广东省深圳市红岭中学初中部2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市红岭中学初中部2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了已知，则的值是等内容，欢迎下载使用。
红岭中学初中部2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．已知，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B．x2+2x+y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣x+1＝0
3．元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
4．九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠0
6．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57
7．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4
8．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形
9．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）

A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
10．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b＝　 　．
12．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有　 　枚白棋子．
13．如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为 　 　．

14．如图，∠ABC＝90°，四边形ACDE是正方形，若AB＝1，BC＝2，则△BCE的面积等于 　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 　 　

三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）2x2﹣4x+1＝0．



17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．
（2）将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．


18．（8分）不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个．
（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（2）若在口袋种再添加a个蓝球，充分摇匀，从中摸出一个球，使得摸到红球的概率是，试求a的值．






19．（8分）某服装厂生产一批服装，2021年该类服装的出厂价是200元/件，2022年，2023年连续两年改进技术，降低成本，2023年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2023年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？







20．（7分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．
（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．







21．（8分）如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．



22．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止．
（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD；
（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE＝m，连接EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似．


红岭中学10月考数学组卷参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：D．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B．x2+2x+y＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣x+1＝0
【解答】解：A．该方程是分式方程，故不符合题意；
B．该方程是是二元二次方程，故不符合题意；
C．该方程中当a≠0时才是一元二次方程，故不符合题意；
D．是一元二次方程，故符合题意．
故选：D．
3．元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【解答】解：设这个微信群的人数为x人，则每人需发出（x﹣1）条短信，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴这个微信群的人数为9人．
故选：B．
4．九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：把小华、小琪、小明、小伟分别记为A、B、C、D，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个，
∴恰好抽到小华和小明的概率为＝，
故选：C．
5．若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠0
【解答】解：当k＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，
当k≠0时，方程kx2﹣x+3＝0是一元二次方程，
根据题意可得：Δ＝1﹣4k×3≥0，
解得k≤，k≠0，
综上k≤，
故选：B．
6．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57
【解答】解：∵x2+8x+7＝0，
∴x2+8x＝﹣7，
⇒x2+8x+16＝﹣7+16，
∴（x+4）2＝9．
∴故选：A．
7．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
由作图可知：AB＝AF，
∠BAE＝∠FAE，
∵AH＝AH，
∴△BAH≌△FAH（SAS），
∴BH＝FH＝3，
∴BF⊥AE，
由勾股定理得：AH＝＝4，
∵AB＝BE，BH⊥AE，
∴AH＝EH＝4，
∴AE＝8，
故选：B．

8．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形
【解答】解：因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．
因为∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．
因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形．故C选项正确．
如果AD⊥BC且AB＝BC，不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．
故选：D．
9．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）

A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
【解答】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
10．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故选：A．

二．填空题（共5小题）
11．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b＝　2023　．
【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+1＝0，即a+b＝﹣1，
则2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．
故答案为：2023．
12．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有　20　枚白棋子．
【解答】解：∵共取了300次，其中有100次取到黑棋子，
∴摸到黑色棋子的概率约为＝，
∴摸到白色棋子的概率约为1﹣＝，
∵共有10可黑色棋子，
∴设有x个白色棋子，则，
解得：x＝20，
故答案为：20．
13．如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为 　　．

【解答】解：连接AF交BE于H，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
∵BH∥CF，
∴△ABH∽△ACF，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝，
∵HE∥AD，
∴△FEH∽△FDA，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝，
∴BE＝BH+EH＝+＝，
故答案为：．

14．如图，∠ABC＝90°，四边形ACDE是正方形，若AB＝1，BC＝2，则△BCE的面积等于 　3　．

【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，

在正方形ACDE中，AC＝AE，∠CAE＝90°，
∠EAF+∠BAC＝180°﹣∠CAE＝180°﹣90°＝90°
∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠EAF＝∠ACB
在△ABC和△EFA中，
，
∴△ABC≌△EFA（AAS），
∴EF＝AB＝1，AF＝BC＝2．
∴BF＝AB+AF＝1+2＝3，
∴S△BCE＝BC•BF＝×2×3＝3．
故答案为：3．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 　　

【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．

在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．
CH＝，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，
（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；

（2）2x2﹣4x+1＝0，
2x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣2x＝﹣，
配方得：x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝，x2＝．
17．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标．
（2）将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2，判断△OA1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

【解答】解：（1）如图所示，A1（4，2），B1（2，﹣4）．

（2）如图所示，△OA1B1与△O2A2B2是关于点M（﹣4，2）为位似中心的位似图形．
18．不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个．
（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（2）若在口袋种再添加a个蓝球，充分摇匀，从中摸出一个球，使得摸到红球的概率是，试求a的值．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：

共有6种等可能的结果数，其中两次摸到都是红球的有2种结果，
所以两次摸到都是红球的概率是＝；

（2）根据题意得：
＝，
解得：a＝5，
经检验a＝5是原方程的解，
答：a的值是5．
19．某服装厂生产一批服装，2021年该类服装的出厂价是200元/件，2022年，2023年连续两年改进技术，降低成本，2023年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2023年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）件，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
∵要减少库存，
∴m＝15．
答：单价应降低15元．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．
（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程得，
a+c﹣2b﹣a+c＝0，
化简得c＝b，
则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．
（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，
则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式，
Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，
4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0，
化简可得b2+a2＝c2，
则该三角形△ABC的形状为直角三角形．
21．如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．

【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，

∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝2，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EF＝DE＝1，
∴OF为△BDE的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∴CF＝CD+DF＝3，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝，
即OC的长为．
22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止．

（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD；
（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE＝m，连接EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAP+∠BPA＝90°，
∵∠MPN＝90°，
∴∠CPD+∠BPA＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：的值为定值，该定值是，理由如下：
如图③，过点F作FG⊥BC于G，
∴∠FGP＝90°，
∴∠FGP＝∠B，∠PFG+∠FPG＝90°，
易知四边形ABGF是矩形，
∴FG＝AB＝2，
∵∠MPN＝90°，
∴∠EPB+∠FPG＝90°，
∴∠EPB＝∠FPG，
∴△EBP∽△PGF，
∴＝＝，
∴的值是定值，该定值为；
（3）解：∵AE＝m，
∴BE＝2﹣m，
①当＝时，∵∠B＝∠EPF＝90°，
∴△BPE∽△PFE，
∴＝，
∴＝，
∴m＝；
②当＝时，∵∠B＝∠EPF＝90°，
∴△BPE∽△PEF，
∴＝，
∴＝，
∴m＝0，
综上，当m＝0或时，△BPE与△PEF相似．