考点11 等腰三角形的12类高频考点方法归类-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

考点11 等腰三角形的12类高频考点方法归类

1 等腰三角形的概念求边长的方法

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

弄清楚相等的边是腰，第三边就是底边，但要注意构成三角形的条件。

利用等腰三角形的性质求线段长有时利用面积公式、线段的垂直平分线等知识来解题.

2 利用等腰三角形的性质求角度的方法

在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.利用等腰三角形的性质，角的平分线的性质、三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键．

3 等腰三角形多结论判断问题的做题方法

等腰三角形中的多结论判断问题主要是利用角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握各性质定理是解题的关键．

4 等腰三角形的分类讨论思想

解决等腰三角形的分类讨论问题时，主要从边，分为腰和底来讨论；角：分为顶角和底角来讨论；一腰上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论；

5 三线合一的应用

三线合一主要指的是等腰三角形的底边上的高、顶角角平分线、底边上的中线三条线段合为一条，往往可以通过三线中的一线得出另外两条线，从而利用相关性质解决问题。

6 等腰三角形的判定方法

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”

7 证明线段相等的方法

判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据，可以证明两条线段是三角形中的的两条边，即证明等腰三角形即可。

8 等腰三角形的计算与证明

在等腰三角形的有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．利用等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数.在格点中判定等腰三角形的个数还要用到分类讨论的思想.

9 作等腰三角形方法

已知底边及底边上的高作等腰三角形

 已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形.

作法：1. 作线段 AB = a；

2. 作线段 AB 的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D；

3. 在 MN 上取一点 C，使 DC = h；

4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形.

10 等边三角形的性质和判定的应用

等边三角形的判定：

（1）三边相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

11  含30°角的直角三角形

在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，这个性质往往在求线段长或等线段的时候用的较多。

12 与已知两点构成等腰三角形的个数

可以采用画圆弧的方法，分别以两个端点为圆心画要求的线段长度的弧，再作线段的垂直平分线，与题目要求的交点，即为所求的点。

考点1 等腰三角形的概念求边长的方法

考点2 利用等腰三角形的性质求角度的方法

考点3 等腰三角形多结论判断问题的做题方法

考点4 等腰三角形的分类讨论思想

考点5 三线合一的应用

考点6 等腰三角形的判定方法

考点7 证明线段相等的方法

考点8 等腰三角形的计算与证明

考点9 作等腰三角形方法

考点10 等边三角形的性质和判定的应用

考点11  含30°角的直角三角形

考点12 与已知两点构成等腰三角形的个数

考点1 等腰三角形的概念求边长的方法

1．（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（　　）

A．26或28 B．26 C．28 D．

2．（2023秋·重庆铜梁·八年级铜梁二中校考开学考试）下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（   ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

3．（2023春·福建漳州·八年级统考期中）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，这个三角形的周长为（    ）

A．7 B．13 C．22 D．17或22

4．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为（    ）

A．6cm或13cm B．13cm C．6cm D．7cm

考点2 利用等腰三角形的性质求角度的方法

5．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，，则的值是（   ）

A． B． C． D．

6．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，点分别在上，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

7．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，点在边上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

8．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，在中，，平分，，，则（  ）

A． B． C． D．

考点3 等腰三角形多结论判断问题的做题方法

9．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，在中，，的平分线相交于点O，且交于点D，交于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号有（    ）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④

10．（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）已知和都是等腰三角形，，交于点，下列结论：①；②；③；④平分．正确的结论是（    ）

A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④

11．（2023秋·湖南衡阳·八年级校联考期末）如图，在中，已知，点是边的中点，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径画圆弧，两弧在直线上方的交点为，直线交于点，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中，一定正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

12．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过点E作，F为垂足，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有几个（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点4 等腰三角形的分类讨论思想

13．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（　　）

A． B． C． D．或

14．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，为钝角，，，点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是等腰三角形时，运动的时间是（    ）

A． B． C． D．

15．（2021秋·广东江门·八年级校考阶段练习）若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ）

A． B． C． D．或

16．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ）

A． B． C．或 D．或

考点5 三线合一的应用

17．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，点D是底边的中点，，求的度数．

18．（2023·山东菏泽·校考三模）如图，中，，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且．求证：．

19．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，，于点，于点，，相交于点，．

(1)求证：；

(2)若，求的长．

20．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，垂足为点，．

(1)说明的理由；

(2)若，请说明的理由．

考点6 等腰三角形的判定方法

21．（2023春·福建漳州·八年级统考期中）如图，BD平分，，垂足为点D，．求证：是等腰三角形．

22．（2023秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考开学考试）已知：如图，在和中，，，垂足分别为，，，求证：是等腰三角形．

23．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．

(1)求证：是等腰三角形；

(2)若，，求的长．

24．（2022秋·福建厦门·八年级厦门一中校考期末）如图，在和中，，．

(1)求证：；

(2)过点D作交于点E，求证：是等腰三角形．

考点7 证明线段相等的方法

25．（2023春·吉林松原·九年级校联考阶段练习）如图，相交于点．求证：．

26．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，，与相交于点O ．

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)连接，求证：．

27．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图中，平分，平分，过D作直线平行于，交于E，F，

(1)求证：是等腰三角形；

(2)求的周长．

28．（2023秋·山东济南·七年级统考期末）如图1，在四边形中，，，平分．

(1)试说明：；

(2)如图2，在上述条件下，若，过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接，试说明．

考点8 等腰三角形的计算与证明

29．（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，中，D为的中点，厘米，厘米．

(1)若点P在线段上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明；

(2)若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在的哪条边上追上点P？

30．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考阶段练习）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点．

(1)求证：．

(2)若，求的长．

31．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，在中，是边上的中线，E，F为射线上的点，连接，且．

(1)求证：；

(2)若，试求的长．

32．（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1 n mile/h=1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°．求从海岛B到灯塔C的距离．

考点9 作等腰三角形方法

33．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

如图，已知等腰三角形的底边长为a，顶角的角平分线长为b，求作：等腰三角形

34．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，已知：线段a．请利用尺规作图法求作：等腰，使，且边上的高等于．（不写作法，保留作图痕迹）

35．（2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期中）已知等腰三角形的底边长为，底边上的高为，如图所示，利用尺规作图，求作这个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．

36．（2022秋·八年级课时练习）作一个等腰三角形，使它的腰长为，底边长为．

考点10 等边三角形的性质和判定的应用

37．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长．

38．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到，使，求证：．

39．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．

(1)若，则的度数为______，的角度为______；

(2)求证：是等腰三角形；

(3)当是等边三角形时，求的度数．

40．（2023春·广东河源·八年级统考期末）如图，在中，，D为边上中点，于点E，于点F，且．

(1)求证：为等边三角形；

(2)连接，线段，求线段的长．

考点11  含30°角的直角三角形

41．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，已知中，，，过点作的平分线的垂线，垂足为，作交于，，求的长．

42．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，已知是等腰直角三角形，，点D为边的延长线上一点，连接，若，，求的长．

43．（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，早上，一艘轮船以海里小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，到上午，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？

44．（2023春·全国·八年级期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F．

(1)求证：是线段的垂直平分线；

(2)若，，求的长．

考点12 与已知两点构成等腰三角形的个数

45．（2022秋·山东临沂·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，是原点，与轴正半轴的夹角为，是轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

46．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

47．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点C的个数为（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

48．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）在矩形（长方形）ABCD中，AB=3，BC=4，若在矩形所在的平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PAD都为等腰三角形，则满足此条件的点P共有（     ）个．

A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个