第23章 图形的相似-解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法(含答案)

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解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法—网搜罗　　　　　　　　　　　　类型一　找线段对应的三角形，利用相似证明1．(虹口区模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，BE⊥AE，垂足为点E，求证：BE2＝DE·AE.   2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.求证：＝.    3．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M，N分别为垂足．求证：＝.    类型二　利用等线段代换证明4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.   5．如图，已知AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F.求证：DE2＝BE·CE.     6．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC且交AC于F，过F作FG∥AB，交AE于G.求证：AG2＝AF·CF.      类型三　找中间比利用等积式代换7．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AE∥BC，ED交AB于P，交AC的延长线于Q.求证：PD·EQ＝PE·DQ.   8．★如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F.求证：AC·CF＝BC·DF.   9．★如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E为AC的中点，ED的延长线交AB于F.求证：＝.     解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠C＝90°，AE⊥BE，∴∠ADC＋∠CAD＝∠BDE＋∠DBE.∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE，∴∠BAD＝∠DBE，∴Rt△ABE∽Rt△BDE，∴＝，∴BE2＝DE·AE.2．证明：证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BFA＝180°－∠BDC－∠CFD，即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝.证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴＝.3．证明：在▱ABCD中，∠B＝∠D，AD＝BC，又∵∠AMB＝∠AND＝90°，∴Rt△AMB∽Rt△AND，∴＝＝.又∵AB∥CD，AN⊥CD，∴AN⊥AB.∴∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋∠B＝90°，∴∠B＝∠MAN，∴△AMN∽△BAC，∴＝.4．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，∴＝.又∵AB＝AD，∴＝. 5．证明：如图，连接AE.∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠4.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE＝∠2＋∠3，∠4＝∠B＋∠1，∴∠B＝∠3.又∵∠BEA＝∠AEC，∴△BEA∽△AEC，∴＝，∴AE2＝BE·CE，∴DE2＝BE·CE.6．证明：∵BE⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABF＋∠CBF＝90°，∴∠BAF＝∠CBF，∴△ABF∽△BCF，∴＝，∴BF2＝AF·CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠BCE＝90°.又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE.∵GF∥AB，∴＝，∴AG＝BF，∴AG2＝AF·CF.7．证明：∵AE∥DC，∴△QCD∽△QAE，∴＝.∵AE∥BD，∴△BDP∽△AEP，∴＝.∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∴＝，即PD·EQ＝PE·DQ.8．证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴＝.∵E为BC的中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝∠DAC，∴∠FDC＝∠FAD.又∵∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴＝，∴＝，∴＝，∴AC·CF＝BC·DF.9．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDA＝90°，∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△ABD∽△CAD，∴＝.在Rt△ADC中，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC.又∵∠EDC＝∠FDB，∴∠FDB＝∠BAD，即∠FDB＝∠FAD.又∵∠F＝∠F，∴△DFB∽△AFD，∴＝.∴＝.