江苏省南京师范大学附属中学新城中学2022—2023学年上学期10月月考九年级数学试卷

这是一份江苏省南京师范大学附属中学新城中学2022—2023学年上学期10月月考九年级数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空飚，解答随等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京师大附中新城中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共6小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符含愿目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在苦题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．k2x+5k+6＝0
C．3x2+2x+＝0 D．（k2+3）x2+2x+1＝0
2．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
3．（3分）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣8 C．（x﹣3）2＝9 D．（x﹣3）2＝﹣9
4．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（　　）

A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
6．（3分）如图，在等腰△ABC和等腰△ABE中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，D为AE的中点，则线段CD的最小值为（　　）

A．2 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1
二、填空飚（本大题共10小题.不需写出解答过程，谓把答案直接填写在答题卡相应位l上）
7．（3分）方程x2＝2x的解是 　 　．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是　 　．
9．（3分）若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两不同的根，则m3+m2+n的值为　 　．
10．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
11．（3分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝105°，则∠CAB等于 　 　．

12．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长为 　 　．

13．（3分）在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆心角的度数为　 　．
14．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20．则AB的长等于 　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝6，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是3，则△ABC的面积为 　 　．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 　 　．

三、解答随（本大颐共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）3x（x﹣2）＝4﹣2x．
18．（5分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1＝0
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1＝0有两个整数根？
19．（5分）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB切小圆于点C．
（1）求证：AC＝BC；
（2）若AB＝8，求两圆之间圆环的面积（结果保留π）．

20．（5分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝24，CD＝8，求⊙O的半径及EC的长．

21．（5分）已知，在⊙O中，设BC所对的圆周角为∠BAC．
求证：∠BAC＝∠BOC
证明：圆心O可能在∠BAC的一边上，内部和外部（如图①、②和③）．
如图①，当圆心O在∠BAC的一边上时．
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠BOC＝∠A+∠ACO，
∵∠BOC＝2∠A，即∠BAC＝∠BOC
请你完成其余的证明．

22．（5分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
23．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时候为ts．t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？

24．（5分）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．

25．（5分）如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．

26．（7分）[学习心得]
（1）宁宁向学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易，
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　 　°；

[初步运用]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝26°，求∠BAC的度数；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，点M为边CD上的一点．
若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　 　．
②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长，

2022-2023学年江苏省南京师大附中新城中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符含愿目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在苦题卡相应位置上）
1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．k2x+5k+6＝0
C．3x2+2x+＝0 D．（k2+3）x2+2x+1＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、a＝0是一元一次方程，故A错误；
B、k≠0时，是一元一次方程，故B错误；
C、是分式方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣2
【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac分别进行判定即可．
【解答】解：A、Δ＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B、Δ＝16+4＝20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C、Δ＝16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；
D、Δ＝25﹣4×3×2＝25﹣24＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（3分）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣8 C．（x﹣3）2＝9 D．（x﹣3）2＝﹣9
【分析】移项后配方，再变形，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣6x+1＝0，
x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，
（x﹣3）2＝8，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．（3分）已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O外 C．点A在⊙O上 D．无法确定
【分析】点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．据此作答．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，
即点A到圆心的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（　　）

A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【分析】先利用垂径定理得到CE＝4，然后根据勾股定理计算OE的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OE＝＝＝3（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
6．（3分）如图，在等腰△ABC和等腰△ABE中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，D为AE的中点，则线段CD的最小值为（　　）

A．2 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1
【分析】取AB的中点G，连接DG，CG，过C作CH⊥AB于点H，根据三角形中位线的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：取AB的中点G，连接DG，CG，过C作CH⊥AB于点H，

∵D是AE的中点，G是AB的中点，
∴DG是△ABE的中位线，
∴DG＝BE，
∵AB＝BC＝BE＝2，
∴DG＝1，BG＝1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝180°﹣120°＝60°，
∵CH⊥BH，
∴∠CHB＝90°，∠BCH＝90°﹣60°＝30°，
∴BH＝BC＝1，
∴CH＝，
∴HG＝BG+BH＝1+1＝2，
在Rt△CHG中，CG＝，
∵CG﹣DG≤CD≤DG+CG，
∴，
当且仅当D，G，C三点共线时，CD最短为﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答．
二、填空飚（本大题共10小题.不需写出解答过程，谓把答案直接填写在答题卡相应位l上）
7．（3分）方程x2＝2x的解是 　x1＝0，x2＝2　．
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是　m≤0　．
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵（x+1）2+m＝0，
∴（x+1）2＝﹣m，
∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解
∴﹣m≥0，
∴m≤0．
故答案为m≤0．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．
9．（3分）若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两不同的根，则m3+m2+n的值为　﹣1　．
【分析】由一元二次方程的解可得出m2+m＝1，进而可得出m3+m2＝m①，由根与系数的关系可得出m+n＝﹣1②，将①②代入m3+m2+n中即可求出结论．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m＝1，
等式两边同时乘m，得：m3+m2＝m．
∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的两不同的根，
∴m+n＝﹣1，
∴m3+m2+n＝m+n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出m3+m2＝m，m+n＝﹣1是解题的关键．
10．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　k≥﹣1且k≠0　．
【分析】由关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，知Δ＝22﹣4×k×（﹣1）≥0且k≠0，解之即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）≥0且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0，
故答案为：k≥﹣1且k≠0．
【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
11．（3分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝105°，则∠CAB等于 　15°　．

【分析】连接BD，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝15°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【解答】解：连接BD，如图，

∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝105°﹣90°＝15°，
∴∠CAB＝∠BDC＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
12．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长为 　8　．

【分析】根据切线长定理可得AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，然后求解即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴AF＝AD＝4，CF＝CE，BD＝BE，
∵AC＝10，
∴CF＝AC﹣AF＝10﹣4＝6，
∵BC＝14，
∴BE＝BC﹣CE＝14﹣6＝8，
∴BD＝BE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，主要利用了切线长定理，熟记定理是解题的关键．
13．（3分）在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆心角的度数为　60°　．
【分析】如图，连接OA、OB，判断△OAB为等边三角形，从而得到∠AOB＝60°．
【解答】解：如图，
连接OA、OB，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即弦AB所对的圆心角的度数为60°．
故答案为60°．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
14．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20．则AB的长等于 　12　．

【分析】连接OC，过O作OF⊥AB于点F，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，从而求得x的值，再由垂径定理得出AB的长．
【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB于点F，

∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PA∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA＝90°，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD，
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2，
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、以及垂径定理，熟练掌握矩形的判定和性质、勾股定理、以及垂径定理是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝6，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是3，则△ABC的面积为 　27　．

【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，QT．首先证明A，Q，T共线时，AQ的值最小，设QT＝TB＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．

∵PB是⊙O的直径，
∴∠PQB＝∠CQB＝90°，
∴QT＝BC＝定值，AT是定值，
∵AQ≥AT﹣TQ，
∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，
在Rt△ABT中，则有（3+x）2＝x2+62，
解得x＝4.5，
∴BC＝2x＝9，
∴S△ABC＝•AB•BC＝×6×9＝27，
故答案为：27．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，难度中等偏上．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 　或　．

【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∵∠ADQ＝90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ＝CP＝CQ′＝1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，
∴AQ＝＝＝，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，
∴AQ′＝＝＝，
综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，
故答案为：或．

【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
三、解答随（本大颐共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）3x（x﹣2）＝4﹣2x．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；

（2）3x（x﹣2）＝4﹣2x，
3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x+2）＝0，
x﹣2＝0或3x+2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18．（5分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1＝0
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1＝0有两个整数根？
【分析】（1）分两种情况讨论：当k＝1时和k≠1时，当k≠1时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可得出Δ＝（k﹣2）2≥0，此题得证；
（2）根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，有一个根为﹣1，另一根为，可得1﹣k是1的约数，得k的值．
【解答】解：（1）当k＝1时，方程为一元一次方程，必有一解；
当k≠1时，方程为一元二次方程，
Δ＝k2﹣4（k﹣1）＝（k﹣2）2≥0，
∴一元二次方程有两个实数根．
综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）∵方程（k﹣1）x2+kx+1＝0有两个整数根，
∴方程为一元二次方程，即k≠1，
（k﹣1）x2+kx+1＝0，
解得x＝﹣1或x＝，
又k为整数及方程的两个根都为整数，
1﹣k＝1或﹣1，
∴k＝0或2．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，此题难度较大，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系，注意分类讨论思想的应用．
19．（5分）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB切小圆于点C．
（1）求证：AC＝BC；
（2）若AB＝8，求两圆之间圆环的面积（结果保留π）．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质知OC⊥AB，在大圆中根据垂径定理即可得证；
（2）如图2，由（1）得出AC＝BC＝AB＝4，∠OCB＝90°，由勾股定理得出OB2﹣OC2＝BC2＝16，即可求出答案．
【解答】解：（1）如图1，连接OC，

∵弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB于点P，
∴AC＝BC；
（2）如图2，连接OB，

∵AB＝8，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠OCB＝90°，
由勾股定理得：OB2﹣OC2＝BC2＝16，
∴圆环的面积是πOB2﹣πOC2＝π（OB2﹣OC2）＝16π．
【点评】此题综合运用了切线的性质定理、勾股定理，垂径定理的应用，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
20．（5分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝24，CD＝8，求⊙O的半径及EC的长．

【分析】先根据垂径定理得到AC＝BC＝12，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣8，利用勾股定理得到122+（r﹣8）2＝r2，解方程得到⊙O的半径为13，连接BE，如图，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，易得BE＝2OC＝10，然后根据勾股定理可计算出CE的长．
【解答】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，
∴AC＝BC＝AB＝12，
设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣8，
在Rt△AOC中，122+（r﹣8）2＝r2，
解得r＝13，
连接BE，如图，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OA＝OE，AC＝BC，
∴BE＝2OC＝10，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，
所以⊙O的半径为13，EC的长为2．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和圆周角定理．
21．（5分）已知，在⊙O中，设BC所对的圆周角为∠BAC．
求证：∠BAC＝∠BOC
证明：圆心O可能在∠BAC的一边上，内部和外部（如图①、②和③）．
如图①，当圆心O在∠BAC的一边上时．
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠BOC＝∠A+∠ACO，
∵∠BOC＝2∠A，即∠BAC＝∠BOC
请你完成其余的证明．

【分析】（1）延长BO交⊙O于点D，连接CD，根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得∠A＝∠D，再根据等腰三角形的两底角相等，∠D＝∠OCD，然后利用三角形的外角性质∠BOC＝∠D+∠OCD，整理即可得证；
（2）延长BO交⊙O于点E，连接CE，根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得∠A＝∠E，再根据等腰三角形的两底角相等，∠E＝∠OCE，然后利用三角形的外角性质∠BOC＝∠E+∠OCE，整理即可得证．
【解答】证明：（1）如图（1），延长BO交⊙O于点D，连接CD，则
∠D＝∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，
∵∠BOC＝∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），
∴∠BOC＝2∠A，
即∠BAC＝∠BOC；
（2）如图（2），延长BO交⊙O于点E，连接CE，则
∠E＝∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC＝OE，
∴∠E＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BOC＝2∠A，
即∠BAC＝∠BOC．

【点评】本题考查了圆周角定理的证明，是基础题，作出辅助线找出与∠BAC相等的角，进行等量代换是解题的关键，方法与定理都需要熟练掌握并灵活运用．
22．（5分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，利用经过两次上调价格后的价格＝原价×（1+这两次价格上调的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．
【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：这两次价格上调的平均增长率为20%．
（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，
依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，
整理得：m2﹣4m+3＝0，
解得：m1＝1，m2＝3．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3．
答：每包应该降价3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度向点B移动．当Q运动到B点时，P，Q停止运动，设点P运动的时候为ts．t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？

【分析】利用时间＝路程÷速度，结合“当Q运动到B点时，P，Q停止运动”可得出t的取值范围，当运动时间为ts时，CQ＝2tcm，AP＝tcm，CP＝（6﹣t）cm，根据△PCQ的面积等于5cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：∵8÷2＝4（s），6÷1＝6（s），4＜6，
∴0≤t≤4．
当运动时间为ts时，CQ＝2tcm，AP＝tcm，CP＝（6﹣t）cm．
依题意得：CQ•CP＝5，
即×2t×（6﹣t）＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5（不符合题意，舍去）．
答：t为1时，△PCQ的面积等于5cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（5分）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．

【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，可得∠OAC＝90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA＝OD＝3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABC，
又∵∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD＝90°＝∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）方法一、过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2＝AC2+AO2，
∴（OA+2）2＝16+OA2，
∴OA＝3，
∴OC＝5，BC＝8，
∵S△OAC＝×OA×AC＝×OC×AE，
∴AE＝＝，
∴OE＝＝＝，
∴BE＝BO+OE＝，
∴AB＝＝＝．
方法二、∵∠CAD＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝，
∴，
∴BC＝8，AB＝2AD，
∴BD＝6，
∵AB2+AD2＝BD2，
∴5AD2＝36，
∴AD＝，
∴AB＝2AD＝．
【点评】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
25．（5分）如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得：∠ADP＝∠BCP，由三角形的内角和定理和平角的定义得：∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，最后由等腰三角形的判定和性质可得结论；
（2）连接OA，OB，AB，AC，先根据勾股定理得AB＝8，再证明MN是△AEB的中位线，可得MN的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥PC，
∴∠EMC＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴∠ADP＝∠BCP，
∵∠CEM＝∠DEN，
∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，
∵，
∴∠BDP＝∠ADP，
∴∠DEN＝∠DBN，
∴DE＝DB，
∴EN＝BN，
∴N为BE的中点；
（2）解：连接OA，OB，AB，AC，

∵的度数为90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝8，
∴AB＝8，
由（1）同理得：AM＝EM，
∵EN＝BN，
∴MN是△AEB的中位线，
∴MN＝AB＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造等腰直角三角形解决问题，属于中考常考题．
26．（7分）[学习心得]
（1）宁宁向学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易，
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　45　°；

[初步运用]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝26°，求∠BAC的度数；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，点M为边CD上的一点．
若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　2≤m＜+1　．
②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长，
【分析】（1）由圆周角定理可得出答案；
（2）取BD的中点O，连接AO、CO．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出∠BDC＝∠BAC，则可得出答案；
（3）作出等边三角形OAB，由圆周角定理作出图形即可；
（4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，由图形可知BF≤m＜BQ，由勾股定理求出BF和BQ的长，则可得出答案；
②作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．由圆周角定理及勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC＝90°，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°；
故答案为：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴OA＝BD，OC＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝26°，
∴∠BAC＝26°；
（3）作图如下：
由图知，∠AP1B＝∠AOB＝30°；同理∠AP2B＝30°，

（4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，⊙O交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作OG⊥EF于H且交圆O．于G，过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示：

∵BA＝BF＝2，
∴AF＝2，
∴⊙O的半径为，即OF＝OG＝，
∵OG⊥EF，
∴FH＝1，
∴OH＝1，
∴GH＝﹣1，
∴BF≤m＜BQ，
∴2≤m＜2+﹣1，即2≤m＜+1，
故答案为：2≤m＜+1；
②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC，

∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，
∴BO＝CO＝4，
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE＝BC＝4，
∴DE＝OF＝2．
在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，
∴OE＝DF＝4．
在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2，
∴AF＝＝2，
∴AD＝2+4．
【点评】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/11 13:46:52；用户：张归园；邮箱：18816210866；学号：45466048