四川省泸州市泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

泸县第五中学2023年春期高一期中考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合,，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集的概念可求出结果.

详解】，

.

故选：D

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】分子分母同时除以，得到关于的式子，进而代入，即可得出答案.

【详解】因为，所以.

故选：C.

3. 在中，点在边上，.记，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的共线定理表示即可求解.

【详解】因为点在边上，，

所以，即，

所以.

故选:B.

4. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象

A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

【答案】A

【解析】

【详解】因为，所以将函数的图象向右平移个单位长度得的图象,选A.

5. 在中，､､所对的边分别为､､，若，，，则（       ）

A.  B.  C.  D. 或，

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦定理即可求得，再由大边对大角，舍去不符合要求的值，即可得到结果.

【详解】根据题意，由正弦定理，可得:，

解得，故可得或，

由，可得，故.

故选:B.

6. 已知向量 ，其中，且，则向量和的夹角是（    ）

A.  B.  C.  D. π

【答案】A

【解析】

【分析】先根据垂直关系计算得到，再根据夹角公式计算夹角.

【详解】由题意知，

∴.

设向量和的夹角θ，

则，又

所以θ＝.

故选：A

7. 计算（    ）．

A. 4 B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】切化弦后根据二倍角公式及辅助角公式化简即可求值.

【详解】．

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，涉及二倍角公式，两角和差的正弦、正切公式，切化弦的思想，属于中档题.

8. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性以及当时，，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.

【详解】由题意是定义在R上的奇函数，故，

当时，，此时在上单调递增，且过点，

则当时，在上单调递增，且过点，

作出函数的大致图像如图：

则由可得或，

解得或，即的解集为，

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由中位线的性质及相等向量的定义和向量减法的运算法则即可求解.

【详解】解：因为D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，

所以且，，且，

所以，，

所以，

故选：BCD.

10. 已知复数，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B. 的虚部为1

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】先化简复数，然后求出的共轭复数即可验证选项AB，

求出复数的模验证选项C，化简选项D即可

【详解】因为，

所以，故A正确；

的虚部为，故选项B错误；

由，故选项C正确，

由，

所以，

故选项D错误，

故选：AC.

11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列判断正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则为锐角三角形

D. 若为锐角三角形，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据三角形的基本性质逐项分析得出结果即可.

【详解】
中，大边对大角，若，则，根据正弦定理可得，选项A正确；
同理选项B正确；

若，即，当时，

为钝角三角形，选项C错误；

若为锐角三角形，则

又正弦函数在上为单调增函数

，即 ，选项D正确

故选：ABD.

12. 已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增

C. 的图象关于直线对称 D. 的值域为

【答案】BD

【解析】

【分析】通过周期函数的定义求出的最小正周期即可判断A，对B选项设，利用复合函数单调性的判定方法即可判断，对C举一组反例即可判断，对D，通过换元法，分类讨论并结合二次函数值域即可得到函数的值域.

【详解】因为

,故A错误，

当时,令,

，即

而函数在上单调递减,

在上单调递减,因此,在上单调递增,故B正确，

因为,

即图象上的点关于直线对称点不在的图象上,

故C不正确，

当时，令,

则，

此时，

即，

当时，令,

，

则，

则，

即，

综上，的值城为.

故选：BD.

第II卷 非选择题（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ______.

【答案】

【解析】

【分析】根据两角和的正弦公式即可求值．

【详解】由正弦的两角和公式逆运算可得

，

故答案为：．

14. 已知点和向量，若，则点的坐标为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由求向量的坐标，由此可得点的坐标.

【详解】设为坐标原点，

因为，，

故，

故点的坐标为．

故答案为：.

15. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据侧面展开图是半径为3的半圆，得到母线长和底面半径求解.

【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，

因为侧面展开图是半径为3的半圆，

所以母线长为l=3，，

解得 ，

所以此圆锥的高为，

故答案为：

16. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________．

【答案】1

【解析】

【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值.

【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知，是函数的最大值，

当时，，，

解得：，，

所以当k=0时，取最小值为1.

故答案为：1

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设，，，.

（1）若.求证：；

（2）若，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用两角和的正弦公式结合平面向量数量积的坐标运算证得，由此可证明出；

（2）求得的坐标，由可求得，由得出，，计算出的值，进而可求得的值.

【详解】（1），且，

，因此，；

（2），，，

，

，

，，则，，

因此，.

【点睛】本题考查平面向量垂直的证明，同时也考查了两角和的正弦公式以及同角三角函数关系的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

18. 函数（，，）的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由函数的图象得到，求得，得出，再由图象点，求得，求得，即可求解；

（2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由函数的图象，可得，可得，

因为，所以，所以，

又因为图象点，可得，

解得，可得，

因为，所以，

所以函数的解析式为.

（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，

可得

令，可得，

所以的单调递增区间是.

19. 在中，角的对边分别为，且．

（1）求A；

（2）如果是锐角三角形，求的取值范围．

【答案】（1）；（2），．

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理可得的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及角的范围可求出的度数；

（2）由求出，并用表示出，根据与都为锐角求出的范围，将代入所求式子中，利用二倍角公式与辅助角公式化为一个角的正弦函数，由的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出的取值范围．

【详解】（1）因为

所以由正弦定理得，，

化，

可得，

因为，

则；

（2）由（1）得，则，所以，

因为为锐角三角形，所以，

解得，

设

，

因为，所以，

则，

即，

所以的取值范围是，．

【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

20. 在①、②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答.

在中，内角、、的对边分别为、、，，，         .

（1）求角、、的大小；

（2）求的周长和面积.

【答案】（1），，；（2）周长为，面积为.

【解析】

【分析】选①：（1）本题首先可根据同角三角函数关系求出，然后通过两角和的余弦公式得出，最后通过两角差的余弦公式求出；

（2）本题首先可通过正弦定理求出，并求出的周长，然后通过解三角形面积公式即可求出的面积.

选②：（1）本题可通过联立求出，即可得出结果；

（2）本题首先可通过正弦定理求出，并求出的周长，然后通过解三角形面积公式即可求出的面积.

【详解】选①：

（1）因为，，所以，

则，

因为，所以，，

因为，

所以，.

（2）因为，，，，

所以，的周长为，

的面积.

选②：

（1）联立，解得，

因为，，所以，.

（2）因为，，，，

所以，的周长为，

的面积.

21. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．

（1）设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；

（2）假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．

【答案】（1）   

（2）位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km

【解析】

【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；

（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.

【小问1详解】

矩形中，km，km，

，，

则，

则

【小问2详解】

令

则

又，即，则，则

此时

所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km

22. 已知，

（1）当时，求函数在上的最大值；

（2）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1）由得出函数的解析式，根据函数图象，得函数的单调性，即可得到函数在上的最大值；

(2)对任意的，都有成立，等价于对任意的，成立，再对进行讨论，即可求出实数的取值范围.

小问1详解】

当时，，作出函数图象如下：

结合图象可知，函数在上是增函数，在上是减函数，

在上是增函数，又 ，，

所以函数在上的最大值为3.

【小问2详解】

因为 ，

由题意得：成立.

①时，也即，函数在上是增函数，

所以，，

从而，解得：，故

②因为，由可得：，

解得：或，(舍去)，

当时，，

此时，，

从而成立，故

当时，，此时，，

从而成立，

故，

综上所述：.

【点睛】(1)对于形如，对任意的，恒成立的问题，可转化为恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；(2)解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号．