考点13 等腰三角形的动点问题的解决方法-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

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考点13 等腰三角形的动点问题的解决方法
等腰三角形的动点问题往往不会单独考察，一般会和全等三角形、直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形以及平面直角坐标系等结合考察。
做此类问题的解题技巧和全等三角形的类似，如果牵涉到时间问题的，分为三步走：
1、 先把动点走过的路程用时间表示出来；
2、 把剩余路程也用时间表示出来；
3、 根据题目中的等量关系列方程。
有些不是和时间有关的，需要做辅助线类的，要根据题意做辅助线构造等腰三角形来解决问题。

等腰三角形的各类动点问题
1．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，是射线上一动点，，当为等腰三角形时，的度数一定不可能是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分和三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：若为等腰三角形则有和三种情况，
①当时，则有，故；
②当时，则；
③当时，则，
综上可知：不可能为；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④平分，恒成立的结论有（    ）
  
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①④
【答案】C
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是，可以证明与全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，从而得到，所以①正确；在和中，，，所以，所以②错误；在上截取，连接，证明出，然后证明为等边三角形即可证明；根据条件证明，，，共圆，可得到，然后根据角关系导出平分，故④正确
【详解】解：∵和是等边三角形
∴，，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，故①正确
和中
∵，
∴即，故②错误；
如图，在上截取，
  
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∴是等边三角形
∴
∴，故③正确
由②有，
∴，
∴
∴，，，四点共圆，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故④正确
故选：C
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在中，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，的长度是（    ）

  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设运动时间为x秒时，，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动的时间为x秒，
在中，，，
∵点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒的速度向点C运动，
∴当是以为底的等腰三角形时，，，，
即，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，一元一次方程的应用，关键是根据题意列出方程．
4．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】证明，得出，，根据，由三角形内角和定理得出，判断①④正确；证明，得出，根据，得出是等边三角形，证明，得出，判断②③⑦正确；根据，得出，判断⑤错误，作，，证明，根据角平分线的判定得出⑥正确．
【详解】解：∵、是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，故①④正确；
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故②③⑦正确；
∵，
∴，故⑤错误，
作，，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，故⑥正确，
∴正确的有6个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
5．（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形中，，，底角为，动点P从点B向点C运动，当运动到与一腰垂直时长为（    ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．
【答案】C
【分析】有两种情况：利用含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，当时，则，
∵，底角为，
∴，
∴，
∴，  
在中，，则，
∵，
∴，
解得：；
当时，同理得，
∴；
综上，长为1或2，
故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，掌握直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是关键，注意要分类讨论．
6．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，点P，Q是等边边，上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中与交于点M．针对点P，Q的运动过程，下列结论错误的是（   ）

A． B．
C．的形状可能是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化
【答案】D
【分析】点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可．
【详解】解：∵点P，Q以相同的速度向点B，C方向运动，
∴；故选项A正确；
∵为等边三角形，
∴，
又，
∴；故选项B正确；
当为的中点时，，
∵，
∴是等边三角形；故选项C正确；
∵，
∴，
∴，
∴是个定值；故选项D错误；
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．
7．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，为等腰的斜边的中点，为边上一动点，连接并延长交的延长线于点，过作交于，交的延长线于，则以下结论①；②；③；④．其中正确的是(　　)
  
A．②③ B．③④ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】证明，，然后逐项分析判断即可求解．
【详解】解：是等腰直角三角形，且点是斜边的中点，
，，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，．
故①④正确；
当时，不成立，故②错误；
同理可证，．
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．
8．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（    ）秒时，是直角三角形．

A．5 B．5或 C．5或 D．或
【答案】A
【分析】先证明，，由时间相同，速度相等，证明，可得，利用全等三角形的性质得出，根据，可得不可能是直角，只能是是直角，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点从顶点，点从顶点同时出发，它们的速度都是，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在、运动的过程中，不变，，
∵，
∴不可能是直角，
∴只能是是直角，
当是直角，即，
∵，
∴，
∴，
∴当运动时间为5秒时，是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明．
9．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，C为线段上一动点（不与点B，E重合），在同侧分别作等边和等边与交于点P，与交于点M，与交于点N，连接．以下四个结论：①；②；③；④平分，恒成立的结论有．


【答案】①②③④
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是，可以证明与全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，从而得到，所以①正确；在和中，，所以，所以②正确；在上截取，连接，证明出，然后证明为等边三角形即可证明；过点作于点，根据条件证明，然后根据角平分线的性质，判断④正确．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
在和P中
∵，
∴，即，
故②正确；
如图，在上截取，连接，
  
∵，
∴，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故③正确；
过点作于点，
由①得，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
  
故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键．
10．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为．
  
【答案】11
【分析】如图，连接，由题意点B关于直线的对称点为点A，推出的长为的最小值即可．
【详解】解：如图，连接．
  
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点B关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短为，
故答案为：11．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．（2022秋·湖北荆门·八年级校考期中）如图，在等边中，于D，点P、Q分别为、上的两个定点，且，，在上有一动点E使最短，则的最小值为．
  
【答案】10
【分析】根据等边三角形的性质证得，求出，在上截取，连接，，得到，当点P、E、F三点共线时，最短，即最短，证明是等边三角形，求出即可．
【详解】解：在等边中，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
在上截取，连接，，
∴点Q与点F关于对称，
  
∴，
当点P、E、F三点共线时，最短，即最短，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，正确掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
12．（2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，，，动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动．设点N的运动时间为t秒，当是钝角三角形时，t满足的条件是．
  
【答案】或
【分析】分两种情况：①过M作于N，②过M作交于N，利用含的直角三角形的性质解答．
【详解】解：①过M作于N，
  
∵，，
∴
∴，
∴当时，是钝角三角形；
②过M作交于N，
  
∵，，
∴
∴
∴当时，是钝角三角形；
综上，当或时，是钝角三角形．
故答案为：或．
【点睛】此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答．注意要分类讨论，经免漏解．
13．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点是射线上一动点（在点的右侧），，当时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．
  
【答案】或或
【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：分为以下3种情况：
①，
  
∵，
∴
∵，
∴
∴
②，
  
∵，，
∴，
又，
∴
③
  
∵，
∴
∵
∴
∴
综上所述，或或，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解此题的关键．
14．（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．恒成立的是．
  
【答案】①②③④
【分析】由等边三角形的性质可证明，则可得①正确；由可得，由，则由三角形内角和可得，则可得③正确；证明，可得，由可得④正确；由等边三角形的性质可得②正确；由知，，即可判定⑤不正确，从而可确定答案．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴由三角形内角和得：，
故③正确；
∵
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
故④正确；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
当点P位于的边上时，始终有，
即，
故⑤不成立；
∴正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
  
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质三角形内角和等知识，证明三角形全等及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
15．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，是边上的中线．
  
（1）若，则的度数是（用含的式子表示）；
（2）若点是线段上的一个动点，点为线段上的一个动点，则的最小值是．
【答案】
【分析】（1）因为为等腰三角形，且是边上的中线，所以，，所以．又因为，所以．
（2）如图，连接，由对称性可知．由垂线段最短及三点共线可知，的最小值是边上的高线长．又因为，所以．
【详解】解：（1）在等腰，，
是边上的中线，
由等腰三角形“三线合一”可知，
，
，
，
故答案为：；
（2）连接，如图所示：
  
由等腰三角形的对称性可知，
，
根据动点最值问题-点线模型，当三点共线，且由垂线段最短可知，的最小值是边上的高线长，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、动点最值问题-点线模型等知识，熟记等腰三角形性质并灵活运用是解决问题的关键．
16．（2022秋·江苏扬州·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为ts，当s时，是以为腰的等腰三角形．

【答案】5或8
【分析】是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当时；②当时，分别求出的长度，继而可求得t值．
【详解】解：在中，，，，
∴cm，
①当时，如图1，则；

②当时，
故答案为：5或8．
【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当s时，是等腰三角形．

【答案】或5
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：如图，当点在上，时，是等腰三角形，
                
，，
当时，，解得；
如图，当在上，时，是等腰三角形，
，，
当时，，解得；
综上可得：当或5秒时，是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
18．（2023秋·河北保定·八年级校考开学考试）如图1，中，，点D是线段上一动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．

(1)若，
①，
②判断线段，之间有怎样的位置关系并说明理由；
(2)设，，则x，y之间的数量关系为；
(3)如图2，当时，若线段，面积为3，直接写出四边形周长的最小值．
【答案】(1)①，②，证明见解析
(2)
(3)四边形周长的最小值为．

【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得答案；②证明，可得，可得，从而可得答案；
（2）证明，可得，证明，可得，而，结合三角形的内角和定理可得结论；
（3）由，证明，，可得为等边三角形，如图，过作于，，面积为3，可得，而四边形周长；当最小时，四边形周长的最小，而的最小值为2；从而可得答案．
【详解】（1）解：①∵，，
∴；
②，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
由（2）可得：，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
如图，过作于，，面积为3，
  
∴，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴四边形周长；
当最小时，四边形周长的最小，而的最小值为2；
∴四边形周长的最小值为．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，垂线段最短的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．
19．（2022秋·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点，同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
  
(1)当为何值时，为等边三角形？
(2)当为何值时，为直角三角形？
【答案】(1)
(2)1或

【分析】（1）先表示出，根据为等边三角形，由等边三角形的性质得到，由此建立方程进行求解；
（2）当为直角三角形可分当时和当时两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，点运动的总时间为；
∴，
当为等边三角形时，，
∴，
解得；
（2）当时，则，
∴，
∴，
解得；
当时，则，
∴，
则，
解得；
综上：t的值为1或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．（2023春·山东济南·七年级统考期末）在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
(1)如图1，当点在线段上，如果．

  
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
(2)如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是；

  
(3)如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
【答案】(1)①全等，见解析；②
(2)
(3)点运动到中点

【分析】（1）①根据已知条件直接证明；②根据，得出，根据等腰三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据（1）的方法证明，同理可得结论；
（3）根据全等三角形的性质得出的周长，根据等边三角形的性质可得当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小，即可求解．
【详解】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，

，
②，
，
，
，
，
，
，
（2），
，即．
在与中，

，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
        
为等边三角形
，
的周长

；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21．（2023春·宁夏银川·七年级银川唐徕回民中学校考期末）如图，在中，，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，，连接．
  
(1)如图1，当点D在线段上时，若，则______；
(2)如图2，当点D在边的延长线上时，与相等吗？如果相等请说明理由；
(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，此时与有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】(1)5
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析

【分析】（1）通过证明，可得；
（2）利用证明，可得；
（3）利用证明，可得，进而可得，从而可得．
【详解】（1）解：，，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：5；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
，，
，
．
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明．
22．（2019秋·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）阅读材料：
    
如图①，在中，，若，则有；
利用以上结论解决问题：
如图②，等边的边长为，动点P从点B出发，以每秒的速度向点A移动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向点C移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动．设动点P的移动时间为t秒．
(1)填空： ______（度）；t的取值范围是_____；
(2)试求当t取何值时，的形状是等边三角形；
(3)试求当t取何值时，的形状是直角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)t的值为4或10

【分析】（1）由等边三角形的性质即可得的度数；动点Q的速度大于动点P的速度，所以动点Q先于动点P到达终点，由点Q的速度及运动距离即可求得其到达终点的时间，从而确定t的范围；
（2）当时，的形状是等边三角形，据此求出此时t的值即可；
（3）分两种情况：时；时，由此建立方程即可求得t的值．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，；
∵动点Q的速度大于动点P的速度，
∴动点Q先于动点P到达终点，点Q到达终点的时间为：（秒）
∴t的范围为：；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴当时，的形状是等边三角形，
由题意：，
∴；
∴，
解得：，
即当t为秒时，的形状是等边三角形；
（3）解：当或时，
∵，
∴由题目材料结论知，的形状是直角三角形；
①当时，即，
得：；
②时，即，
得：；
综上，当t的值为4或10时，的形状是直角三角形．
【点睛】本题是动点问题，考查了等边三角形的性质与判定，解一元一次方程等知识，掌握它们是关键．在解答（3）小题时注意运用题中材料的结论．
23．（2023秋·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】
(1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；
  
【类比探究】
(2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：
  
①与的位置关系为：；
②线段、、之间的数量关系为：；
【拓展应用】
(3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
  
【答案】(1)见解析
(2) 平行
(3)有最小值，5

【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明；
（2）①由（1）得，得出，，，则；
②因为，，所以；
（3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，
，
∵，
∴
即
在和中，
，
∴；
（2）平行，，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）有最小值，理由如下：
如图，在射线上取一点，使得，连接，
  
∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
由三角形内角和为，可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
即点E在的角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
，
∴，
则，
由三角形三边关系可知，，
即当点E与点C重合，时，有最小值，
∵，
∴，
∴最小值为5．
  
【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．