2022-2023学年北京市汇文中学教育集团高一（上）期中数学试卷(2)

这是一份2022-2023学年北京市汇文中学教育集团高一（上）期中数学试卷(2)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市汇文中学教育集团高一（上）期中数学试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）下列所给元素与集合的关系正确的是（　　）
A．π∈R B．0∈N* C．2∈Q D．|﹣5|∉Z
2．（5分）如图所示，全集U＝R，M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣1≤x≤1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，0） C．（0，1] D．[﹣1，0]
3．（5分）集合P={x|y=x+1}，集合Q={y|y=x-1}，则P与Q的关系是（　　）
A．P＝Q B．P⫌Q C．P⫋Q D．P∩Q＝∅
4．（5分）下列各组函数表示同一函数的是（　　）
A．y＝x与y=x2 B．y＝x+1与y=x2-1x-1
C．y=x2-1+1-x2与y＝0 D．y＝x与y=3x3
5．（5分）下列函数在定义域上是减函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y=(12)x D．y=x12
6．（5分）若a＝20.5，b＝20.6，c＝0.62，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
7．（5分）使不等式x2﹣x﹣6＜0成立的充分不必要条件是（　　）
A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜3 C．0＜x＜5 D．﹣2＜x＜4
8．（5分）给出函数f（x），g（x）如表，则f[g（x）]的值域为（　　）
x
1
2
3
4
f（x）
4
3
2
1

x
1
2
3
4
g（x）
1
1
3
3
A．{4，2} B．{1，3}
C．{1，2，3，4} D．以上情况都有可能
9．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣3x+k（k为常数），则f（﹣1）＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
10．（5分）已知函数y=(a-1)x2+x+1的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围为（　　）
A．[1，54] B．[54，+∞) C．(54，+∞) D．(-∞，54)
11．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+x，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
12．（5分）若∀x，y∈R，函数f（x）满足f（x）+f（y）﹣f（x+y）＝3，函数g(x)=xx2+1+f(x)，则g（2022）+g（﹣2022）＝（　　）
A．0 B．6 C．9 D．2022
二、填空题（每题5分，共30分）
13．（5分）函数f（x）=1x+1-x的定义域是 　 　．
14．（5分）若命题“∃x0∈R，ax02-ax0+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是 　 　．
15．（5分）请写出一个定义域为R，值域为（﹣∞，1）的函数解析式为 　 　．
16．（5分）若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是　 　．
17．（5分）定义：对于非空集合A，若元素x∈A，则必有（m﹣x）∈A，则称集合A为“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有　 　个．
18．（5分）若使集合A＝{x|（kx﹣k2﹣8）（x﹣1）＞0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是 　 　．
三、解答题（共60分）
19．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x|t＜x＜t+6}，其中t∈R．
（1）当t＝1时，求A∩B和A∪B；
（2）若A⊆B，求t的取值范围．
20．（12分）已知函数f(x)=1-x22x．
（Ⅰ）求f(-13)；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（Ⅲ）求证：函数在（0，+∞）上单调递减．
21．（12分）已知函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[0，3]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．
22．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=a-2xb+2x是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若存在t∈[0，4]，使f（k+t2）+f（4t﹣2t2）＜0成立，求k的取值范围．
23．（12分）对于函数y＝f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，则称函数y＝f（x）为“P函数”．
（1）判断y1=(x-1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；
（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x-k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．

2022-2023学年北京市汇文中学教育集团高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．【解答】解：R、N*、Q、Z分别表示了实数集、正整数集、有理数集、整数集，
故π∈R，0∉N*，2∉Q，|﹣5|＝5∈Z，
故选：A．
2．【解答】解：阴影部分表示的集合为∁M∪NM，
又∵M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣1⩽x⩽1}，
∵M∪N＝{x|x⩾﹣1}，
∴∁M∪NM＝[﹣1，0]．
故选：D．
3．【解答】解：∵P={x|y=x+1}={x|x≥-1}，
Q＝{y|y≥0}
由图可知：
∴P⊃且≠Q，
故选：B．

4．【解答】解：y＝x与y=x2=|x|的对应关系不一致，故不表示同一函数；
y＝x+1与y=x2-1x-1=x+1（x≠1）的定义域不一致，故不表示同一函数；
y=x2-1+1-x2=0（x＝±1）与y＝0的定义域不一致，故不表示同一函数；
y＝x与y=3x3=x的定义域和对应关系均相同，故可表示同一函数；
故选：D．
5．【解答】解：根据二次函数的性质可知，A显然不符合题意；
根据幂函数性质可知y＝x﹣1显然不符合题意；
根据指数函数的性质可知，y＝（12）x在R上单调递减，
根据幂函数的性质可知，y=x12在[0，+∞）上单调递增．
故选：C．
6．【解答】解：因为函数y＝2x是单调增函数，且0＜0.5＜0.6，
所以1＝20＜20.5＜20.6，即1＜a＜b；
又函数y＝0.6x是单调减函数，且2＞0，
所以0.62＜0.60＝1，即c＜1；
所以c＜a＜b．
故选：D．
7．【解答】解：由x2﹣x﹣6＜0可得：﹣2＜x＜3，
即不等式的解集为（﹣2，3），
因为（﹣2，0）⫋（﹣2，3），则﹣2＜x＜0是不等式x2﹣x﹣6＜0成立的充分不必要条件，
而选项B是充要条件，选项C对应的集合与（﹣2，3）只有交集，选项D是不等式x2﹣x﹣6＜0成立的必要不充分条件，
故选：A．
8．【解答】解：∵当x＝1或x＝2时，g（1）＝g（2）＝1，
∴f（g（1））＝f（g（2））＝f（1）＝4；
当x＝3或x＝4时，g（3）＝g（4）＝3，
∴f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2．
故f[g（x）]的值域为{2，4}．
故选：A．
9．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数；
∴f（0）＝1﹣0+k＝0；
∴k＝﹣1；
∴x≥0时，f（x）＝2x﹣3x﹣1；
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2﹣3﹣1）＝2．
故选：A．
10．【解答】解：当a＝1时，y=x+1的值域为[0，+∞），满足题意；
当a≠1时，要使函数y=(a-1)x2+x+1的值域为[0，+∞），
则a-1＞01-4(a-1)≥0，解得1＜a≤54，
综上可得实数a的取值范围是[1，54]．
故选：A．
11．【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+x＝x（1﹣x），
则在区间（0，1）上，f（x）＞0，在区间（1，+∞）上，f（x）＜0，
又由f（x）为奇函数，在区间（﹣1，0）上，f（x）＜0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f（x）＞0，
（x﹣1）f（x）＞0⇒x-1＞0f(x)＞0或x-1＜0f(x)＜0，解可得﹣1＜x＜0，
即不等式的解集为（﹣1，0），
故选：B．
12．【解答】解：由题意，将x＝y＝0代入f（x）+f（y）﹣f（x+y）＝3，得f（0）＝3，
将y＝﹣x代入f（x）+f（y）﹣f（x+y）＝3，得f（x）+f（﹣x）﹣f（0）＝3，即f（x）+f（﹣x）＝6．
设h（x）=xx2+1，（x∈R），则h（﹣x）=-xx2+1=-h（x），
所以h（x）是R上的奇函数，则h（x）+h（﹣x）＝0，
又g（x）=xx2+1+f（x）＝h（x）+f（x），
所以g（2022）+g（﹣2022）＝h（2022）+f（2022）+h（﹣2022）+f（﹣2022）＝6，
故选：B．
二、填空题（每题5分，共30分）
13．【解答】解：要使函数f（x）=1x+1-x有意义，
则x≠01-x≥0，解得x≤1且x≠0，
所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．
14．【解答】解：若命题“∃x0∈R，ax02-ax0+1≤0”是假命题，
则命题的否定：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0为真命题，
只需Δ＝a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，
故答案为：（0，4）．
15．【解答】解：令y＝﹣3x+1，函数的定义域为R，
因为指数函数y＝3x的值域为（0，+∞），所以y＝﹣3x的值域为（﹣∞，0），
所有y＝﹣3x+1的值域为（﹣∞，1），满足题意．
故答案为：y＝﹣3x+1（答案不唯一）．
16．【解答】解：∵x+3y＝5xy，x＞0，y＞0，
∴15y+35x=1，
∴3x+4y＝（3x+4y）（15y+35x）=135+3x5y+4y5x×3≥135+23x5y⋅12y5x=5，
当且仅当3x5y=12y5x即x＝2y＝1时取等号，
故答案为：5．
17．【解答】解：①含有1个元素的“8和集合”：{4}；
②含有2个元素的“8和集合”：{1，7}，{2，6}，{3，5}；
③含有3个元素的“8和集合”：{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}；
④含有4个元素的“8和集合”：{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}；
⑤含有5个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，4}，{1，7，3，5，4}，{2，6，3，5，4}；
⑥含有6个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5}；
⑦含有7个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5，4}．
18．【解答】解：由题意知：
①当k＝0时，A＝{x|﹣8（x﹣1）＞0，x∈Z}＝{x|x＜1，x∈Z}，
此时集合A中的元素个数为无限个，故舍去；
②当k＞0时，（kx﹣k2﹣8）（x﹣1）＞0，
等价于kx-k2-8＞0x-1＞0或kx-k2-8＜0x-1＜0，
∴x＞k+8kx＞1或x＜k+8kx＜1，
∴x＞k+8k或x＜1，
∴A＝{x|x＞k+8k或x＜1，k∈Z}，
此时集合A中的元素个数为无限个，故舍去；
③当k＜0时，（kx﹣k2﹣8）（x﹣1）＞0，
等价于x＜k+8kx＞1或x＞k+8kx＜1，
∵k+8k＜1，∴k+8k＜x＜1，
∴A＝{x|k+8k＜x＜1，x∈Z}，
此时集合A中的元素个数为有限个，且k+8k的值越大，集合A中的元素就越少，
∵k+8k≤-42，且﹣6＜-42＜-5，
∴当﹣6≤k+8k＜-5时，即﹣4≤k≤﹣2时，集合A中的元素个数最少．
故答案为：[﹣4，﹣2]．
三、解答题（共60分）
19．【解答】解：（1）当t＝1时，B＝{x|t＜x＜t+6}＝{x|1＜t＜7}，
A＝{x|x2﹣5x≤0}＝{x|0≤x≤5}，
故A∩B＝{x|1＜x≤5}，A∪B＝{x|0≤x＜7}．
（2）∵A⊆B，
∴t＜0t+6＞5，解得﹣1＜t＜0，
故t的取值范围为（﹣1，0）．
20．【解答】解：（Ⅰ）f(-13)=1-(-13)22×(-13)=1-19-23=89-23=-43．
（Ⅱ）函数的定义域为{x|x≠0}，
则f（﹣x）=1-x2-2x=-f（x），则f（x）是奇函数．
（Ⅲ）证明：f（x）=12x-12x，
设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=12（1x1-x1-1x2+x2）=12[（x2﹣x1）+x2-x1x1x2]=12（x2﹣x1）（1+1x1x2），
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），即函数在（0，+∞）上为减函数．
21．【解答】解：（I）根据题意，函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a．函数f（x）为二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝a，
因为函数f（x）在区间[0，3]上是单调函数，
所以函数f（x）在区间[0，3]上是增函数或减函数，
所以a≤0或a≥3．
（Ⅱ）f（x）对称轴为x＝a，
当a≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上是减函数，
则f（x）max＝f（0）＝1﹣a＝3，即a＝﹣2；
当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增函数，在区间[a，1]上是减函数，
则f（x）max＝f（a）＝a2﹣a+1＝3，解得a＝2或﹣1，不符合题意；
当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增函数，
则f（x）max＝f（1）＝﹣1+2a+1﹣a＝3，解得a＝3；
综上所述，a＝﹣2或a＝3．
22．【解答】（1）解：由题意知，f（0）＝0=a-1b+1，所以a＝1，
所以f（x）=1-2xb+2x，
因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以1-2-xb+2-x=-1-2xb+2x，化简得2x-1b⋅2x+1=2x-1b+2x，
所以b•2x+1＝b+2x，即b（2x﹣1）＝（2x﹣1），所以b＝1．
（2）证明：f（x）在R上单调递减，证明过程如下：
由（1）知，f（x）=1-2x1+2x=2-(1+2x)1+2x=21+2x-1，
任取x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=21+2x1-1-21+2x2+1=2(2x2-2x1)(1+2x1)(1+2x2)，
因为x1＜x2，所以2x2-2x1＞0，1+2x2＞0，1+2x1＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R上单调递减．
（3）解：因为f（x）是奇函数，
所以不等式f（k+t2）+f（4t﹣2t2）＜0可化为f（k+t2）＜﹣f（4t﹣2t2）＝f（2t2﹣4t），
又f（x）在R上单调递减，
所以k+t2＞2t2﹣4t，即k＞t2﹣4t，
原问题等价于存在t∈[0，4]，使k＞t2﹣4t，
设g（t）＝t2﹣4t，是开口向上，对称轴为t＝2的二次函数，
所以g（t）在[0，2）上递减，在（2，4]上递增，
所以g（t）min＝g（2）＝4﹣8＝﹣4，
所以k＞﹣4，
故k的取值范围为（﹣4，+∞）．
23．【解答】解：（1）若y1=(x-1)2，x∈R是“P函数”，则满足(a-1)2=(b-1)2=2(a+b2-1)2，
∴a2-b2-2a+2b=0a2-b2-2ab+4b-2=0，两式相减得﹣2a+2ab+2b﹣4b+2＝0，即ab﹣a﹣b+1＝0．
∴（b﹣1）（a﹣1）＝0，则b＝1或a＝1，与f（a）＝f（b）≠0矛盾，
故y1=(x-1)2，x∈R不是“P函数”；
（2）y2=|2x-k|，x∈(0，n)是“P函数”．
①若k≤0，则2x-k＞0，则y2=|2x-k|=2x-k在x∈（0，n）上单调递减，
故不满足存在实数a、b满足b＞a＞1且f（a）＝f（b），不合题意；
②若k＞0，∵g（x）=2x-k，x∈（0，n）单调递减，且g（2k）＝0，
故x∈（0，2k）时，f（x）＝|2x-k|单调递减，x∈（2k，+∞）时，f（x）＝|2x-k|单调递增，
故a∈（0，2k），b∈（2k，+∞），
∴f（a）=2a-k=f（b）＝k-2b=2f（a+b2），则k=1a+1b，
∴f（a）=2a-1a-1b=1a-1b，则2f（a+b2）＝2|4a+b-k|＝2|4a+b-(1a+1b)|．
若2[4a+b-(1a+1b)]=1a-1b，则8a+b=3a+1b=3b+aab，整理可得a2+3b2﹣4ab＝0，
得a＝3b，不合题意；
若2[4a+b-(1a+1b)]=1b-1a，则8a+b=3b+1a=3a+bab，整理可得3a2+b2﹣4ab＝0，
得b＝3a，故k=1a+1b=43a，2k=3a2，a=43k．
由（0，n）中存在实数a、b满足b＞a＞1且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，n的最小值为5，
故在（0，5）中存在a满足f（a）＝f（3a）＝2f（2a），且4≤3a＜5，
故4≤k4＜5，得45＜k≤1．
综上所述，实数k的取值范围是（45，1]．
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