江苏省扬州市江都区八校联谊2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考试卷 （月考）

                         九年级数学试卷

                                                                     2023.10

一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A x2﹣3=（x﹣2）（x+3） B. （x+3）（x﹣3）=6

3. =4 D. xy+2x=1

2. 下列命题中，正确的是（　　）

A. 圆心角相等，所对的弦相等 B. 三点确定一个圆

C. 长度相等的弧是等弧 D. 弦的垂直平分线必经过圆心

3.方程x²+2x-3=0的两根的情况是（     ）

A.没有实数根                B.有两个不相等的实数根

C.有两个相同的实数根        D.不能确定

4. 若⊙O的直径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系（　　）

A. 点A在圆内   B. 点A在圆上   C. 点A在圆外 D. 不能确定

5.如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为　　

A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米

      第5题                               第7题

6..点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（    ）

A  B.  C.  D.

7.如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（　　）

A． B． C． D．1

8.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1则△PAB周长的最小值是（  ）

A．2 +1         B．+1      C．2      D．3

二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）

9、方程x（x+1）= x+1的解是      ． 

10. 关于x的一元二次方程的其中一个根是0，则     ．

11.已知直角 △ABC 的斜边长为6， 则这个三角形的外接圆的半径等于          .

12.一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．

13.如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，＝，AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为     

   第13题            第16题             第18题

14. 若，是一元二次方程（）的两个根，那么的值是      ．
15. 若（a2+b2）2-3（a2+b2） -4=0，则代数式a2+b2的值为 ___   ___
16. 如图，AB是的⊙O直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若，那么=        ．
17. 定义：如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程； 如果一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0 那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x²+mx+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn=     

18.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接BE，AF，线段BE和AF相交于点G，连接CG，取CG的中点H，连接DH，则线段DH的最小值为 　                　．

三、解答题（共10小题，共96分）

19.（本题满分8分）解下列方程：

（1） x2+3x+2=0．                   (2）3x2-1=6x  (用配方法)

20.（本题满分8分）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根。

21.（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中， 一段圆弧经过格点A，B，C， 点O为坐标原点(网格纸中每个小正方形的边长为1).

(1)该图中弧所在圆的圆心D的坐标为        .

(2)根据(1)中的条件填空：

①⊙D的半径=         . (结果保留根号):

②点(-3,0)在⊙D      . (填“上”.“内”或“外” )  

③∠ADC=         .

22. （本题满分8分）如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AD=BC．求证：AB=CD．

23.（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围．

（2）若等腰三角形的其中一边为3，另两边是这个方程的两根，求m的值．

24.（本题满分10分）A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．连接AB.

(1)求证：AB平分∠OAC；

(2)延长OA至点P使得OA＝AP，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．

25.（本题满分10分）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）证明：E是OB的中点；

（2）若AB＝6，求CD的长．

26.（本题满分12分）超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．设销售单价定为x元．

(1)超市从第二天起日销售量增加     个，每个“冰墩墩”盈利    元（用含x的代数式表示）；

(2)针对这种“冰墩墩”的销售情况，该商店要保证每天盈利273元，同时又要使顾客得到实惠，那么“冰墩墩”的销售单价应定为多少元？

27（本题满分12分）我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．

(1)若方程为，该方程的衍生点M为 ．

(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．

(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由

28.（本题满分12分）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

(1)如图①, 在损矩形ABCD中, ∠ABC=∠ADC=90°, 则该损矩形的直径是线段         .

(2)在图①中线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆， 并说明你的理由. (尺规作图不要求写作法， 但要保留作图痕迹)

(3)如图②,在△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向三角形外作菱形 ACEF,D为菱形ACEF 的中心,连接BD，当BD平分∠ABC时， 求BC 的长.