新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练7（含解析）

小题满分练7

一、单项选择题

1．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则等于(　　)

A．－1＋i   B．－1－i

C．－＋i   D．－－i

答案　C

解析　＝

＝＝－＋i，故选C.

2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则集合A*B的所有元素之和为(　　)

A．16  B．18  C．14  D．8

答案　A

解析　由题设知A*B＝{1,2,3,4,6}，

∴所有元素之和为1＋2＋3＋4＋6＝16.

3．(2022·卓越高中联盟联考)若“∃x∈R，sin x－cos x＝a”为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－2,2]   B．(－2,2)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)   D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案　D

解析　因为“∃x∈R，sin x－cos x＝a”为假命题，

则“∀x∈R，sin x－cos x≠a”为真命题，因为f(x)＝sin x－cos x＝2sin∈[－2,2]，

所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

4．(2022·湖北七市(州)联考)某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 600,1 100,800，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160 cm,165 cm,170 cm.则下列说法正确的是(　　)

A．高三年级抽取的学生人数为32

B．高二年级每个学生被抽取到的概率为

C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大

D．所有学生的平均身高估计要小于165 cm

答案　D

解析　根据比例分配的分层随机抽样的定义，高三抽取的学生人数为×32＝16，A错误；

分层随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为＝，B错误，C错误；

平均身高为×160＋×165＋×170≈163.9(cm)，D正确．

5．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　)

A．b1<b5   B．b3<b8

C．b6<b2   D．b4<b7

答案　D

解析　方法一　当n取奇数时，

由已知b1＝1＋，b3＝1＋，

因为>，所以b1>b3，

同理可得b3>b5，b5>b7，…，

于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；

当n取偶数时，由已知b2＝1＋，

b4＝1＋，

因为>，所以b2<b4，

同理可得b4<b6，b6<b8，…，

于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确；

因为>，所以b1>b2，

同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，

又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；故选D.

方法二　(特殊值法)

不妨取αk＝1(k＝1,2，…)，则b1＝1＋＝2，

b2＝1＋＝1＋＝1＋＝，

b3＝1＋＝1＋＝1＋＝，

所以b4＝1＋＝1＋＝，

b5＝1＋＝1＋＝，

b6＝1＋＝1＋＝，

b7＝1＋＝1＋＝，

b8＝1＋＝1＋＝.逐一判断选项可知选D.

6．(2022·咸阳模拟)设a>0，b>0,2是4a与4b的等比中项，则的最大值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　∵2是4a与4b的等比中项，

∴4a·4b＝22，∴a＋b＝1.

∵＝，

＋＝(a＋b)

＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当a＝，b＝时取等号，

∴≤，

∴的最大值为.

7．(2022·湖北八市联考)各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．通常我们用函数f(x)＝表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是(　　)

A．二进制   B．三进制

C．八进制   D．十进制

答案　B

解析　因为f(x)＝＝

＝·，

f′(x)＝·，

令f′(x)>0，易知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而f(2)＝f(4)，故可得f(3)>f(2)>f(8)>f(10)．则效率最高的是三进制．

8.(2022·长沙十六校联考)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是(　　)

A.   B．0或

C.   D．0或

答案　D

解析　∵A，D，P三点共线，

∴可设＝λ(λ>0)，

∵＝m＋，

∴λ＝m＋，

即＝＋，

当m≠0且m≠时，B，D，C三点共线，

∴＋＝1，即λ＝，

∵AP＝9，∴AD＝3，

∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，

∴BC＝5，

设CD＝x，∠CDA＝θ，

则BD＝5－x，∠BDA＝π－θ.

∴根据余弦定理可得

cos θ＝＝，

cos(π－θ)＝＝，

∵cos θ＋cos(π－θ)＝0，

∴＋＝0，

解得x＝，

∴CD的长度为；

当m＝0时，＝，C，D重合，此时CD的长度为0；

当m＝时，＝，即＝＋，

B，D重合，此时PA＝12，不符合题意，舍去．

二、多项选择题

9．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则(　　)

A．直线BC1与DA1所成的角为90°

B．直线BC1与CA1所成的角为90°

C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

答案　ABD

解析　如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；

连接A1C1，交B1D1于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.因为OB⊂平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝a，OC1＝，所以在Rt△BOC1中，OC1＝BC1，所以∠OBC1＝30°，故C错误；

因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正确．故选ABD.

10．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断正确的是(　　)

A．k不可能为0

B．等差数列一定是等差比数列

C．等比数列一定是等差比数列

D．通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列

答案　AD

解析　A选项，若k＝0，则数列{an}是常数列，所以分母为0，所以k不可能为0，故A正确；

B选项，当等差数列是常数列时，分母等于0，不成立，故B错误；

C选项，当等比数列是常数列时，分母等于0，不成立，故C错误；

D选项，因为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)，

所以

＝

＝＝b，为常数，是等差比数列，

故D正确．

11．(2022·湖南六校联考)已知椭圆C：＋＝1上有一点P，F1，F2分别为其左、右焦点，∠F1PF2＝θ，△F1PF2的面积为S，则下列说法正确的是(　　)

A．△F1PF2的周长为4＋2

B．角θ的最大值为90°

C．若S＝，则相应的点P共有2个

D．若△F1PF2是钝角三角形，则S的取值范围是(0，)

答案　ABD

解析　由已知可得a＝2，b＝，

所以c＝，△F1PF2的周长为2a＋2c＝4＋2，故A正确；

因为b＝c，所以以F1F2为直径的圆与椭圆C相切于上、下顶点，

所以θ≤90°，故B正确；

设△F1PF2的边F1F2上的高为h，

则S＝×2×h＝h＝，

所以h＝1<＝b，由椭圆的对称性可知，点P共有4个，故C错误；

因为△PF1F2为钝角三角形，所以△PF1F2中有一个角大于90°，

由选项B知∠F1PF2不可能为钝角，

所以∠PF2F1或∠PF1F2为钝角，

当∠PF2F1＝90°时，

将x＝代入＋＝1得y＝±1，此时△F1PF2的面积为S＝×2×1＝，所以若△F1PF2是钝角三角形，则其面积S∈(0，)，故D正确．

12．(2022·苏州模拟)已知直线y＝a与曲线y＝相交于A，B两点，与曲线y＝相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则(　　)

A． B．x2＝ln x1

C．   D．x1x3＝x

答案　ACD

解析　y＝，

令y′＝＝0，则x＝1.

则y＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，ymax＝.y＝，

令y′＝＝0，则x＝e，

则y＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，

∴ymax＝.

＝a，则x2＝，A正确；

＝a＝＝ ，

y＝在(0,1)上单调递增，

0<x1<1,1<x2<e,0<ln x2<1，

∴x1＝ln x2，B错误；

＝a＝，

y＝在(e，＋∞)上单调递减，

∈(e，ee)，x3>e，

∴＝x3，C正确；

x1x3＝ln x2＝·ax2＝x，D正确．

三、填空题

13．(2022·日照模拟)6展开式中的常数项为________．

答案　

解析　Tk＋1＝Cx6－kk

令6－k＝0，得k＝4，

∴常数项为4C＝.

14．(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝则f(－1)＋f(log312)＝__________.

答案　7

解析　因为函数f(x)＝

所以f(－1)＝2＋log22＝3，

f(log312)＝

所以f(－1)＋f(log312)＝7.

15.(2022·盐城模拟)某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为__________，体积为________ cm3.

答案　8　18

解析　公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共8个面．

底面是以3 cm为边长的正方形，

其面积为S＝18 cm2，

其中一个正四棱锥的高为 cm.

∴V＝×18××2＝18(cm3)．

16．若函数y＝f(x)的定义域内存在x1，x2(x1≠x2)，使 ＝1成立，则称该函数为“互补函数”．若函数f(x)＝cos－sin(ω>0)在[π，2π]上为“互补函数”，则ω的取值范围为______________．

答案　∪

解析　f(x)＝cos＋sin

＝cos＝sin ωx，

由“互补函数”的定义得，存在x1，x2∈[π，2π](x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)＝2，

所以令t＝ωx，则函数y＝sin t在区间[ωπ，2ωπ]上至少存在两个极大值点，

则ωπ≥2π，得ω≥2.

当2T＝2×≤π，即ω≥4时，显然符合题意；

当2≤ω<4时，分以下两种情况讨论，

当ωπ≤，即ω≤时，2ωπ≥，即ω≥，

所以≤ω≤；

当<ωπ<4π，

即<ω<4时，

2ωπ≥，即ω≥，

所以≤ω<4.

综上，ω的取值范围为∪.