：∠ABE=∠ACE.

考点8 垂直平分线的判定的应用

29．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：以为圆心，为半径画弧①；

步骤2：以为圆心，为半径画弧②；

步骤3：连接，交延长线于点；

下列叙述错误的是（    ）

A．垂直平分线段 B．平分 C． D．

30．（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（    ）

A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点

31．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E；③连接，，，．下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

32．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（   ）

A． B．和相互垂直平分

C．且 D．且平分

考点9 垂直平分线的实际应用

33．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，表示两条公路，表示两个仓库，试找出点，使点到两公路的距离相等且到两个仓库的距离也相等，则点为（    ）

A．的垂直平分线与的交点

B．的垂直平分线与的交点

C．的垂直平分线与夹角的平分线的交点

D．以上都不对

34．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）有三个村庄分别位于△ABC的三个顶点处，要修一个集市，使集市到三个村庄的距离相等，则集市的修建位置应选在（　　）

A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点

35．（2023春·八年级课时练习）如图，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB＋PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（　　）

A．B．C． D．

36．（2022·全国·八年级专题练习）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”． 《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”． 以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（    ）

A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处

C．三角形高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处

考点10 点垂线的画法

37．（2023春·广东梅州·七年级统考期末）如图，在中，结合尺规作图的痕迹，已知，的周长为14cm，则的周长是（    ）

A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm

38．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知：直线及外一点．如图求作：经过点，且垂直的直线，作法：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点．②分别以点为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点．③过点作直线．直线即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　）

A．这两个适当的长相等

B．①中“适当的长”指大于点到直线的距离

C．②中“适当的长”指大于线段的长

D．②中“适当的长”指大于点到直线的距离

39．（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，，在此基础上用尺规作出正方形，下面说法不正确的是（　　）

A．弧③的半径长等于弧①的半径长

B．弧②的半径长等于弧①的半径长

C．弧②的半径长小于弧①的半径长

D．弧②的半径长等于弧③的半径长

40．（2023·河北唐山·二模）如图，已知：直线和外一点，用尺规作的垂线，使它经过点．步骤如下：

（1）任意取一点；

（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和；

（3）分别以点和点为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点；

（4）作直线，直线就是所求作的垂线．

下列正确的是（    ）

A．对点长无要求 B．点与点在同侧，

C．点与点在异侧， D．点与点在同侧，