新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练4（含解析）

这是一份新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练4（含解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

小题满分练4
一、单项选择题
1.(2022·中山统考)设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)

A．M∩N B．M∪N
C．(∁UM)∪N D．(∁UM)∩N
答案　D
解析　由Venn图知，元素属于N但不属于M，
即阴影部分对应的集合为(∁UM)∩N.
2．(2022·衡水中学模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么b等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．－4
答案　A
解析　＝
＝
＝＋i，
因为复数为纯虚数，
所以＝0且≠0，解得b＝1.
3．“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行，所以a≠0，且两直线的斜率相等，
即－＝－a，解得a＝±1，
而当a＝1时，直线x＋ay＝1为x＋y＝1，同时ax＋y＝1为x＋y＝1，两直线重合，不满足题意；
当a＝－1时，x－y＝1与－x＋y＝1平行，满足题意，故a＝－1，
又“a2＝1”是“a＝－1”的必要不充分条件，
所以“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的必要不充分条件．
4．(2022·佛山模拟)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某个被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为(　　)
(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)
A．0.369 B．0.415
C．0.585 D．0.631
答案　C
解析　由题意知，lg(100X0)＝10lg(1＋p)＋lg X0，
即2＋lg X0＝10lg (1＋p)＋lg X0，
所以1＋p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585.
5．(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是(　　)
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案　C
解析　对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为＝7.4，A选项结论正确；
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.506 25>8，B选项结论正确；
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.375<0.4，C选项结论错误；
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.812 5>0.6，D选项结论正确．
6．(2022·常德模拟)已知在△ABC中，B＝，AB＝1，角A的角平分线AD＝，则AC等于(　　)
A. B．2
C.＋1 D.＋3
答案　C
解析　在△ABD中，由正弦定理得
＝，
所以sin∠ADB＝＝＝，
因为B＝，
所以∠ADB＝，∠BAD＝，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
sin ＝sin
＝sin cos －cos sin ＝，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，
所以AC＝＝
＝＝＋1.


7．(2022·湖南长郡中学模拟)已知f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线．则下列结论中正确的是(　　)
A．－1 C．－3 答案　D
解析　设切点为(x0，x－x0)，f′(x)＝3x2－1，
所以切线斜率为3x－1，
所以切线方程为
y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，
将(2，m)代入方程得m－(x－x0)＝(3x－1)(2－x0)，即2x－6x＋2＋m＝0，
由题设知该方程有3个不等实根．
令u(x)＝2x3－6x2＋2＋m，
u′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
当x<0时，u′(x)>0，
当0 当x>2时，u′(x)>0，
所以u(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以u(x)在x＝0时取得极大值u(0)＝2＋m，
在x＝2时取得极小值u(2)＝2×8－6×4＋2＋m＝m－6，
由三次函数图象知
解得－2 8．(2022·济宁模拟)等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则·＋·的最大值为(　　)
A．4 B．7 C．8 D．11
答案　C
解析　如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AO＝2，

所以A(0,2)，设等边三角形ABC的边长为a，
则＝＝2R＝4，
所以a＝2，
则B(－，－1)，C(，－1)．
又因为P是该圆上的动点，
所以设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π]，
＝(－2cos θ，2－2sin θ)，
＝(－－2cos θ，－1－2sin θ)，
＝(－2cos θ，－1－2sin θ)，
·＋·＝－2cos θ(－－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－－2cos θ)(－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)
＝4＋2sin θ＋2cos θ＝4＋4sin，
因为θ∈[0,2π]，
所以θ＋∈，
sin∈[－1,1]，
所以当sin＝1时，
·＋·取得最大值为8.
二、多项选择题
9．(2022·韶关模拟)已知10a＝2,102b＝5，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋2b＝1 B．ab<
C．ab>lg22 D．a>b
答案　ABC
解析　由题可知a＝lg 2，b＝lg 5＝lg ，
又>2，所以a 因为10a·102b＝10a＋2b＝10，
所以a＋2b＝1，A正确；
由基本不等式得a＋2b≥2，
所以ab≤，当且仅当a＝2b时取等号，
又因为a＝lg 2,2b＝lg 5，
所以a≠2b，故ab<，B正确；
由于a＝lg 2>0，b＝lg >lg 2，
所以ab>lg22，C正确．
10．(2022·衡阳模拟)将《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是(　　)
A．事件A与B相互独立
B．事件A与C相互独立
C．P(C|A)＝
D．P(B|A)＝
答案　CD
解析　将《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有CA＝36个样本点，
事件A包含的样本点数为A＋CA＝12，
则P(A)＝＝，
同理P(B)＝P(C)＝，
事件AB包含的样本点数为A＝2，
则P(AB)＝＝，
事件AC包含的样本点数为C＋CC＝5，
则P(AC)＝，
因为P(A)P(B)＝≠P(AB)，故A错误；
因为P(A)P(C)＝≠P(AC)，故B错误；
因为P(C|A)＝＝，故C正确；
因为P(B|A)＝＝，故D正确．
11.(2022·十堰统考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则(　　)

A．直线A1C与平面AFD1垂直
B．直线BE与平面AFD1平行
C．三棱锥A1－AFD1的体积等于
D．平面AFD1截正方体所得的截面面积为
答案　BD
解析　以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，
F(0,2,1)，
则·＝(－2,2，－2)·(0,2，－1)＝6≠0，
显然A1C与D1F不垂直，故直线A1C与平面AFD1不垂直，A不正确；
因为E，F分别为棱AA1，CC1的中点，
所以BE∥D1F.
又BE⊄平面AFD1，D1F⊂平面AFD1，
所以直线BE与平面AFD1平行，B正确；
＝××2×2×2＝，
C不正确；
如图，取棱BC的中点G，连接AG，FG，
因为F为棱CC1的中点，所以FG∥AD1，
则四边形AGFD1为平面AFD1截正方体所得的截面，该四边形AGFD1的面积为×(＋2)×＝，D正确．

12．(2022·临沂模拟)在平面四边形ABCD中，△ABD的面积是△BCD面积的2倍，又数列{an}满足a1＝2，当n≥2时，恒有＝(an－1－2n－1)·＋(an＋2n)，设{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A．{an}为等比数列
B．{an}为递减数列
C.为等差数列
D．Sn＝(5－2n)2n＋1－10
答案　BCD
解析　如图，设AC与BD交于点E，

＝
＝＝2，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
因为B，E，D共线，所以存在实数λ(λ≠0)，
使得＝λ，
所以＝(an－1－2n－1)＋(an＋2n)
＝λ＋λ，
所以
所以an＋2n＝2(an－1－2n－1)，则an＝2an－1－2n＋1，
所以a1＝2，a2＝－4，a3＝－24，{an}不是等比数列，A错误；
因为an＝2an－1－2n＋1，
所以＝－2，即－＝－2，
所以是等差数列，C正确；
又因为a1＝2，则＝1，
即＝1－2(n－1)＝3－2n，
所以an＝(3－2n)·2n，
当n≥2时，
an－an－1＝(3－2n)·2n－[3－2(n－1)]·2n－1
＝(1－2n)·2n－1<0，
即an 因为Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝1×2＋(－1)×22＋(－3)×23＋…＋(3－2n)×2n，
2Sn＝1×22＋(－1)×23＋…＋(5－2n)×2n＋(3－2n)×2n＋1，
两式相减得－Sn＝2＋(－2)×22＋(－2)×23＋…＋(－2)×2n－(3－2n)×2n＋1
＝2＋(－2)×－(3－2n)×2n＋1
＝10－(5－2n)×2n＋1，
所以Sn＝(5－2n)×2n＋1－10，D正确．
三、填空题
13．(2022·山东联考)a>0，b>0，若2是a与b＋1的等比中项，则a＋b的最小值为________．
答案　3
解析　由题可得a(b＋1)＝4，
则a＋b＝＋b＝b＋1＋－1
≥2－1＝2－1＝3，
当且仅当b＋1＝，即b＝1，a＝2时，等号成立．
故a＋b的最小值为3.
14．(2022·衡水中学调研)某班级上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数为________．
答案　16
解析　根据题意，可分三步进行分析：
(1)要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2(种)情况；
(2)将这个整体与英语全排列，有A＝2(种)顺序，排好后，有3个空位；
(3)数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，所以不同的排课方法的种数是2×2×4＝16.
15．(2022·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)＝2sin，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象关于x轴翻折，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递增区间为________．
答案　
解析　将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得f(x)＝2sin，
再将f(x)＝2sin的图象关于x轴翻折，
可得g(x)＝－2sin.
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
当k＝－1时，得－≤x≤－，
当k＝1时，得≤x≤，
当k＝0时，得≤x≤，
即y＝2sin在上单调递减．
所以g(x)在[0,2π]上的单调递增区间为.
16．(2022·中山统考)已知点M为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)在第一象限内一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为________；若MF，MO所在直线分别交双曲线C于点P，点Q，记直线QM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝________.
答案　4　－15
解析　设M(x0，y0)，
因为4|MO|＝4|MF|＝7|OF|＝7c，
所以|MO|＝|MF|＝c.
所以x0＝，
y0＝＝c，
即M.所以－＝1，
整理得4b2c2－45a2c2＝16a2b2，
4c4－65a2c2＋16a4＝0，
即4e4－65e2＋16＝0，
解得e2＝或e2＝16.
因为e>1，所以e2＝16，即e＝4.
设P(x1，y1)，由题知，Q(－x0，－y0)，
因为|MO|＝|MF|，
所以kQM＝－kMP，即k1＝－kMP，
所以k1·k2＝－kMP·k2＝－·
＝－.
又因为
⇒(x－x)－(y－y)＝0，
所以＝＝＝e2－1＝15，
所以k1·k2＝－15.