2024天津武清区黄花店中学高三上学期第一次阶段性练习数学试题含解析

2023-2024学年度第一学期高三年级第一次阶段性练习试卷

数学学科

（知识范围：三角函数和平面向量  总分：150    时长：120分钟 ）

一、单选题

1. 化为角度是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据弧度化角度公式直接求解即可.

【详解】.

故选：B

2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的定义求解即可.

【详解】由题意，.

故选：D.

3. 在中，“”是“为直角三角形”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可求出．

【详解】当时，即，∴，即，所以直角三角形；

当为直角三角形时，直角不一定是角，当直角不是角时， ；

所以“”是“为直角三角形”的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，以及向量数量积的定义的理解，属于基础题．

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式求解即可.

【详解】.

故选：A

5. 在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（    ）

A. 无解 B. 有一解

C. 有两解 D. 解的个数不确定

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解.

详解】由正弦定理，得，解得.

因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.

故选：C.

6. 在中，是边上一点，且，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据图形的特征，则向量的线性运算，把用表示，得到的值.

【详解】中，是边上一点，且，如图所示，

则，

所以的值为.

故选：D

7. 已知向量，，，则实数k的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.

【详解】由题意可得：，

所以.

故选：B

8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 为锐角三角形

C. 若，则的面积是

D. 若外接圆半径是R，内切圆半径为r，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件求出三角形三边的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判断选项错误；对于求出三边长后，可利用三角形面积公式求解；对于利用正弦定理和等面积法可求出外接圆半径R，内切圆半径，可判断正确.

【详解】设则

对于故错误；

对于角为钝角，故错误；

对于若，则

所以的面积故错误；

对于由正弦定理

的周长所以内切圆半径故正确.

故选：

9. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的有（    ）个

①函数的最小正周期为；

②函数在区间上单调递增；

③函数在区间上的最小值为；

④是函数的一条对称轴.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得.对于①,由最小正周期计算公式可判断选项；对于②③，利用的单调性可判断选项正误；对于④，验证是否在处取最值可判断选项正误.

【详解】由题.

对于①，由题可得其最小正周期为，故①错误；

对于②，由，则，

因在上单调递增，在上单调递减，

则不在区间上单调递增，故②错误；

对于③，时，.

因在上单调递增，在上单调递减，

则此时.故③正确；

对于④，注意到，则不是的一条对称轴，故④错误.

故选：A

二、填空题

10. =_________

【答案】

【解析】

【分析】利用特殊角的三角函数值来计算.

【详解】

.

故答案为：.

11. 已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据诱导公式及同角关系,即可得到结果.

【详解】∵

∴

当在第一象限时,,即；

当在第二象限时,,即.

∴

故答案为:

【点睛】本题考查同角的三角函数的关系,本题解题的关键是诱导公式的应用,熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能．

12. 已知向量，，且，则_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标运算求解.

【详解】因为，则，解得.

故答案为：.

13. 设平面向量，满足，，则在方向上的数量投影为___________.

【答案】6

【解析】

【分析】根据投影的定义即可结合数量积求解.

【详解】在方向上的数量投影，

故答案为：6

14. 已知，，，则向量与的夹角为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果.

【详解】设向量与的夹角为，

，

因为，所以.

故向量与的夹角为.

故答案为：

15. 已知扇形AOB面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为_____，弧长为______.

【答案】    ①. ##1.5    ②.

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.

【详解】设扇形的半径为，

因为扇形AOB的面积为，圆心角为，

由扇形的面积，可得：，解得：，

可得扇形的弧长.

故答案为：；．

四、解答题

16. （1）已知．求的值．

（2）已知函数.求的解析式及最小正周期.

【答案】（1）；（2），最小正周期为.

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值；

（2）利用诱导公式、降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，根据周期公式求最小正周期.

【详解】（1）已知，

则

（2）

.

最小正周期为.

17. 在中，三个内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且.

（1）求B；

（2）若，三角形的面积，求b.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理，结合已知条件即可求解；

（2）利用三角形面积公式可得，然后结合和即可求解.

【小问1详解】

在中，由余弦定理可得，

又，所以，

又因为，故.

小问2详解】

由可得，

又因为，，

所以，

所以.

18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（1）求角B的大小；

（2）设a=2，c=3，求b和的值.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.

【解析】

【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，

又由，得，

即，可得．

又因为，可得B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，

有，故b=．

由，可得．因为a<c，故．

因此，

所以，

点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

19. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的最小正周期及解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1），   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由图象可知，相邻的对称中心和对称轴距离相差，再代入关键点可得解析式；

（2）根据图象的变换得到解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上最值.

【小问1详解】

由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；

又∴，

将点代入，

∴，

∵∴

故答案为：，.

【小问2详解】

由的图象向右平移个单位长度得到函数

∵

∴

∴当时，即，；

当时，即，

故答案为：

20. 已知，设．

（1）求当取最大值时，对应的x的取值；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得，结合正弦型函数得性质求取最大值时对应的x取值.

（2）由题设可得，再由及差角正切公式列方程求.

【小问1详解】

，

所以取最大值时，，则.

所以

【小问2详解】

由题设，又，则，

所以，

由，

所以，即，