安徽省县中联盟2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题（月考）

这是一份安徽省县中联盟2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题（月考），共13页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知向量，集合，其中，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。
2023~2024学年安徽县中联盟高二10月联考数学试题考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教版必修第一册､第二册，选择性必修第一册2.2结束.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，，则（    ）A.    B.    C.2    D.2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ）A.    B.    C.    D.3.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ）A.    B.    C.    D.4.已知直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转后与轴交于点，要使直线平移后经过点，则应将直线（    ）A.向左平移个单位长度    B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度    D.向右平移个单位长度5.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ）A.    B.    C.    D.6.光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（    ）A.    B.C.    D.7.已知向量，集合，其中，则（    ）A.B.C.若，则为钝角D.若，则8.已知，则（    ）A.    B.C.    D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则（    ）A.B.C.为偶函数D.不等式的解集为10.如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（    ）A.点关于直线的对称点的坐标为B.点关于点的对称点的坐标为C.夹角的余弦值为D.平面的一个法向量的坐标为11.已知，点及直线，则（    ）A.直线恒过的定点在直线上B.若直线在两坐标轴上的截距相等，则C.若直线过第二､四象限，则D.若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则12.已知函数，则下列结论正确的是（    ）A.都是周期函数，且有相同的最小正周期B.若在上有2个不同实根，则的取值范围是C.若方程在上有6个不同实根，则的值可以是D.若方程在上有5个不同实根，则的取值范围是三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是随机事件，则“”是“与互斥而不对立”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）14.已知平面的一个法向量，点，且，则__________.15.已知点分别在直线上移动，若为原点，，则直线斜率的取值范围是__________.16.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.17.（本小题满分10分）已知直线.（1）若，求的值；（2）若，求过原点与点的直线的方程.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，.（1）利用空间向量证明；（2）求的长.19.（本小题满分12分）2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名：企业数字人丰富度数字人传播声量数字人应用潜力综合得分百度78.089.085.084.1科大讯飞78.484.384.982.8360集团82.382.283.182.6小冰公式85.081.981.382.6华为77.090.079.181.7阿里巴巴77.078.884.180.4抖音集团77.080.980.979.8哗哩哗哩77.281.880.079.7（1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数；（2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差（精确到0.1）；（3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件“两数之和大于171.0”，事件“两数之差的绝对值”，判断事件与事件是否相互独立.20.（本小题满分12分）已知为坐标原点，，过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.（1）求的最小值；（2）若的面积为，且对于每一个的值满足条件的值只有2个，求的取值范围.21.（本小题满分12分）已知中，内角所对的边分别为，且.（1）若的平分线与边交于点，求的值；（2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值.22.如图，在四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，.（1）求与平面所成角的正弦值；（2）若四棱柱的体积为16，点在棱上，且，求点到平面的距离.2023~2024学年安徽县中联盟高二10月联考•数学参考答案､提示及评分细则1.D  由知，则.2.C  因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以，故选C.3.A  由题可知是边长为的正三角形，所以，故选A.4.D  设直线的倾斜角为，则，旋转后的直线斜率为，又点坐标为，所以旋转后的直线方程为，因为直线过点，所以把直线向右平移个单位长度后经过点，故选D.5.B  因为共面，所以存在实数，使得，即，所以在上的投影向量的模为，故选B.6.C  设点关于直线的对称点为，则，解得.由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选C.7.D  设，令得，所以错误；为锐角，C错误；，D正确.故选D.8.A  因为，所以，故选A.9.AD  由，且在上单调递减，知，A正确；由奇函数图象关于原点对称可知在上单调递减，且，则，B错误；为非奇非偶函数，C错误；画出简易图象知不等式的解集为，D正确.故选AD.10.AD  对于A，设点关于直线的对称点为，则四边形为正方形，所以坐标为，A正确，对于，设点关于点的对称点为，则中点为，由得错误；对于，由，得，所以夹角的余弦值为错误；对于，因为，设平面的一个法向量的坐标为，，则，取得平面的一个法向量的坐标为，D正确，故选AD.11.CD  对于，直线斜率不存在时，，得，直线方程为，直线斜率存在时，其方程为，得其过定点，综上直线过点，其不在直线上，错误；对于，直线在两坐标轴上的截距相等，则直线过原点或直线不过原点且斜率为-1，当直线过原点时，直线不过原点且斜率为-1时，错误；对于，直线过第二､四象限，则直线斜率，正确；若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补，又直线过定点，经分析知只有时满足题意，此时直线的斜率为，D正确.故选CD.12.ABD  对于都是周期函数，且最小正周期都是2，正确；对于时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，因为时，所以，所以的取值范围是，B正确；都是最小正周期为2的周期函数，在上两函数图象有1个交点，在每个周期上两函数图象有2个交点，所以方程在上有5个实根，C错误；方程在上有5不同实根，，所以的取值范围是，D正确.故选ABD.13.必要不充分14.  因为，所以，因为，所以，所以，所以.15.  因为点分别在直线上移动，所以0，两式相减得，所以直线的斜率，因为，所以，所以，即直线斜率的取值范围是.16.  因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为，设其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，易知外接球球心在线段上，且垂直于平面与平面，则，所以，解得，所以该截角四面体的外接球的表面积为.17.解：（1）因为直线斜率为，且，所以，直线斜率为，由得，解得或，当或时与均不重合，所以的值为3或-1.（2）因为直线斜率为，且，所以，直线斜率为，由得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.18.（1）证明：设，则构成空间的一个基底，，，所以，所以.（2）解：由（1）知，所以.所以.19.解：（1）这8家企业综合得分的极差为，因为，所以把数字人丰富度的8个数据按照从小到大排列，则第45百分位数为第4个数据77.2.（2），.（3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，前5个数据依次为：，从中任取2个不同数据，结果有：，，共有10种，，，，，，，，即事件与事件相互独立.20.解：（1）因为过点且斜率为的直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点.所以，设直线的倾斜角为，则，所以，所以当，即时，取得最小值4，（2）直线的方程为，即，所以，所以，整理得，因为对于每一个的值满足条件的值只有2个，所以该方程有2个不同的正根，所以，解得，所以的取值范围是.21.解：（1）可得，解得，设，则，由余弦定理得，所以.因为为的平分线，所以，又，则.（2）因为，由（1）得，设，由余弦定理得，所以，因为，所以，当时取等号，所以，所以，当时取等号，所以的最小值为.22.解：（1）因为四棱锥是正四棱锥，连接交于点，则，连接，则平面，所以两两垂直.如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，因为，则，设与交于点，则为的中点，所以，，所以，设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，直线的一个方向向量为，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）因为四棱柱的体积为，所以，由（1）知，，.因为，则，所以，，设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，所以点到平面的距离为.