数学八年级上册2.4 线段的垂直平分线优秀巩固练习

2023年湘教版数学八年级上册

《2.4 线段的垂直平分线》同步练习

一              、选择题

1.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为(　　)

A.50°       B.70°       C.75°       D.80°

2.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(    )

3.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(    )

A.AB垂直平分CD              B.CD垂直平分AB

C.AB与CD互相垂直平分       D.CD平分∠ACB

4.如图，公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线，则下列说法中：

①小明从家到书店与小颖从家到书店一样远；

②小明从家到书店与从家到学校一样远；

③小颖从家到书店与从家到学校一样远；

④小明从家到学校与小颖从家到学校一样远.

正确的是(    )

A.①③　   　B.②③　     　C.②④　　   　D.③④

5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论不一定成立的是(  )

A.PA＝PB                       B.OA＝OB                     C.PO平分∠APB                    D.AB垂直平分OP

6.如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A＝65°，∠ABC＝85°，则△BCD是(    )

A.等边三角形                   B.等腰三角形     C.直角三角形                    D.等腰直角三角形

7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(      )

A.1对        B.2对        C.3对        D.4对

8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝(       )

A.3                         B.4                           C.5                              D.6

9.如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是(    )

A.AB＋DB＞DE     B.AB＋DB<DE         C.AB＋DB＝DE      D.无法判断

10.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.

步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3：连结AD，交BC延长线于点H.

下列叙述正确的是(　　)

A.BH垂直平分线段AD        B.AC平分∠BAD

C.S△ABC＝BC·AH             D.AB＝AD

二              、填空题

11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.若∠DBC＝33°，∠A的度数为　　　　　　.

12.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝　　.

13.如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______.

14.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5，△ABC的周长是30，则△ABD周长是　　 .

15.如图，已知△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC＝2：1，则∠A＝__________.

16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是　   　.

三              、作图题

17.如图，在△ABC中，∠A>∠B.

(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．

四              、解答题

18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，且∠CAD∶∠CAB＝1∶3，求∠B的度数.

19.如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由.

20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等.

(1)利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹.

(2)若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长.

21.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.

求证：∠B＝∠CAF.

22.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. 
 

(1)若∠B＝70°，则∠NMA的度数是________.   

(2)连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm. 
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.

答案

1.B.

2.D.

3.A

4.B

5.D

6.A

7.D.

8.C

9.C

10.A

11.答案为：38°.

12.答案为：15°.

13.答案为：40°.

14.答案为：20.

15.答案为：45°

16.答案为：9.6.

17.解：(1)如解图，DE是边AB的垂直平分线；

作法提示：①分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB两侧交于点M、N；

②作直线MN，分别交AB、BC于点D、E.

DE即为边AB的垂直平分线；

(2)如解图，连接AE，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∴∠BAE＝∠B＝50°.

∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC＝∠BAE ＋∠B＝100°.

18.解：设∠CAD＝x°，

则∠CAB＝3x°，∠BAD＝2x°.

∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠B＝∠BAD＝2x°.

∵∠C＝90°，

∴∠CAB＋∠B＝90°，

即3x＋2x＝90，解得x＝18，

∴∠B＝2×18°＝36°.

19.解：PA＝PC.

理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，

∴PA＝PB，PC＝PB，

∴PA＝PC.

20.解：(1)点D如图所示；

(2)∵DE垂直平分线线段AC，

∴AD＝DC，

∴△CDB的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝BC＋AB，

∵AB＋AC＋BC＝21，BC＝5，

∴AB＝AC＝8，

∴△CDB的周长为13.

21.证明：∵EF垂直平分AD，

∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF，

∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠B＝∠CAF.

22.解：(1)50°
(2)猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°. 
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣(180°﹣2∠B)＝2∠B﹣90°.
如图：
 

①∵MN垂直平分AB.

∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC＋BC＝14cm，

∴BC＝6cm.
②当点P与点M重合时，PB＋CP的值最小，最小值是8cm.