新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练压轴题突破练1（含解析）

压轴题突破练1

1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

(1)解　由题意得c＝2.①

因为双曲线的渐近线方程为

y＝±x＝±x，

所以＝.②

又c2＝a2＋b2，③

所以联立①②③得a＝1，b＝，

所以双曲线C的方程为x2－＝1.

(2)证明　由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，

设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，

将直线PQ的方程代入C的方程，

整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝－>0，

所以3－k2<0，

所以x1－x2＝＝.

设点M的坐标为(xM，yM)，

则

两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，

又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，

所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，

解得xM＝；

两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，

又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)

＝k(x1＋x2)＋2t，

所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2t，

解得yM＝＝xM.

因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．

若选择①②作为条件证明③成立：

因为PQ∥AB，

所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

不妨令点A在直线y＝x上，

则由

解得xA＝，yA＝，

同理可得xB＝，yB＝－，

所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.

点M的坐标满足

得xM＝＝，

yM＝＝，

故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|，即③成立．

若选择①③作为条件证明②成立：

当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；

当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，

设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，

A(xA，yA)，B(xB，yB)，

不妨令点A在直线y＝x上，

则由

解得xA＝，yA＝，

同理可得xB＝，yB＝－.

因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，

所以xM＝＝，

yM＝＝，

又点M在直线y＝x上，

所以＝·，

解得k＝m，因此PQ∥AB，即②成立．

若选择②③作为条件证明①成立：

因为PQ∥AB，

所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

不妨令点A在直线y＝x上，

则由

解得xA＝，yA＝，

同理可得xB＝，yB＝－.

设AB的中点为C(xC，yC)，

则xC＝＝，

yC＝＝.

因为|MA|＝|MB|，

所以M在AB的垂直平分线上，

即点M在直线y－yC＝－(x－xC)，

即y－＝－上，

与y＝x联立，得xM＝＝xC，

yM＝＝yC，

即点M恰为AB的中点，

故点M在AB上，即①成立．

2．(2022·无锡模拟)已知函数f(x)＝ex(1＋mln x)，其中m＞0，f′(x)为f(x)的导函数，设h(x)＝，且h(x)≥恒成立．

(1)求m的取值范围；

(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f′(x)的极小值点为x1，求证：x0＞x1.

(1)解　由题设知f′(x)＝ex，

则h(x)＝1＋mln x＋(x>0)，

所以h′(x)＝－＝，

当x＞1时，h′(x)＞0，

则h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；

当0＜x＜1时，h′(x)＜0，

则h(x)在区间(0,1)上单调递减，

所以h(x)min＝h(1)＝1＋m≥，

解得m≥，

所以m的取值范围为.

(2)证明　令g(x)＝f′(x)，

则g′(x)＝ex

＝ex，

令t(x)＝1＋mln x＋－(x>0)，

则t′(x)＝－＋＝＝>0恒成立，

所以t(x)在(0，＋∞)上单调递增.

又t(1)＝1＋m>0，t＝1－mln 2≤1－ln 2<0，所以存在x2∈，使得t(x2)＝0，

当x∈(0，x2)时，t′(x)＜0，

即g′(x)＜0，则f′(x)在(0，x2)上单调递减；

当x∈(x2，＋∞)时，t′(x)＞0，

即g′(x)＞0，则f′(x)在(x2，＋∞)上单调递增，

所以f′(x)在x＝x2处取得极小值，

即x1＝x2，所以t(x1)＝0，

即1＋mln x1＋－＝0，x1∈，

所以1＋mln x1＝－＝<0，

令s(x)＝1＋mln x，则s(x)在(0，＋∞)上单调递增，且s(x1)＜0，

因为f(x)的零点为x0，

则1＋mln x0＝0，即s(x0)＝0，

所以s(x1)＜s(x0)，所以x0＞x1.