新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练大题保分练2（含解析）

这是一份新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练大题保分练2（含解析），共5页。
大题保分练21．(2022·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos A＝1，B＝.(1)求b的值；(2)求△ABC面积的最大值．解　(1)在△ABC中，由正弦定理知，＝＝＝2R，∵acos C＋ccos A＝1，∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1，即2Rsin B＝1，∴b＝2Rsin B＝1.(2)在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝，∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”)，∴(2－)ac≤1，∴ac≤2＋，又∵S△ABC＝acsin B＝ac，∴S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为.2．(2022·苏州四校联考)甲、乙相约进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，乙得4分的概率；(2)设比赛结束，甲得X分，求X的分布列与均值．解　(1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2∶1获胜，故前两局比赛，甲胜一场，败一场，最后一局比赛，甲胜．则比赛结束，乙得4分的概率为C×××＝.(2)若甲连胜两局结束比赛，甲得6分，其概率为2＝；若甲连败两局结束比赛，甲得2分，其概率为2＝；若甲以2∶1结束比赛，甲得6分，其概率为C×××＝；若乙以2∶1结束比赛，甲得4分，其概率为C×××＝，故X的分布列为X246P E(X)＝2×＋4×＋6×＝.3．(2022·襄阳模拟)已知等差数列{an}满足a1＝1，且前四项和为28，数列{bn}的前n项和Sn满足2Sn＝3bn－3λ(λ∈R)．(1)求数列{an}的通项公式，并判断{bn}是否为等比数列；(2)对于集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}．若λ＝1，设数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将集合A－B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前30项和T30.解　(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，且前4项和为28，∴S4＝4×1＋×d＝28，解得d＝4，∴an＝1＋4(n－1)＝4n－3.∵2Sn＝3bn－3λ，∴当n≥2时，2Sn－1＝3bn－1－3λ，两式相减得2bn＝3bn－3bn－1(n≥2)，即bn＝3bn－1(n≥2)，又2b1＝3b1－3λ，∴b1＝3λ.∴当λ＝0时，数列{bn}的通项公式为bn＝0，不是等比数列；当λ≠0时，数列{bn}是首项为3λ，公比为3的等比数列，且bn＝λ3n.(2)由(1)知bn＝3n，则b4＝81，b5＝243，∵a30＝4×30－3＝117，∴b4<a30<b5，∴T30中要去掉{bn}的项最多4项，即3,9,27,81，其中9,81是{an}和{bn}的公共项，∴数列{cn}的前30项和T30由{an}的前32项和去掉9,81，则T30＝(a1＋a2＋…＋a32)－(9＋81)＝－90＝1 926，∴数列{cn}的前30项和T30为1 926.4.(2022·唐山模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，D为BC的中点，E为棱AA1上一点，AD⊥DC1.(1)求证：BC⊥平面A1AD；(2)若平面A1DE与平面C1DE的夹角为30°，求直线CE与平面C1DE所成角的正弦值．(1)证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD，又AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，CC1⊂平面BCC1B1，DC1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，又BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC.由直三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD⊂平面A1AD，AA1⊂平面A1AD，∴BC⊥平面A1AD.(2)解　由(1)知，AD⊥BC，又D为BC的中点，∴AB＝AC.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0,0,0)，C(1,0,0)，B(－1,0,0)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，设AE＝t(0≤t≤2)，则E(0，，t)．由(1)知，平面A1DE的一个法向量可取＝(2,0,0)，设平面C1DE的法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(1,0,2)，＝(0，，t)，∴令x＝2，解得z＝－，y＝t，∴n＝(2，t，－)，∴|cos〈，n〉|＝＝＝，解得t＝1，此时n＝(2，1，－)，设CE与平面C1DE所成角为θ，∵＝(－1，，1)，∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即直线CE与平面C1DE所成角的正弦值为.